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第一次月考难点特训（二）和绝对值的几何意义有关的压轴题
1．点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 、
两点之间的距离 ，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和 的两点之间的距离是
________．
（2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为________．
（3）若 表示一个有理数，且 ，则 ________．
（4）若 ，利用数轴求出 的整数值为________．
2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的
重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；
因为 ．所以 的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距
离．
发现问题：代数式 的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3．
的几何意义是线段PA与PB的长度之和．
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3，
的最小值是3．
（1）解决问题， 的值是 ．
（2） 的最小值是 ．
（3）当a为何值时，代数式 的最小值是2．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应
的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点
C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为_____；如果|AB|＝3，那么x为_____；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为_____时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____．
4．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上
分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是 ．
5．请解答下列各题：
（1）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离表示为_______，如果 ，那么 _______．
（2）若点 表示的整数为 ，则当 ________时， ．
（3）要使 取最小值时，相应的 的取值范围是________，最小值是________．
（4）已知 ，则 的最大值为_______，最小值为_______．
（5）若 ，则 的取值范围是_______．
6．阅读下面材料，回答问题：
已知点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ．
（1）当 、 两点中有一点在原点时，不妨设点 在原点，如图1，．
（2）当 、 两点都不在原点时，
①如图2，点 、 都在原点的右边， ；
②如图3，点 、 都在原点的左边， ；
③如图4，点 、 在原点的两边， ．
综上，数轴上 、 两点的距离 ，如数轴上表示4和 的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数 和 的两点之间的距离是5，那么 ______；
（2）若数轴上表示数 的点位于 与8之间，则 的值为______；
（3）若 表示一个有理数，且 ，求有理数 的取值范围；
（4）若未知数 ， 满足 ，求代数式 的最小值和最大值．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点
之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可
以看做 ，表示3与 的差的绝对值，也可理解为3与 两数在数轴上所对应的两点之间
的距离．
【探索】（1）数轴上表示4和 的两点之间的距离是______．
（2）①若 ，则 ______；
②若使x所表示的点到表示3和 的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和 表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和 表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表
示的数是______，点B表示的数是_____；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关
系是_____．
【拓展延伸】
（5）当 ____时， 有最小值，最小值是_____．
8．阅读下面材料：
点 、 在数轴上分别表示数 、 ． 、 两点之间的距离表示为 ．则数轴上 、 两点之
间的距离 ．
回答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 和 的两点之间的距离是
．
（2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ；如果 ，那么 为
．
（3）当 取最小值时，符合条件的整数 有 ．
（4）令 ，问，当 取何值时， 最小，最小值为多少？请求解．
9．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如表示3的点与﹣2
的点之间的距离表示为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5；|x+2|+|x﹣1|可以表示数x的点与表示数1的点之间
的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之
和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的取值范围为﹣2≤x≤1，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）|x+2|+|x﹣2|的最小值是 ；|x+1|+|x﹣2|＝7，x的值为 ．
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ；此时x的值为 ．
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．
10．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这
样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以
用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为 ；
在数轴上，有理数5与 对应的两点之间的距离为 ；
在数轴上，有理数 与3对应的两点之间的距离为 ；
在数轴上，有理数 与 对应的两点之间的距离为 ；……
如图1，在数轴上有理数 对应的点为点 ，有理数 对应的点为点 两点之间的距离表为
或 ，记为 ．
【解决问题】
（1）数轴上有理数 与 对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数 与 对应的两点
之间的距离用含 的式子表示为______，若数轴上有理数 与 对应的两点 之间的距离
，则 等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点 是数轴上的三点，点 表示的数为4，点 表示的数为点 ，动点 表
示的数为 ．①若点 在点 两点之间，则 ______；
②若 ，即点 到点 的距离等于点 到点 的距离的2倍，求 的值．
11．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示
在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点
之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，
在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1
的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是
x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
12．已知多项式 是关于 的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为
和 ，在数轴上 为原点， 、 、 三点所对应的数分别是 、 、 ．请回答以下问题．
（1）① ______， ______， ______．
②若 为 的中点，则在数轴上 点所对应的数是______．
（2）有一动点 从点 出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后， 到 、 、 的距
离和为14个单位？
（3）在（2）的条件下，当点 移动到点 时立即掉头，速度不变，同时点 和点 分别从点和点 出发，向左运动，点 的速度5个单位/秒，点 的速度6个单位/秒．若 为 的中点，
且设点 、 、 、 所对应的数分别是 、 、 、 ，点 出发的时间为 ，当 时，
求 的值．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与
形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距
离叫做这个数的绝对值，如： ， ：表示数 的点到原点的距离。同样的， ：表示数
的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当 时， 表示什么意思？_____________________________；
②若 ，则 ______________________；
③若 ，则 的值是_____________________；
④求使 的值最小的所有符合条件的整数 .
14．大家知道 、它在数轴上的意义是表示数 的点与原点（即表示 的点）之间的距离，
又如式子 ，它在数轴上的意义是表示数 的点与表示数 的点之间的距离．
（1）在数轴上的意义是表示数 的点与表示数 的点之间的距离的式子是____．
（2）反过来，式子 在数轴上的意义是 ．
（3）试用数轴探究：当 时 的值为 ．
（4）进一步探究： 的最小值为 ，此时 的取值范围为 ．
（5）最后发现，当 的值最小时， 的值为 ．
15．如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为−40、20，数轴上一点P对应的数为x．（1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为
（2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，
点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？
（3）结合对前面问题的思考，若 ，求 的最大值和最小值．
16．阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点O时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两
点都不在原点时，分三种情况．
（1）如图2，点A，B都在原点右边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A，B都在原点左边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；
（3）如图4，点A，B在原点两边，则|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|．
综上所述，数轴上A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|．
根据材料回答下列问题：
（1）数轴上分别表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上分别表示1和-3的两点之间的
距离是 ；
（2）点A，B在数轴上分别表示x和-3，求A，B两点之间的距离，如果|AB|=2，求x的值；
（3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值，即在数轴上，表示x的动点到表示-1和2的两个点之间的距
离之和最小时，求这个最小值及对应的x的取值范围．
17．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x
＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距
离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2
的解集为x＜﹣1或x＞3．参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
