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专题 1.1 数轴中的综合
【典例1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 2倍
的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C ，C ，C ，其中是点A，
1 2 3
B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点 P表
示的数为 ．
【思路点拨】
（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；
（2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点
A、点B的“联盟点”进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
当点C 所表示的数是3时，
1
AC ＝5，BC ＝1，所以C 不是点A、点B的“联盟点”，
1 1 1
当点C 所表示的数是2时，
2
AC ＝4，BC ＝2，由于AC ＝2BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
2 2 2 2 2
当点C 所表示的数是0时，
3
AC ＝2，BC ＝4，由于2AC ＝BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
3 3 3 3 3
故答案为：C 或C ；
2 3（2）①设点P在数轴上所表示的数为x，
50
当点P在AB上时，若PA＝2PB，则x+10＝2（30﹣x），解得x= ，
3
10
若2PA＝PB时，则2（x+10）30﹣x，解得x= ，
3
当点P在点A的左侧时，由2PA＝PB可得2（﹣10﹣x）＝30﹣x，解得x＝﹣50，
10 50
综上所述，点P表示的数为 或 或﹣50；
3 3
②若点P在点B的右侧，
当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10），
解得x＝70，
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB，
即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110；
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30），
解得x＝70；
故答案为：70或50或110．
1．（2022•烟台一模）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整
数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1厘米，若在这个数轴上
随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）
A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022
3．（2021秋•房山区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．下面有四个推断：①
如果ad＞0，则一定会有bc＞0；②如果bc＞0，则一定会有ad＞0；③如果bc＜0，则一定会有ad＜0；④
如果ad＜0，则一定会有bc＜0．所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．（2021秋•邢台期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为
折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣4 D．1或﹣5
5．（2021秋•九龙坡区期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，
1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那
么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021秋•瓯海区月考）如图，一电子跳蚤在数轴的点 P 处，第一次向右跳1个单位长度到点P 处，
0 1
第二次向左跳2个单位长度到点P 处，第三次向右跳3个单位长度到点P 处，第四次向左跳4个单位长度
2 3
到点P 处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P 在数轴上表示的数为（ ）
4 0
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
7．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若
7
BC= AB，则点C表示的数是 ．
4
8．（2021秋•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长
度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点
的应是点 ．
9．（2021秋•南充期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝
5，则点C表示的数为 ．10．（2022•石家庄二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向
跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，则点A 表示的数为 ；第二次从A 点跳动到OA 的中点A
1 1 1 1 2
处，第三次从A 点跳动到OA 的中点A 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为
2 2 3
．
11．（2021秋•宜兴市期末）如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB
的中点表示的数是 ，若点C是数轴上的一个动点，当 2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是
．
12．（2021秋•新泰市期末）我们知道，若有理数 x ，x 表示在数轴上的点A ，A ，且x ＜x ，则点A 与
1 2 1 2 1 2 1
点A 之间的距离为|x ﹣x |＝x ﹣x ，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为
2 2 1 2 1
3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；
（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为 ；
1
（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m= n，求点C表示的数．
3
13．（2021秋•确山县期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应
的数为x．
（1）若点P为AB的中点，则点P对应的数是 ．
（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．
（3）现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每
秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．
14．（2021秋•洪江市期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点 A重合，右端与点B重
合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到 B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；
若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：
cm），由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红
去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；
你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
15．（2021秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的
位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5
D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单
位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后
重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表
示）16．（2021秋•西城区期末）在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是6，点
M位于点B的左侧并与点B的距离是5，M为线段AC的中点．
（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；
（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；
1
（3）若数轴上的点Q满足QA= QC，求点Q表示的数．
4
17．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点 A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝
2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．
（1）如果规定向右为正方向；
①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝ ；
②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点
每向右移动1cm，p值将如何变化？
③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向 方向移动 cm；
④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝ ．
（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是 .18．（2021秋•仪征市期末）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺
AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点
重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；
（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出
发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的 m
的值．
19．（2021秋•富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距
离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分
别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
5
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数− ，1，4是点A，B的“倍分点”的是 ；
2
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．
①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；
②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．20．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，
点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
OA+OB+OC
（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN= ，求点M在数轴上所表示的数．
2
