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专题 1.1 数轴中的综合
【典例1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 2倍
的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C ，C ，C ，其中是点A，
1 2 3
B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点 P表
示的数为 ．
【思路点拨】
（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；
（2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点
A、点B的“联盟点”进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
当点C 所表示的数是3时，
1
AC ＝5，BC ＝1，所以C 不是点A、点B的“联盟点”，
1 1 1
当点C 所表示的数是2时，
2
AC ＝4，BC ＝2，由于AC ＝2BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
2 2 2 2 2
当点C 所表示的数是0时，
3
AC ＝2，BC ＝4，由于2AC ＝BC ，所以C 是表示点A、点B的“联盟点”，
3 3 3 3 3
故答案为：C 或C ；
2 3（2）①设点P在数轴上所表示的数为x，
50
当点P在AB上时，若PA＝2PB，则x+10＝2（30﹣x），解得x= ，
3
10
若2PA＝PB时，则2（x+10）30﹣x，解得x= ，
3
当点P在点A的左侧时，由2PA＝PB可得2（﹣10﹣x）＝30﹣x，解得x＝﹣50，
10 50
综上所述，点P表示的数为 或 或﹣50；
3 3
②若点P在点B的右侧，
当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10），
解得x＝70，
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB，
即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110；
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30），
解得x＝70；
故答案为：70或50或110．
1．（2022•烟台一模）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整
数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
先根据数轴上两点的距离可得AB＝5，根据PA+PB＝5可知：P在A，B之间，从而得结论．
【解题过程】
解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，
∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，
∴P在A，B之间，
∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，4个．
故选：D．2．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1厘米，若在这个数轴上
随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）
A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022
【思路点拨】
分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住
的整点是线段的长度，由此即可得出结论．
【解题过程】
解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，
则1厘米长的线段盖住1个整点．
∵2020+1＝2021，
∴2020厘米的线段AB盖住2020或2021个整点．
故选：C．
3．（2021秋•房山区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．下面有四个推断：①
如果ad＞0，则一定会有bc＞0；②如果bc＞0，则一定会有ad＞0；③如果bc＜0，则一定会有ad＜0；④
如果ad＜0，则一定会有bc＜0．所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【思路点拨】
根据原点的位置可得a，b，c，d的正负情况，再根据有理数的乘法法则可得答案．
【解题过程】
解：①如果ad＞0，则原点在a的左边或d的右边，故bc同号，一定会有bc＞0，所以①正确；
②如果bc＞0，则原点在b的左边或c的右边，故ad可能异号，会有ad＜0，所以②错误；
③如果bc＜0，则原点在b、c之间，故ad异号，一定会有ad＜0，所以③正确；
④如果ad＜0，则原点在a、b之间，故bc可能异号，会有bc＜0，所以④错误；
故选：A．
4．（2021秋•邢台期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为
折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）A．1 B．﹣3 C．1或﹣4 D．1或﹣5
【思路点拨】
设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B＝6，表示出A′C，由折叠
得，AC＝A′C，列方程即可求解．
【解题过程】
解：设点C所表示的数为x，AC＝x﹣（﹣14）＝x+14，
∵A′B＝6，B点所表示的数为10，
∴A′表示的数为10+6＝16或10﹣6＝4，
∴AA′＝16﹣（﹣14）＝30，
或AA′＝4﹣（﹣14）＝18，
1
根据折叠得，AC= AA′，
2
1 1
∴x+14= ×30或x+14= ×18，
2 2
解得：x＝1或﹣5，
故选：D．
5．（2021秋•九龙坡区期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，
1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那
么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
分别找出圆周上数字0，1，2，3与数轴上的数重合的数字规律即可解答．
【解题过程】
解：先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，
则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2，2，6...﹣2+4n，
圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1，3，7...﹣1+4n，
圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0，4，8...4n，
圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1，5，9...1+4n，
∵2021＝1+4×505，∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合，
故选：D．
6．（2021秋•瓯海区月考）如图，一电子跳蚤在数轴的点 P 处，第一次向右跳1个单位长度到点P 处，
0 1
第二次向左跳2个单位长度到点P 处，第三次向右跳3个单位长度到点P 处，第四次向左跳4个单位长度
2 3
到点P 处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P 在数轴上表示的数为（ ）
4 0
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
【思路点拨】
设P 所表示的数是x，归纳出P ＝x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，再根据P ＝0，求出x的值即可．
0 n 10
【解题过程】
解：设P 所表示的数是x，
0
由题意知，P 所表示的数是x+1，
1
P 所表示的数是x+1﹣2，
2
P 所表示的数是x+1﹣2+3，
3
...，
P 所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，
n
∴P 所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，
10
∵P ＝0，
10
即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，
∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，
即x﹣5＝0，
解得x＝5，
故选：C．
7．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若
7 1 13
BC= AB，则点C表示的数是 − 或 ． ．
4 2 2
【思路点拨】
7 7
因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC= AB，所以BC= ，但是并不知道C点在
4 2B点的左还是右，依次讨论即可得到答案
【解题过程】
7 7
因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC= AB，所以BC= ．
4 2
7 1
当C点在B点的左面时C点代表的数为3− =− ；
2 2
7 13
当C点在B点的右面时C点代表的数为3+ = ；
2 2
1 13
故答案为：− 或 ．
2 2
8．（2021秋•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长
度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点
的应是点 C ．
【思路点拨】
此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
【解题过程】
解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；
若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；
若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；
若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．
故答案为：C．
9．（2021秋•南充期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝
5，则点C表示的数为 ﹣ 2 或 3 ． ．
【思路点拨】
分两种情况进行讨论：①点C在点A的左侧；②点C在点B的右侧，再根据所给的条件进行求解即可．
【解题过程】
解：设点C所表示的数为x，
①当点C在点A的左侧时，
∵AC+BC＝5，∴﹣1﹣x+2﹣x＝5，
解得：x＝﹣2；
②点C在点B的右侧时，
∵AC+BC＝5，
∴x﹣（﹣1）+x﹣2＝5，
解得：x＝3，
综上所述，点C表示的数为﹣2或3．
故答案为：﹣2或3．
10．（2022•石家庄二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向
跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，则点A 表示的数为 5 ；第二次从A 点跳动到OA 的中点A 处，
1 1 1 1 2
5
第三次从A 点跳动到OA 的中点A 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为
2 2 3 8
．
【思路点拨】
OA＝10个单位，A 是OA的中点，故A 表示的数是5，距离原点的距离就是5；依次类推，四次跳动后，
1 1
1 5
距离原点的距离为10× = ．
24 8
【解题过程】
解：根据题意，A 是OA的中点，而OA＝10，
1
1
所以A 表示的数是10× =5；
1 2
1 1 1
A 表示的数是10× × =10× ；
2 2 2 22
1
A 表示的数是10× ；
3 23
1 1 5
A 表示的数是10× = 10× = ；
4 24 16 8
5
故答案为：5； ．
811．（2021秋•宜兴市期末）如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB
的中点表示的数是 4 ，若点C是数轴上的一个动点，当2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是 ﹣ 4 2 或
10
．
3
【思路点拨】
根据数轴上两点间距离计算即可求出线段AB的中点表示的数，要求点C表示的数，分三种情况，点C在
点A的左侧，点C在AB之间，点C在点B的右侧．
【解题过程】
解：∵点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，
−8+16
∴线段AB的中点表示的数是： =4，
2
设点C表示的数是x，
分三种情况：
当点C在点A的左侧，
∵2AC﹣BC＝10，
∴2（﹣8﹣x）﹣（16﹣x）＝10，
∴x＝﹣42，
∴点C表示的数是：﹣42，
当点C在AB之间，
∵2AC﹣BC＝10，
∴2[x﹣（﹣8）]﹣（16﹣x）＝10，
10
∴x= ，
3
10
∴点C表示的数是： ，
3
当点C在点B的右侧，
∵AC﹣BC＝AB，
∴AC﹣BC＝16﹣（﹣8）＝24，
而已知2AC﹣BC＝10，
∴此种情况不存在．10
综上所述：点C表示的数是：﹣42或 ，
3
10
故答案为：4，﹣42或 ．
3
12．（2021秋•新泰市期末）我们知道，若有理数 x ，x 表示在数轴上的点A ，A ，且x ＜x ，则点A 与
1 2 1 2 1 2 1
点A 之间的距离为|x ﹣x |＝x ﹣x ，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为
2 2 1 2 1
3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；
（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为 ﹣ 4 或 4 ；
1
（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m= n，求点C表示的数．
3
【思路点拨】
（1）利用两点间的距离求出m，n即可；
（2）分两种情况讨论：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧；
（3）利用两点间的距离列出方程即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得：m＝﹣3﹣（﹣6.5）＝﹣3+6.5＝3.5，
n＝3﹣（﹣6.5）＝3+6.5＝9.5，
所以m+n＝3.5+9.5＝13；
（2）设点C表示的数为x，
分两种情况：
当点C在点A的左侧时，
∵m+n＝8，
∴﹣3﹣x+（3﹣x）＝8，
∴x＝﹣4，
当点C在点B的右侧时，
∵m+n＝8，
∴x﹣（﹣3）+（x﹣3）＝8，
∴x＝4，
故答案为：﹣4或4；（3）设点C表示的数为y，
1
∵m= n，
3
1
∴y﹣（﹣3）= （3﹣y），
3
3
∴y=− ．
2
3
答：点C表示的数是− ．
2
13．（2021秋•确山县期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应
的数为x．
（1）若点P为AB的中点，则点P对应的数是 1 ．
（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．
（3）现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每
秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出
点P对应的数．
【思路点拨】
（1）根据点P为AB的中点列方程即可解得答案；
（2）分两种情况，当P在线段AB上时，由PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，知这种情况不存在；
当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，解得x＝5；
（3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣
6t，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，解出t的值，即可得到
答案．
【解题过程】
解：（1）∵A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为AB的中点，
∴3﹣x＝x﹣（﹣1），
解得x＝1，
∴点P对应的数是1，
故答案为：1；
（2）当P在线段AB上时，PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，∴这种情况不存在；
当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，
解得x＝5，
答：x的值是5；
（3）设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣6t，
根据题意得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，
2 14
解得t= 或t= ，
3 3
2 2
当t= 时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6× =−3，
3 3
14 14
当t= 时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6× =−27，
3 3
答：点P对应的数是﹣3或﹣27．
14．（2021秋•洪江市期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点 A重合，右端与点B重
合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；
若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：
cm），由此可得到木棒长为 6 cm．
（2）图中A点表示的数是 1 2 ，B点表示的数是 1 8 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红
去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；
你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【思路点拨】
（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是24﹣6＝18（cm），依此可求木棒长为6cm，
（2）根据木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所
对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应
的数为6，依此可求出A，B两点所表示的数；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看
作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为118，所以可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄．【解题过程】
解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是24﹣6＝18（cm），
则木棒长为：18÷3＝6（cm）．
故答案为：6；
（2）∵木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对
应的数为24，
∴B点表示的数是18，
∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，
∴A点所表示的数是12．
故答案为：12，18；
（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，
类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为﹣38，
小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为118，
∴可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，
可知爷爷的年龄为118﹣52＝66（岁）．
故爷爷现在66岁．
15．（2021秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的
位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 D
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5
D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单
位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ﹣ 1009
．
（2）翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 ﹣ 201 5 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后
重合，则A点表示 ﹣ 100 8 B点表示 101 0 ．
a+b
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表
2
示）
【思路点拨】
（1）①根据有理数的加法法则即可判断；
②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；
②由对称中心是1，AB＝2018，则A点表示﹣1008，B点表示1010；
③利用中点坐标公式即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这
时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），
故选D．
②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3
次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的
点表示的数是﹣1009．
（2）①∵对称中心是1，
∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，
②∵对称中心是1，AB＝2018，
∴则A点表示﹣1008，B点表示1010，
a+b
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．
2
故答案是；（1）①D； ②﹣1009；
（2）①﹣2015； ②﹣1008，1010；
a+b
（3） ．
2
16．（2021秋•西城区期末）在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，M为线段AC的中点．
（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；
（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；
1
（3）若数轴上的点Q满足QA= QC，求点Q表示的数．
4
【思路点拨】
（1）根据已知可知点M表示的数是1，点C表示的数是3，即可解答；
（2）分两种情况，在点B的左侧，在点B的右侧；
（3）分两种情况，点Q在点A的左侧，点Q在AB的之间．
【解题过程】
解：（1）∵点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，
∴点M表示的数是1，
∵点A表示的数是﹣1，
∴AM＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，
∵M为线段AC的中点，
∴MC＝AM＝2，
∴点C表示的数是3，
点M，点C在数轴上的位置如图所示：
∴点M，点C表示的数分别为：1，3．
（2）与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，是一条线段EF，如图所示：
线段EF是以点B为中点，距离为10的线段，且点E在数轴上表示的数为1，点F在数轴上表示的数为
11；
（3）设点Q表示的数为x，
分两种情况：
当点Q在点A的左侧，1
∵QA= QC，
4
1
∴﹣1﹣x= （3﹣x），
4
7
∴x=− ，
3
7
∴点Q表示的数为− ，
3
当点Q在AB的之间，
1
∵QA= QC，
4
1
∴x﹣（﹣1）= （3﹣x），
4
1
∴x=− ，
5
1
∴点Q表示的数为：− ，
5
7 1
综上所述：点Q表示的数为− 或− ．
3 5
17．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点 A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝
2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．
（1）如果规定向右为正方向；
①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝ ﹣ 5 ；
②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点
每向右移动1cm，p值将如何变化？
③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向 左 方向移动 2 3 cm；
5
④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝ − ．
n
（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是 5 .
【思路点拨】
（1）①建立数轴，确定原点，找到各点表示的数，相加即可；
②同①，确定原点，找到各数即可；③同①，先设原点，表示各数，相加和为64，从而确定出原点即可；
④单位长度为ncm，相当于把①中的单位长度除以n即可；
（2）确定原点，表示各数，相加即可．
【解题过程】
解：（1）①BC中点为原点O，
则C表示的数是1，B表示的数为﹣1，A表示的数为﹣5，
∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，
故答案为：﹣5；
②∵CO＝30cm，
∴C表示的数是﹣30，B表示的数是﹣32，A表示的数是﹣36，
∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，
原点出右移1cm，
则各点表示的数就﹣1，
所以和就减少3，
即p值减少3；
③根据②可知，原点向右平移1cm，p就减少3；
原点向左平移1cm，p就增加3，
∵p值是64，相对增加，
∴可设左移xcm，得，
﹣5+3x＝64，
∴x＝23，
故答案为：左；23；
④单位长度除以n，则表示的数除以n，
所以和除以n，
5
即p=− ；
n
5
故答案为：− ；
n
（2）∵A点表示的数为﹣1，
∴A点在原点左侧1cm处，
∵AB＝4cm，BC＝2cm，
∴C点到原点的距离为4﹣1+2＝5，∴C点表示的数是5，
故答案为：5．
18．（2021秋•仪征市期末）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺
AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点
重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 2 0 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；
（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出
发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的 m
的值．
【思路点拨】
（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；
1
（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OA，即得OA＝40× =10；
1+3
60−30 10
（3）①B、C重合时t= =15，即得15m＝60﹣10，故m= ；
2 3
②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，分五种情况：
（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合
时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．
【解题过程】
解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，
∴AB＝BC，
∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
∴OA＝AB，
∴OA＝AB＝BC，
∵OC＝60，1
∴AB＝60× =20，
3
故答案为：20；
（2）∵AB＝20，OC＝60，
∴OA+BC＝40，
∵BC＝3OA，
1
∴OA＝40× =10，
1+3
∴A点对应的数是10；
（3）①由（2）知，B运动前表示的数是30，
∵直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，
60−30
∴B、C重合时t= =15（秒），
2
根据题意得：15m＝60﹣10，
10
∴m= ，
3
10
答：m的值是 ；
3
②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，
（Ⅰ）当B是P、C中点时，
依题意有10+10m+60＝50×2，
解得m＝3；
（Ⅱ）当B与P重合时，
依题意有10+10m＝50，
解得m＝4；
（Ⅲ）当P是B、C中点时，
依题意有50+60＝2（10+10m），
解得m＝4.5；
（Ⅳ）当P与C重合时，10+10m＝60；
解得m＝5，
（Ⅴ）当C是P、B中点时，
依题意有10+10m+50＝60×2，
解得m＝6．综上所述，m的值是3或4或4.5或5或6．
19．（2021秋•富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距
离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分
别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
5
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数− ，1，4是点A，B的“倍分点”的是 1 ， 4 ；
2
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．
①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；
②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．
【思路点拨】
根据题干提供新定义求解．
5
（1）分别计算各数− ，1，4到A和B的距离，根据“倍分点”进行判断即可；
2
（2）①分类讨论点D位置求解；
②分类讨论：D，A，B分别是“倍分点”，列方程可解答．
【解题过程】
5 5
解：（1）∵﹣2+ =0.5，2+ =4.5，
2 2
5
∴数− 不是点A，B的“倍分点”；
2
∵1+2＝3，2﹣1＝1，
∴数1是点A，B的“倍分点”；
∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，
∴数4是点A，B的“倍分点”；
故答案为：1，4；
（2）设点D对应的数为x，
①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，
1
所以当BD= AB时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；
4
3
当BD= AB时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；
4当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；
当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；
综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；
②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；
10
当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得x= ；
3
点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得
70
x=− ；
3
点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；
50 130
当点B为倍分点时，同理可求x= ，﹣90，150， ．
3 3
10 70 50 130
综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30， ，﹣130，− ，110， ，﹣90，150， ．
3 3 3 3
20．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，
点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
OA+OB+OC
（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN= ，求点M在数轴上所表示的数．
2
【思路点拨】
（1）①先根据数轴上两点的距离可得AB的长，由线段中点的定义可得AM的长，同理得CN的长，由线
段的和差关系可得MN的长；
②存在两种情况：C在D的左边或右边，同理根据线段的和差关系可得MN的长；
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，结合数轴上两点间的距离公式，中点
坐标公式和线段的和差关系列方程求解．
【解题过程】
解：（1）①如图1，∵点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，
∵M是AB的中点，
1
∴AM= AB＝2，
2
1
同理得：CD＝3﹣1＝2，CN= CD＝1，
2
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝3﹣（﹣5）﹣2﹣1＝5；
②若CD＝1，存在两种情况：
i）如图2，点C在D的左边时，C与原点重合，表示的数为0，
1 7
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝1﹣（﹣5）﹣2− = ；
2 2
ii）如图3，点C在D的右边时，C表示的数为2，
1 9
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2﹣（﹣5）﹣2− = ；
2 2
7 9
综上，线段MN的长为 或 ；
2 2
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，
∵点A、B、C、D、M、N是数轴上的点，且点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，
a+b 1+c
∴点M在数轴上表示的数为 ，点N在数轴上表示 ，
2 2
a+b 1+c
∴MN＝| − |，
2 2OA+OB+OC
∵点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN= ，
2
a+b 1+c
∴2| − |＝a+b+c，
2 2
整理，得|a+b﹣1﹣c|＝a+b+c，
当a+b﹣1﹣c＝a+b+c时，
1
解得c=− （不符合题意，舍去），
2
当﹣a﹣b+1+c＝a+b+c时，
1
解得：a+b= ，
2
a+b 1
∴点M在数轴上表示的数为 = ，
2 4
1
综上，点M在数轴上所对应的数为 ．
4
