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期中测试压轴题考点训练（1-3 章）
一、单选题
1．正方形 在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为 和 ，若正方形
绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻
转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变
化；翻转 为正整数）次后，点C所对应的数为 ；翻转 次后，点C所
对应的数为 ；翻转 次后，点C所对应的数为 ；翻转 次后，点C所对
应的数为 ；于是令 即可得解．
【详解】解：翻转1次后，点C所对应的数为0；
翻转2次后，点C所对应的数为0；
翻转3次后，点C所对应的数为1；
翻转4次后，点C所对应的数为3；
翻转5次后，点C所对应的数为4；
翻转6次后，点C所对应的数为4；
翻转7次后，点C所对应的数为5；
翻转8次后，点C所对应的数为7；
翻转9次后，点C所对应的数为8；
……
翻转 次后，点C所对应的数为 ；
翻转 次后，点C所对应的数为 ；
翻转 次后，点C所对应的数为 ；
翻转 次后，点C所对应的数为 ；
余2，
令 ，
，翻转2022次后，点C所对应的数为2020；
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴、图形上点在数轴上所对应的数的变化规律，正确理解题意，准
确找出翻转的次数与点 对应的数字的规律是解答此题的关键．
2．如图， 的面积为1．第一次操作：分别延长 ， ， 至点 ， ， ，使
， ， ，顺次连接 ， ， ，得到△ ．第二次操作：
分别延长 ， ， 至点 ， ， ；使 ， ， ，
顺次连接 ， ， ，得到△ ， 按此规律，要使得到的三角形的面积超过
2021，最少经过 次操作．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式可知，若两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推
出 ， ，进而得到 ，
再以此类推进行求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
， ，
，
，，
，
同理： ， ，
，
同理可得，第二次操作后 ，
第三次操作后的面积为 ，
第四次操作后的面积为 ，
按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积相关的规律探究，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间
三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
3．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个
相同的管子在容器的 高度处连通(即管子底端离容器底 )．现三个容器中，只有甲
中有水，水位高 ，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分
钟，乙的水位上升 ，则开始注入( )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高
．
A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3
【答案】D
【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙
中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生
的高度差．
【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前，
由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为 /分钟， 所以当乙中水位为
时满足条件，所用时间为： (分钟)；
当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为 ，容器乙中的水位为 时，
满足题意，
设注水时间为x，则 ，解得 (分钟)，要使乙中水位高出甲 ，则需注水的时间为： 分钟．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本
题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水．
4．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根
小棒，搭100个这样的小正方形需要小棒（ ）根．
A．300 B．301 C．302 D．400
【答案】B
【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求
出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴
棒；…，搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；
∴搭100个这样的正方形需要3×100+1＝301根火柴棒；
故选B．
【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出
其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．
5．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ．
故 = ．
故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，几个非负数的和为0，则每个非负数
都为0．
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组，（2），（4，6，8），（10，12，
14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）…，若AM＝（i，j）表示正偶数M是第
i组第j个数（从左往右数），若A＝（2，3），则A ＝（ ）
8 2022A．（32，27） B．（32，50） C．（45，41） D．（45，49）
【答案】B
【分析】先计算出2022是第1011个数，然后判断1011在第几组，再计算是这一组的第几
个数即可．
【详解】解：2022是第1011个数，
设2022在第 组，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
故第1011个数在第32组，
第32组的第一个数为 ，
则2022是第 个数，
故 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规
律是解决问题的关键．
7．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的
周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为
GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC ，JI+HI= ，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC= ，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL= -DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长= + -DL+ n+EH=m+n．故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答
是解答本题的关键．
8．2018年电影《我不是药神》反映了进口药用药贵的事实，从而引起了社会的广泛关注.
国家针对部分药品进行改革，看病贵将成为历史.某药厂对售价为m元的药品进行了降价，
现在有三种方案.
方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；
方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；
方案三：第一、二次降价均为20%.三种方案哪种降价最多（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定
【答案】A
【分析】先用代数式分别表示出三种方案降价前后的价格，然后进行比较即可.
【详解】解：由题意可得：
方案一降价0.1m+m（1-10%）30%=0.37m；
方案二降价0.2m+m（1-20%）15%=0.32m；
方案三降价0.2m+m（1-20%）20%=0.36m；
故答案为A.
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意、列出相应的代数式并进行比较..
9．当 时，多项式 .那么当 时，它的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据 时，多项式 ，找到a、b之间的关系，再代入 求值即可.
【详解】当 时，
当 时，原式=
故选A.
【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b之间的关系.
10．有理数 在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式 的结果是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，
去括号合并同类项即可得到结果.
【详解】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且
∴a-b<0，a+b<0，b-c<0
∴ = = =
故选C
【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明
确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.
11．按下面的程序计算：
如果n值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n值可能有 （ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】根据最后的结果2343倒推，解出方程，再根据方程求出满足条件的 值．
【详解】由最后的结果可列出方程： ，解得：
再由 ，解得：
，解得：
，解得：，解得：
由 值为非负整数可知 值可能为0,3,18,93,468这5种情况.
故答案为D.
【点睛】解题的关键是先把代数式进行变形，然后把满足条件的字母代入计算得到对应的
值．
二、填空题
12．已知（x+1）2021＝a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021，则a+a+…+a +a ＝ ．
0 1 2 3 2021 2 4 2018 2020
【答案】22020﹣1
【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a+a+a…+a =22021÷2，最后令x＝0，a＝1计算即
0 2 4 2020 0
可
【详解】解：令x＝1，a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021＝a+a+a+a+…+a ＝22021；①
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2021
令x＝﹣1，a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021＝a﹣a+a﹣a+…+a ﹣a ＝0；②
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2020 2021
∴①+②得：a+a+a+a+…+a +a﹣a+a﹣a+…+a ﹣a =22021
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2020 2021
2（a+a+a…+a ）=22021
0 2 4 2020
a+a+a…+a =22021÷2
0 2 4 2020
令x＝0，
∴a＝1；
0
∴a+a+…+a +a ＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，
2 4 2018 2020
故答案为：22020﹣1．
【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键
13．若 是不为1的有理数，我们把 称为 的差倒数，如2的差倒数是 ．已知
， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，依此类推，则
．
【答案】4
【分析】根据差倒数的定义分别计算出a ，a ，a ，a …则得到从a 开始每3个值就循环，
1 2 3 4 1
而2019÷3=673，所以 ．
【详解】解：∵ ，
，…
∴这列数以 三个数依次不断循环出现；
∵2019÷3=673，
∴
故答案为:4
【点睛】此题考查了数字的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按
规律变化的因素，然后推广到一般情况．
14．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移
动3个单位长度至点 ，第2次从点 向右移动6个单位长度至点 ，第3次从点 向左
移动9个单位长度至点 按照这种移动方式进行下去，则 在数轴上表示的数为
．如果点 与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ．
【答案】 7 13
【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在
点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A 表示的数为-17-3=-20，A 表示的
13 12
数为16+3=19，则可判断点A 与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．
n
【详解】第一次点A向左移动3个单位长度至点A ，则A 表示的数，1-3=-2；
1 1
第2次从点A 向右移动6个单位长度至点A ，则A 表示的数为-2+6=4；
1 2 2
第3次从点A 向左移动9个单位长度至点A ，则A 表示的数为4-9=-5；
2 3 3
第4次从点A 向右移动12个单位长度至点A ，则A 表示的数为-5+12=7；
3 4 4
第5次从点A 向左移动15个单位长度至点A ，则A 表示的数为7-15=-8；
4 5 5
…；
则A 表示的数为-8-3=-11，A 表示的数为-11-3=-14，A 表示的数为-14-3=-17，A 表示的数
7 9 11 13
为-17-3=-20，
A 表示的数为7+3=10，A 表示的数为10+3=13，A 表示的数为13+3=16，A 表示的数
6 8 10 12
16+3=19，
所以点A 与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
n
故答案为7；13．
【点睛】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规
律是解题关键．15．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移
动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移
动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这
样第 次移动到的点到原点的距离为2018．
【答案】1345
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进
而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都
相差3），写出表达式就可解决问题．
【详解】第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；
第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7；
第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣ （3n+1），当
移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足： ．
故当移动次数为奇数时，﹣ （3n+1）=﹣2018，解得：n=1345，
当移动次数为偶数时， ，n= （不合题意）．
故答案为1345．
【点睛】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点
的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶
数项分别进行探究是解决这道题的关键．
16．若 ， ，则 ．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当 ， 时， ， ，
原式 ；
②当 ， 时， ， ，
原式 ；③当 ， ，且 时， ，
原式 ；
④当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑤当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑥当 ， ，且 时， ，
原式 ．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
17．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点 处，
第二次从 点跳动到O 的中点 处，第三次从 点跳动到O 的中点 处，如此不
断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【详解】解：依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为 ，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为 .
故答案为 ．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先
应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．关于x的方程 的解是整数，则整数m= .
【答案】0；或-1；或-2；或-3
【详解】解方程 可得（2m+3）x=12，，因为x、m都为整数，所以当m=0时，
x=4，当m=-1时，x=12，当m=-2时，x=-12，当m=-3时，x=-6，所以m的取值为0，或-1，或-2，或-3.
点睛：本题考查了一元一次方程解得情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况
解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
19．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个
数的和相等，如图：将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图二，则这9个数的和为
．
【答案】54
【分析】根据题意，先分析出第一行第一个数和第三行第一个数，即可进行解答．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
．
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴第一列的和为： ，∴这9个数的和为： ，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意设出未知数求解．
20．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得的新两位数比原来两位数大
9．这样的两位数共有 个．
【答案】8.
【分析】先设原数十位数字为a，个位数字为b，列出方程后化简得b-a=1，再根据a与b
值的要求选择确定数代入，求出满足该方程的值，即可解答此题.【详解】设原数十位数字为a，个位数字为b，
由题意得：10b+a-（10a+b）=9，
解得b-a=1，
∵a、b均为大于0且小于10的整数，
∴当b=9、8、7、6、5、4、3、2时，
a=8、7、6、5、4、3、2、1，
∴这样的两位数共有8个，
故填：8.
【点睛】此题考查方程的简单应用列出方程后根据a、b的取值确定准确数值是解题的关键.
21．若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是 ，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是 ．
【答案】 7 3
【分析】（1）当a＞3时，当﹣4≤a≤3时，当a＜﹣4时，分3种情况，求出|a﹣3|+|a+4|
的最小值是多少即可；
（2）当a＞1时，当﹣2≤a≤1时，当a＜﹣2时，分3种情况，求出|a+2|﹣|a﹣1|的最大值
是多少即可．
【详解】（1）当a＞3时，|a﹣3|+|a+4|＝a﹣3+a+4＝2a+1＞7，
当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|＝3﹣a+a+4＝7，
当a＜﹣4时，|a﹣3|+|a+4|＝﹣a+3﹣a﹣4＝﹣2a﹣1＞7，
由上可得，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|有最小值，最小值是7．
（2）当a＞1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2﹣a+1＝3，
当﹣2≤a≤1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2+a﹣1＝2a+1≤3，
当a＜﹣2时，|a+2|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣2+a﹣1＝﹣3，
由上可得，当a≥1时，|a+2|﹣|a﹣1|有最大值，最大值是3．
故答案为：7、3．
【点睛】此题主要考查绝对值最值的计算，注意分类讨论.
22．绝对值大于1而小于3.5的所有整数的和为 ．
【答案】0
【详解】根据已知得出1＜|x|＜3.5，求出符合条件的整数包括±2，±3，即2+（﹣2）+3+
（﹣3）=0．
故答案为0．
点睛：本题考查了对绝对值、相反数的意义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
23．已知 ， ， 的大小关系如图所示，则下列各式：① ；②
；③ ；④ ；⑤ .其中正确的是
．（请填写序号）【答案】②③⑤
【分析】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案.
【详解】由图可得，b<0，00，故②正确； ，故③正确；
，故④错误； ，故⑤正确；故答案为
②③⑤.
【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关
基础知识.
24．观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ……，
则 的个位数字是 .
【答案】4
【分析】由题中可以得 ， ， ， ， …
发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环，故2019÷4＝504…3．所以可知
的个位数字是4．
【详解】∵ ， ， ， ， ， ， ……
∴ =2，末位数字为2；
=6，末位数字为6；
=14，末位数字为4；
=30，末位数字为0；
=62，末位数字为2；
=126，末位数字为6；
=254，末位数字为4；
=510，末位数字为0；
发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环∴2019÷4＝504…3，
所以 的个位数字是4，故答案为：4．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并
应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到其末位数字的循环规律．
25．已知 ，则 的
最大值是 ．最小值是 ．
【答案】【分析】先讨论∶ 、 、 的最小值，根据它们的积是
36，分别得到 、 、 的值， 再讨论x、y、z的最大最
小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
当 时，x最小取 ，最大取2，
当 时，y最小取 ，最大取2，
当 时，z最小取 ，最大取3
∴ 的最大值为∶
，
的最小值为∶
，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值
的和分别是多少是解决本题的关键．
三、解答题
26．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数
乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把
一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算 ．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后
计算就变得非常简单．
分析方法：因为 ， ， ， ．
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：（1） ________；
（2）应用上面的方法计算： ．
（3）类比应用上面的方法探究并计算： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题中式子的计算规律直接计算即可；
（2）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算；
（3）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算.
【详解】（1）∵ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ＇
（2）
= = = ；
（3）
=
= =
= .
【点睛】此题考查有理数的混合运算，数字类规律的探究，根据题意得到此题的计算规律
是解题的关键.
27．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，
如表是调控后的价目表．
价目表每月用水量 单价
不超过6吨的部分 2元/吨
超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨
超出10吨的部分 8元/吨
注：水费按月结算．
（1）若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费 元；若该户居民9月份应
交水费26元，则该用户9月份用水量为 吨；
（2）若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量；
（3）若该户居民11月、12月共用水18吨，共交水费52元，求11月、12月各应交水费
多少元？
【答案】（1）20；9.5；（2）该用户10月份用水量为10.25吨；（3）11月份交16元，12
月份交36元或11月份交36元，12月份交16元．
【分析】（1）因为用水量为8 吨，所以计算单价分为两段，列式计算即可；先计算用水
量为6吨和10吨的总价，与26对比，发现9月份用水量x的取值范围，从而列出方程求解；
（2）与（1）类似，由题意得出水费30元，用水量超过了10吨，列方程求未知数即可；
（3）设该户居民11月、12月共应交的水费为W元，由题意表示出11月用水量；分三种
情况进行讨论：当0≤a≤6时，当6＜a≤8时，当8＜a＜9时，列式表示即可．
【详解】解：（1）6×2+（8﹣6）×4＝20，
答：该用户8月应交水费20元；
设该用户9月份用水量为x吨，
2×6＝12，2×6+（10﹣6）×4＝28，
∵12＜26＜28，
∴6＜x＜10，
则6×2+4（x﹣6）＝26，
x＝9.5，
答：该用户9月份用水量为9.5吨；
故答案是：20；9.5；
（2）该用户10月份用水量为y吨，则y＞10，
根据题意得：6×2+（10﹣6）×4+8（y﹣10）＝30，
y＝10.25；
（3）设11月份用水x吨，12月份用水（18﹣x）吨，
①当0≤x≤6时，18﹣x＞10，由题意得：2x+2×6+4×4+8[（18﹣x）﹣10]＝52．
即：﹣6x+92＝52，解得x＝ （舍去），
②当6＜x≤8时，18﹣x≥10，2×6+4（x﹣6）+2×6+4×4+8[（18﹣x）﹣10]＝52，
解得x＝7，18﹣x＝11．
故11月份的水费是：6×2+1×4＝16（元）
12月份的水费是：6×2+4×4+1×8＝36（元）．
同理可得：11月份交36元，12月份交16元．
答：11月份交16元，12月份交36元或11月份交36元，12月份交16元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，居民交水费问题，明确单价、用水量、总价的
关系；因为单价分三种，较为麻烦，容易出错，因此计算时要耐心细致；首先要弄清每个
单价部分的最大值，这样才能知道某月水费价格与水量之间的关系，尤其是第（3）问，不
但要注意11月的用水量的范围，还要注意12月的用水量的范围．
28．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2018＝0，O为原
点
(1) 试求a和b的值
(2) 点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求
点C的运动速度？
(3) 点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速
度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N
分别为PD、OQ的中点，问 的值是否发生变化，请说明理由.
【答案】(1) a＝－3，b＝9；(2)每秒5个单位或每秒2个单位；(3) 为定值，
理由见解析
【分析】(1) 根据非负数的和等于零，可得每个非负数同时为零，从而a=-3，b=9；
(2)设C点对应的数为x，CA=x-(-3)=x+3，由于点C存在在B点左侧和右侧两种情况，故CB
的长为|x-9|，根据CA=3CB列式即可求出x，从而求得运动速度；
(3设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示PQ、OD、MN，然后代入 求值即
可判断.
【详解】(1) a＝－3，b＝9
(2) 设3秒后，点C对应的数为x
则CA＝|x＋3|，CB＝|x－9|
∵CA＝3CB
∴|x＋3|＝3|x－9|＝|3x－27|
当x＋3＝3x－27，解得x＝15，此时点C的速度为当x＋3＋3x－27＝0，解得x＝6，此时点C的速度为
(3) 设运动的时间为t
点D对应的数为：t
点P对应的数为：－3－5t
点Q对应的数为：9＋20t
点M对应的数为：－1.5－2t
点N对应的数为：4.5＋10t
则PQ＝25t＋12，OD＝t，MN＝12t＋6
∴ 为定值.
故答案为(1) a＝－3，b＝9；(2)每秒5个单位或每秒2个单位；(3) 为定值.
【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，掌握两地之间的距离求法是解决
问题的关键．
29．阅读理解：
【阅读材料】
在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”如图1中三条线段的
长度可表示为： , 结论：数轴上任意两
点
表示的数为分别 ，则这两个点间的距离为 （即：用较大的数去减较小的
数）
【理解运用】
根据阅读材料完成下列各题：
（1）如图2, 分别表示数 ，求线段 的长；
（2）若在直线 上存在点 ，使得 ，求点 对应的数值.
（3） 两点分别从 同时出发以3个单位、2个单位长度的速度沿数轴向右运动，
求当点 重合时，它们运动的时间；
（4）在（3）的条件下，求当 时，它们运动的时间.
【答案】(1) 线段 的长为8;(2) 时，点对应的数值为5或9;(3)运动时间为 秒时， 重合;(4)运动时间为4或12小时， .
【分析】(1) 由题意，直接观察数轴和定义代入即可求出线段 的长;
(2)根据题意设点 对应的数值为 ，分当点 在点 左侧时以及当点 在点 右侧时列方
程求解即可;
(3)根据题意设运动时间为 秒时 重合用含t的代数式表示出M、N进行分析;
(4)由题意设运动时间为 秒时， ,分当点 在点 左侧时以及当点 在点 右
侧时进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得，线段 的长为： ，
答：线段 的长为8.
（2）设点 对应的数值为
（ⅰ）当点 在点 左侧时，
因为
所以
解得
（ⅱ）当点 在点 右侧时
因为
所以
解得
答： 时，点对应的数值为5或9.
（3）设运动时间为 秒时， 重合
点对应数值表示为 ， 点对应数值表示为
由题意得
解得
答：运动时间为 秒时， 重合.
（4）设运动时间为 秒时， ,
（ⅰ）当点 在点 左侧时，由（3）有
解得：
（ⅱ）当点 在点 右侧时
答：运动时间为4或12小时， .
【点睛】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距
离的方法解决问题．
30．【阅读】若点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之间的距离表示为
，则 ，即 表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点 ， 表示的数分别为 ，2，则 _______， 在数轴上可以理解为______；
(2)若 ，则 _________，若 ，则 ________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点 的点位于 和2之间，求 的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，求
出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9， 与 的距离
(2) 或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示 的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定
义将 转化为 即可得到结论；
（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或 ，数轴上表示 的点和到表示3的
点距离相等的点所表示的数为 ；
（3）根据题意， 表示a到 的距离加上 到2的距离，由于 位于 和2之
间，即 和2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当 时取得最小值，求出具体结果即
可．
【详解】（1）解：数轴上表示 的点与表示2的点之间的距离为9，，即可表示为 到 的距离，
故答案为：9； 与 的距离；
（2）解： ，
到3.1的距离为4，
， ，
，
到 的距离和 到3的距离相同，
，
故答案为： 或7.1； ；
（3）解： 可表示a到 的距离加上 到2的距离且 位于 和2之间，
原式可看作 与2之间的距离，
；
（4）解： 可表示为 到 的距离加上 到 的距离加上 到1的距离，
当 时，该式取得最小值，此时 ．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
