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第一次月考难点特训（二）
与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题
1．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y
轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；
（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．
【解答】解：（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∵A，B两点关于y轴对称，
∴CA＝CB，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，
∴CD＝MD，∠ABC＝45°，
∴∠BDM＝45°，
∴BM＝DM，
∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中， ，
∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，
∴AB＝AM+BM＝AC+CD，
即AB＝AC+CD；
（2）设∠ACB＝ ，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣ ，
α α在AB上截取AK＝AC，连接DK，
∵AB＝AC+BD，
∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，
∴在△CAD和△KAD中， ，
∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝ ，
∴∠BKD＝180°﹣ ，α
∵BK＝BD， α
∴∠BDK＝180°﹣ ，
在△BDK中， α
180°﹣ +180°﹣ +90°﹣ ＝180°，
∴ ＝1α08°， α α
∴α∠ACB＝108°；
（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BDH＝40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH+BH，∴AB＝AD+CD．
2．如图，A（﹣t，0）、B（0，t），其中t＞0，点C在OA上一点，OD⊥BC于点D，且∠BCO
＝45°+∠COD．
（1）求证：BC平分∠ABO；
（2）求 的值；
（3）若点P为第三象限内一动点，且∠APO＝135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置
关系？说明你的理由．
【解答】（1）证明：如图1中，∵AO＝BO＝t，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠BCO＝45°+∠COD＝∠BAO+∠ABC，
∴∠COD＝∠ABC，
∵OD⊥BC，
∴∠CDO＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠DOC＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO．
（2）解：中图1中，作DE＝DO，
∵∠ODE＝90°，
∴∠DEO＝45°＝∠EBO+∠EOB，
∵∠ABC＝∠CBO＝ ∠ABO＝22.5°，
∴∠EOB＝∠EBO＝22.5°，
∴EB＝EO，
∵∠ECO＝∠EOC＝67.5°，
∴EC＝EO，
∴BC＝2EC＝2（DE+DC）＝2DO+2DC，
∴ ＝ ＝2．
（3）结论：PB⊥AP，如图2，理由如下：
解：方法一：作OM⊥OP交PB于M，交AP的延长线于N，
∵∠APO＝135°，
∴∠OPN＝∠N＝45°，
∴OP＝ON，
∵∠AOB＝∠PON＝90°，
∴∠BOP＝∠AON，
在△OBP和△OAN中，
，
∴△BOP≌△AON，
∴∠BPO＝∠N＝45°，
∵∠OPN＝45°，
∴∠BPN＝∠BPO+∠OPN＝90°，∴BP⊥AP．
证法二：∵∠APO＝135°，∠ABO＝45°，
∴∠APO+∠ABO＝180°，
∴A、P、O、B四点共圆，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，
即BP⊥AP．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且
a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中
∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，
请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足
（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
当x＝0时，y＝4t，
当y＝0时，﹣x+4t＝0，
解得x＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝ ∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中， ，
∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中， ，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4t．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，
∴∠BPO+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，
在△OBP与△HPF中， ，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，
∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，
∴AH＝OA+AP＝OP，
∴FH＝AH，
∴∠GAO＝∠FAH＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG＝OA＝4t．4．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．
（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C
的坐标为 （ 0 ， 3 ） ；
（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求 的值．
【解答】（1）解：∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴OC＝OB+BC＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）；
（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∵∠OAB＝30°，
∴∠OAE＝30°+60°＝90°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，
∵MN是OA的垂直平分线，
∴OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AO＝AD，
在△ABD和△AEO中， ，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：
∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，
∴AH＝ AB，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，
∴OB＝ AB，
∴AH＝OB，
在Rt△AEH和Rt△BAO中， ，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，
在△HFE和△AFD中， ，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴DE＝2DF，
∴ ＝ ．
5．如图1，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足（a﹣b）2+ ＝
0，OC：OA＝1：3．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别
为x 、x ．当BD平分△BEF的面积时，求x +x 的值；
E F E F
（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在HM上取点
G，使HG＝HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否改变？若不变，请
求其值；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+ ＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣6＝0，
∴a＝b＝6，∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵OC：OA＝1：3．
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）；
（2）作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，如图1所示：
则∠FHD＝∠EGD＝90°，
∵BD平分△BEF的面积，
∴DF＝DE，
在△FDH和△EDG中， ，
∴△FDH≌△EDG（AAS），
∴DH＝DG，即﹣x +1＝x ﹣1，
E F
∴x +x ＝2；
E F
（3）∠CGM的度数不改变，∠CGM＝45°；理由如下：
如图2，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，
∵M（2，4），C（﹣2，0），A（6，0），
∴S（2，0），
∴MS垂直平分AC，
∴MC＝MA，且MS＝SC，
∴∠CMA＝90°，
∴∠CMT+∠AMH＝∠TCM+∠CMT＝90°，
∴∠TCM＝∠AMH，
在△CMT和△MAH中， ，
∴△CMT≌△MAH（AAS），
∴TM＝AH，CT＝MH，又AH＝HG，
∴MT＝GH，
∴GT＝GM+MT＝MG+GH＝MH＝CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGM＝45°，
即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变，其值为45°．
6．如图1，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a，b满足a2﹣24a+|b﹣12|＝
﹣144，且3OC＝OA．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若D（2，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，且DF＝DE，设E、F两点
的横坐标分别为x 、x ，求x +x 的值；
E F E F
（3）如图2，若M（4，8），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在HM上取点
G，使HG＝HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否改变？若不变，请
求其值；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a2﹣24a+|b﹣12|＝﹣144，
∴（a﹣12）2+|b﹣12|＝0，
∴a﹣12＝0，b﹣12＝0，
∴a＝b＝12，
∴A（12，0），B（0，12），
∴OA＝OB＝12，
∵OC：OA＝1：3．∴OC＝4，
∴C（﹣4，0）；
（2）作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，如图1所示：
则∠FHD＝∠EGD＝90°，
∵DF＝DE，
在△FDH和△EDG中，
，
∴△FDH≌△EDG（AAS），
∴DH＝DG，即﹣x +2＝x ﹣2，
E F
∴x +x ＝4；
E F
（3）∠CGM的度数不改变，∠CGM＝45°；
理由如下：作MQ⊥x轴于Q，连接CM、AG、M，如图2所示：
则MQ＝8，OQ＝4，
∴CQ＝4+4＝8，
∴MQ＝QC＝QA＝8，
∴△MCQ是等腰直角三角形，
∴∠MCQ＝45°，
同理：△MQA是等腰直角三角形，
∴∠MAQ＝45°，
∵AH⊥PM，HG＝HA，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴∠AGH＝45°＝∠MCQ，
∴A、G、M、C四点共圆，
∴∠CGM＝∠MAQ＝45°．7．如图，平面直角坐标系xOy中，B（﹣6，0）、C（6，0），点A在y轴上，（AB＞8），已点
D为AB上一点，且BD＝8，点P在线段BC上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动，设运动
时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）用含t的式子表示点P的坐标为 （ 2 t ﹣ 6 ， 0 ） ；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等，请说
明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
【解答】解：（1）∵B（﹣6，0）、C（﹣6，0），
∴OB＝OC＝6，
由题意得：BP＝2t，则PO＝OB﹣BP＝6﹣2t，
∴点P的坐标为（2t﹣6，0）；
故答案为：（2t﹣6，0）；
（2）△BPD≌△CQP，理由如下：
当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4，
∵BD＝8．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12，
∴PC＝12﹣4＝8，
∴PC＝BD，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中， ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）∵v ≠v ，
P Q
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝6，CQ＝BD＝8，
∴点P，点Q运动的时间t＝ ＝3，
∴V ＝ ，
Q
即点Q的运动速度是 时，能够使△BPD与△CQP全等．
8．在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0），且a、b满足：a2+b2﹣4a+4b+8＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图，若点D为x轴正半轴上一动点，∠ADO的平分线交y轴于点C，点F为线段OD上
一动点，过点F作CD的平行线交y轴于点H，且∠AFH＝45°，判断线段AH、FD、AD三者的
数量关系，并予以证明；
（3）以AO为腰，A为顶角顶点作等腰△ADO，若∠DBA＝30°，直接写出∠DAO的度数
30° 或 60° 或 150° ．
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣4a+4b+8＝0，
∴（a﹣2）2+（b+2）2＝0，
∵（a﹣2）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0）．
（2）结论：AH+FD＝AD
理由：连接AK，在AD上取K使AH＝AK，连接FK．
设∠HFO＝ ，
∴∠OAF＝4α5﹣ ，
∵HF∥CD， α
∴∠CDO＝∠ADC＝ ，
∴∠FAD＝45﹣ ， α
∴△AHF≌△AKαF，
∴∠AFK＝45°，
∴∠KFD＝90﹣ ，∠FKD＝90﹣ ，
∴FD＝DK， α α
∴AH+FD＝AD．
（3）如图2中：①当D 在△ABO内部时，当 BD ＝OD 时，过点 D 作D M⊥OA于M，
1 1 1 1 1
D N⊥OB于N．则四边形D MON是矩形，设OM＝D N＝m．在BN上取一点J，连接JD 使得
1 1 1 1
D J＝BJ．
1∵∠ABO＝45°，∠ABD＝30°，
∴∠JBD ＝∠JD B＝15°，
1 1
∴∠D JN＝∠JBD +∠JD B＝30°，
1 1 1
∴BJ＝JD ＝2m，JN＝ m，
1
∵D B＝D O，D N⊥OB，
1 1 1
∴BN＝ON＝2m+ m，
∴AM＝3m+2 a，MD ＝ON＝2m+ m，OA＝OB＝4m+2 m，
1
∴AD ＝ ＝ ＝4m+2 m，
1
∴AD ＝AO，
1
此时∠D BO＝∠D OB＝15°，∠AOD ＝∠AD O＝75°，
1 1 1 1
∴∠D AO＝30°．
1
②当D 在BD 的延长线上时，可得∠OAD ＝60°，
3 1 3
③当D 在AB上方时，同法可得∠OAD ＝60°，∠OAD ＝150°
2 2 4
∴∠DAO＝60°或30°或150°．
故答案为60°或30°或150°．
9．如图所示，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0）交 y 轴于点 B （0，b），且 a、b 满足
＝0，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若AB＝6 ，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N
从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM 的值是否
会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于
F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理
由．
【解答】解：（1）∵a、b满足 ＝0，
∴b＝6＝a
∴点A（6，0），点B（0，6）
∴AO＝BO＝6
∵PA＝AO＝6
∵BP＝AB﹣AP
∴BP＝6 ﹣6
（2）如图：连接OP
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°
∵点是AB中点
∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速
度都为1cm/s，
∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO
∴△PNO≌△PMA（SAS）
∴S△OPN ＝S△APM
∵S四边形PNOM ＝S△POM +S△OPN ＝S△POM +S△APM
∴S四边形PNOM ＝S△AOP ＝ S△AOB ＝ × ×6×6＝9
（3）相等
如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M
∵BD⊥OP，∠AOB＝90°
∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°
∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°
∴△BOD≌△OAM（ASA）
∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM
∵AM⊥OA，∠BAO＝45°
∴∠BAM＝∠BAO＝45°
∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO
∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP
∴△APM≌△APE（AAS）
∴AM＝AE，且AM＝OD
∴AE＝OD
10．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐
标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点
M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是
BN的中点．
【解答】解：（1）作CM⊥x轴于M，如图1，
∵C（2，﹣2），
∴CM＝2，OM＝2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4，
∴B（0，4）．
（2）证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，如图2，∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ECD，
由（1）可知OA＝OM，OD∥CM，
∴AD＝DC，（图1中），
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP＝90°，∠EPO＝45°，
∴∠OEP＝∠EPO＝45°，
∴EO＝PO，
∵∠EOP＝∠BOF＝90°，
∴∠EOB＝∠POF，
在△EOB和△POF中，，
∴△EOB≌△POF，
∴EB＝PF＝PN，∠1＝∠OFP，
∵∠2+∠PMO＝180°，
∵∠MOF＝∠MPF＝90°，
∴∠OMP+∠OFP＝180°，
∴∠2＝∠OFP＝∠1，
∴EB∥PN，
∵EB＝PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG＝GN，
即点G是BN中点．
11．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点．
（1）①：如图①．若动点P（a，b）满足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，且PA⊥PB，求点B的坐标．
②：如图②，在第（1）问的条件下，将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置，求OD﹣
OC的值．
（2）如图③，若点 A 与点 A'关于 x 轴对称，且 BM⊥PA′，若动点 P 满足∠APA′＝
2∠OBA'，问： 的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值．【解答】解：（1）①如图①中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，
又∵|3a﹣9|≥0，（3﹣b）2≥0，
∴3a﹣9＝0，3﹣b＝0，
∴a＝b＝3．
∴PE＝PF＝3，
∵∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，
∴四边形PEOF是正方形，
∴∠EPF＝∠APB＝90°，PE＝OF＝3，
∴∠APE＝∠BPF，
∵∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴△PEA≌△PFB（ASA），
∴AE＝FB，
∵A（0，2），
∴OA＝3，
∴AE＝BF＝1，
∴OB＝4，
∴B（4，0）．②如图②中，
由①可知∠PAC＝∠PBD，PA＝PB，
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APC＝∠BPD，
∴△APC≌△BPD（ASA），
∴AC＝BD，
∴OD﹣OC＝OB+BD﹣（AC﹣OA）＝BO+OA＝4+2＝6．
（2）如图3中，作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA′于N．
∵OA＝OA′，OB⊥AA′，
∴BA＝BA′，
∴∠OBA＝∠OBA′，
∵∠APA′＝2∠OBA′，
∴∠APN＝∠A′BN，
∠A′NB，
∴∠EAB＝∠BA′M，
∵BM⊥PA′，BE⊥AE，
∴∠A′MB＝∠E＝90°，∴△A′MB≌△AEB（AAS），
∴BE＝BM，AE＝A′M，
∵PB＝PB，∠BMP＝∠E＝90°，
∴Rt△PBM≌Rt△PBE（HL），
∴PM＝PE，
∴PA′﹣PA＝PM+A′M﹣（AE﹣PE）＝2PM，
∴ ＝2．
12．如图1，等边△ABC，∠BAC的平分线交y轴于点D，C的坐标为（0，6）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图2，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴
于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，且∠CEO＝30°，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，
EH⊥EC交OE的垂直平分线于H，连接FH交CE于P，求PF与PH的数量关系．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，CA＝BC，
∵AD为∠BAC的平分线，OC⊥AB，
∴∠CAD＝∠ACD＝30°，
∴AD＝CD，∠DAO＝30°，
∴OD＝ AD，
∴3OD＝6，OD＝2，
∴D（0，2）；
（2）∵△ABC与△CEF为等边三角形，∴AC＝AB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECF+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△BCF与△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE＝60°，
∴∠OBG＝180°﹣60°×2＝60°，
在△ACO与△BGO中，
，
∴△ACO≌△BGO（ASA），
∴OG＝OC＝6；
（3）PF＝PH，
证明：过点F作FD⊥CE于点D，连接OH，
∵∠CEO＝30°，∠COE＝90°，
∴∠OCE＝60°，
∵△CEF为等边三角形，
∴∠FCD＝60°，CF＝CE，
又∵∠CDF＝∠COE，
∴△CDF≌△COE（AAS），
∴DF＝OE，又∵点H在OE的垂直平分线上，
∴OH＝EH，
∵EH⊥CE，
∴∠HEC＝90°，
∴∠HEO＝60°，
∴△OEH为等边三角形，
∴EH＝OE，
∴DF＝EH，
又∵∠DPF＝∠EPH，∠FDP＝∠PEH＝90°，
∴△DFP≌△EHP（AAS），
∴PF＝PH．
