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专题 03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
专题1. 最值问题
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，
解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值
|x−a|+|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（x的取值范围） 图示
|x−a|+|x−b|
取值情况
当xb 无法确定
|x−a|+|x−b| |a−b|
结论：式子 在
a≤x≤b
时，取得最小值为 。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上
的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点 ， 分别表示数 ，
，则 ， 两点之间的距离为 ．反之，可以理解式子 的几何意义是数轴上表示实数
与实数3两点之间的距离．则当 有最小值时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际
上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建
立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看： 可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离； 可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣
5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离
是 4，则 x 的值为 ；②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子 的最小值为 ．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5
与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合
条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数
x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
题型2. 两个绝对值的差的最值
|x−a|−|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（x的取值范
图示
|x−a|−|x−b|
围） 取值情况
当xb |x−a|−|x−b| |a−b|
的值为定值，即为
|x−a|−|x−b| −|a−b| |a−b|
结论：式子 在x≤a时，取得最小值为 ；在 x≥b 时，取得最大值 。
例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是
（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式 ，当 时，可化简为______；若代数式的最大
值为 与最小值为 ，则 的值______．
例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣ |x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道， 的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，
一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意
义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求
的最大值；（3）直接写出 的
最大值为______．
题型3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
|x−a|+|x−b|
若已知 a
