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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 28 立体几何中的建系设点问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、建系有关的基础储备
与垂直相关的定理与结论
（1）线面垂直
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直；
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。
⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。
（2）线线垂直（相交垂直）
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若 ，则
二、建立直角坐标系的原则
1. 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即 轴要与坐标平面 垂直，在几何体中也是很
直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为 轴与底面的交点
2. 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于 轴上
（2）找角： 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3.常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系，所以在标 轴时要注意。
4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，
角）是一致的。5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条
线垂直），这个过程不能省略。
三、坐标的书写
1.能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的 点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
（2）底面上的点：坐标均为 ，即竖坐标 ，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正
确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：
O C
I
A H B
则可快速写出 点的坐标，位置关系清晰明了
2.空间中在底面投影为特殊位置的点
如果 在底面的投影为 ，那么 （即点与投影点的横纵坐标相同）
这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵
坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的 点，其投影为 ，而 所以
，而其到底面的距离为 ，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3.需要计算的点
①中点坐标公式： ，则 中点
②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的
值，例如：求 点的坐标，如果使用向量计算，则设 ，可直接写出
，观察向量 ，而 ，
四、空间直角坐标系建立的模型
(1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型．
建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条
件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直 面内两条线垂直)，这个过程不能省
略．然后建系．
z
D
A B
z 1 1
A
1 D
z 1
C
1
B 1 C 1
x F
y A D A B
O y
F E
B
E C C
x x y
(2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型．
情形１ 垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面
图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．
第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图
形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间
直角坐标系．如图1-1
第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图
形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间
直角坐标系．如图1-2
第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为
为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图
形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3图1－1
z
A
E
F
B O D y
M
x C
图1－2
图1－3
情形2 垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形
1．
图2－1 图2－2 图2－3
情形3 垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形
1．
图3－1 图3－2 图3－3二、题型精讲精练
【典例1】如图，在等腰梯形 中， ， ， 平面
，且 ，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
方案一：（选择 为轴），连结
可知 在 中
由 可解得
平面
，以 为坐标轴如图建系：
B
C
D
A
方案二（以 为轴）：过 作 的垂线 平面
，
以 为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：D C
A B
【典例2】如图：已知 平面 ，点 在 上，且 ，四边形 为直角梯形，
，建立适当的坐标系并求出各点坐标
O
解： 平面 ，
平面
两两垂直，如图建系：
中：
为等边三角形为等边三角形
在底面 投影为 且
综上所述：
【题型训练-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）如图所示，在三棱柱 中，点G、M分
别是线段AD、BF的中点.
(1)求证： 平面BEG；
(2)若三棱柱 的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面 平面ADEF，求二面
角 的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证
明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）取BE中点N，则 平行且等于 ，AG也平行且等于 ，而 平行且等于 ，
所以 平行且等于 ，
因此四边形 为平行四边形， ∥ ，
又 平面BEG， 平面BEG，
所以 平面BEG；
（2）由已知易证 建立以A为原点，以 的方向为x轴，y轴，z轴正
方向的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ，
设 为面 的法向量，则
，
同理可求平面 的法向量为 ，
.
所以二面角 的余弦值为 .
2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）如图所示， 为等边三角形， 平面 ，
， ， ， 为线段 上一动点．(1)若 为线段 的中点，证明： ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直可得 ，再证明 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）设 的中点为 ，连接 ，在平面 内，过点 作 交 于点 ，以 为原点建立
空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为 为线段 的中点，
且 为等边三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ， 四点共面，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）设 的中点为 ，连接 ，
在平面 内，过点 作 交 于点 ，
由（1）可得 两两垂直，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ．，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
3．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 是边长为4的菱形，与 交于点 平面 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，点 为 的中点，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，则由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形 为
平行四边形，所以 ，再由 平面 ，结合面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角
坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：如图，取 中点 ，连接 ，
因为 分别为 中点，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为菱形，所以 ，
所以 两两垂直，所以以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角
坐标系，
因为四边形 是边长为4的菱形， ，
所以 是正三角形，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
取平面 的法向量 ．
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱 的底面 是正三角形，侧面 是菱形，平面 平面 ， 分别是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证明一条直线平行于一个平面，只需证明该直线平行于平面内的一条直线即可；
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量计算线面角.
【详解】（1）
取 的中点 ，连接 ，因为 分别是棱 的中点，
则 ， ，∴四边形 为平行四边形，
所以 ，∵ 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）在平面 中过点 作 于 ，连接 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，由菱形 ， ，得 ， ，
因为点 为 的中点，∴ ，故以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间
直角坐标系：
则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，解得 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
5．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理作答.
（2）证明 平面 ，再利用等体积法求解作答.
【详解】（1）依题意，连接 ， 分别是 中点，则 ，
平面 平面 ，则 平面 ，
四边形 是矩形， ，同理有 平面 ，
又 平面 ，于是平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 .
（2）在圆锥 中， 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
平面 平面 ，在平面 内过点 作 于点 ，
则 平面 ，在 中， ，则 ，
显然 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ，因此 ，.
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图
1），将点 绕 旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由已知条件，先证明 ，再利用平面 平面 ，可证 平面 ，得到
，又 ，可得 平面 ，从而可证 ；
（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面 和平面 的法向量，进而求出 点坐标，
确定 点位置，求出四棱锥 的体积.
【详解】（1）证明：在长方形 中， ， 为 中点，
，
，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ， 平面 ， 平面 ，
，
平面 ， 平面 ，
.（2）
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
由题意可得 两两互相垂直，
以 为坐标原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
，
又 平面 ， 是平面 的一个法向量， ，
令 ，解得 或 （舍）.
即 为 的靠近 的三等分点时，二面角 的平面角为 ，
平面 ，且 ，
到平面 的距离为 ，又四边形 的面积为3，
四棱锥 的体积7．（2023·河南开封·统考三模）如图，在圆锥 中， 为圆锥顶点， 为圆锥底面的直径， 为底面
圆的圆心， 为底面圆周上一点，四边形 为矩形，且 ， ．
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接 ，
在 中， 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
在矩形 中， ，
同理可得 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（2）过点 做 交 于点 ，连接
由题可知 平面 ，且 ，所以 平面
则 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
∴ 在平面 内射影为 ，
则 即为 与平面 所成的角，所以
在 中，由 可知则 ， ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，
过点 垂直于平面 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，所以 ，
因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
8．（2023·新疆·统考一模）如图，在平面四边形ABCD中， ， ，且 ，
以BD为折痕把 和 向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且E，F不重
合.
(1)求证： ；
(2)若点G为 的重心（三条中线的交点）， 平面ABD，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明 平面 来证得 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值，再转化为余弦值.
【详解】（1）由题知 ， ，
设BD的中点为H，连接EH，FH，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，且 平面EFH， ，
所以 平面 ，又 平面EFH，所以 .
（2）
中，由勾股定理得， ，所以 为等边三角形.
连接AG并延长交BD于H， .过G作 ，以G为原点，如图所示建立空间直角坐标系.
在 中， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
设平面ABE的法向量为 ，
由 ， ，不妨取 ，
设BD与平面ABE所成角为 ，
则 ，
.
故BD与平面ABE所成角的余弦值为 .
9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形，且 ，
侧面 是边长为 的正方形，侧面 侧面 ， 为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形和等边三角形性质可证得 ；根据面面垂直和线面垂直性质可证得 ，
由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接 ，
侧面 是菱形，且 ， 是等边三角形，
又 为 的中点， ，
， ；
侧面 是边长为 的正方形， ，
又侧面 侧面 ，侧面 侧面 ， 侧面 ，
侧面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
平面 轴， 平面 的一个法向量 ，
，
平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
10．（2023·福建·校联考模拟预测）如图所示，三棱柱 的所有棱长均为1， ，
为直角.(1)证明：平面 平面 ；
(2)设点 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明 平面 来证得平面 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角 的正弦值.
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ， .
由于，三棱柱 的所有棱长均为1，故底面 是正三角形，
因此 ， .
由于 为直角，故 ，所以 .
于是 平面 ，由此得 .
在直角 中， .
在 中，由 ，故 .
又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，面 平面 ，
故平面 平面 .
（2）以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
于是 ， ， ， ， .由 ，得 ，所以
， ， .
设 是平面 的法向量.
，可取 .
由此得 .
即直线 与平面 所成角 的正弦值为 .
11．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体 中，底面 为直角梯
形， ， ，侧面 为菱形，平面 平面 ，M为棱 的中点．
(1)若点N为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）连接 ， ，证得 ，利用线面平行的判定定理，即可证得 平面 ．
（2）根据题意，证得 平面 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面
的一个法向量 和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ， ，
因为M，N分别为 ， 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：取 的中点O，连接 ，
因为侧面 为菱形，且 ，
所以在 中， ，解得 ，
所以 '，即 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过O作 的垂线，交 于H并延长，
分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，设 ，则 ，
故 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，可得 ，设平面 的法向量为 ， ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在图1中，四边形ABCD为梯形， ，
， ， ，过点A作 ，交BC于E．现沿AE将 ABE折起，使得
△
，得到如图2所示的四棱锥 ，在图2中解答下列两问：
(1)求四棱锥 的体积；
(2)若F在侧棱BC上， ，求二面角 的大小．
【答案】(1)4
(2)【分析】（1）在图1中，证明出平行四边形AECD为菱形，作出辅助线，得到 ，进而得到
平面ABC，得到 ，证明出 平面AECD，利用棱锥体积公式求出答案；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两法向量垂直，得到二面角大小为
.
【详解】（1）在图1中，∵ ， ，
∴ ，又 ，∴ ，
又 ，∴四边形AECD为平行四边形．
∵ ，∴平行四边形AECD为菱形．
在图2中，连接AC，则 ，
又 ，AC， 平面ABC， ，
∴ 平面ABC，
∵ 平面ABC，∴ ，
∵ ， ，AE， 平面AECD，
∴ 平面AECD，
其中菱形 的面积为 ，
．
（2）在图2中，以A为原点，以AD所在的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，
则 ， ， ， ，
，设面CEF的一个法向量为 ， ，
由 ，
解得 ，令 ，则 ，取 ，
设面DEF的一个法向量为 ，又 ，
由 ，
令 ，则 ， ，取 ，
所以 ，∴ ，
故二面角 为 ．
13．（2023·陕西宝鸡·校考一模）如图，在矩形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，且沿
， 分别将 与 折起来，使其顶点 与 重合于点 ，若所得三棱锥 的顶点 在
底面 内的射影 恰为 的中点.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求折起前的 与侧面 所成二面角的大小.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据题意，证得 平面 ，得到 ，结合 ，得到 是斜边
的等腰直角三角形，根据锥体的体积公式，即可求解；（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的一个法向量，结合向量的夹角
公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为 为矩形，在折叠过程中，可得 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为点 在底面 内的射影 ，且 为 的中点，所以 ，
所以 是斜边 的等腰直角三角形，
所以 ，且 ，
因为 为矩形，且 , 为边 , 的中点，可得 ，
所以 ，
即三棱锥 的体积 .
（2）解：以 为原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，又由平面 的一个法向量为 ，
设 所在的平面与侧面 的夹角为 ，且 ，
可得 ，所以 ，
又因为所求二面角为钝二面角，故其大小为 ，
即折起前的 与侧面 所成二面角的大小 .
14．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体 中， ， ，劣弧 的长为 ，AB为圆O
的直径．
(1)在弧 上是否存在点C（C， 在平面 同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)存在， 为圆柱 的母线
(2)
【分析】（1） 为圆柱 的母线时，证明 平面 ，从而得出 ；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角 的余弦值.【详解】（1）存在，当 为圆柱 的母线时， ．证明如下：
连接BC，AC， ，因为 为圆柱 的母线，所以 平面ABC，
又因为 平面ABC，所以 ．
因为AB为圆O的直径，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）以 为原点，OA， 分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则 ， ， ，
因为劣弧 的长为 ，所以 ， ，
则 ， ．
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得 ， ，所以 ．
因为x轴垂直平面 ，所以平面 的一个法向量 ．
所以 ，
又二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
【答案】(1)点 为线段 上靠近点 的三等分点
(2)
【分析】（1）在 取点 使 ，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；（2）取 的中点 ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小.
【详解】（1）点 为线段 上靠近点 的三等分点，
证明如下：
如图，
在 取点 ，连接 ， ,使得 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以在 中， ，所以 ，
所以点 为线段 上靠近点 的三等分点.
（2）如图，取 的中点 ，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨取 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
记锐二面角 的平面角为 ，所以 ，
又 ，则 ，所以锐二面角 的大小为 .
16．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为
底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；(2)求证：平面 平面 ；
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设 交 于点 ，连接 ，利用三角形相似证得 ，从而证得 ，进而
证得直线 平面 ；
（2）通过 平面 ，证得 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）建立空间直角坐标系，设 ，通过向量 和平面 的法向量建立直线 与
平面 所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.
【详解】（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，易知 底面 ， ，所以 ，
又 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ， .
又 ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，直线 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
.
（2）因为 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）易知 ，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设 ，可得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以当 时， 有最大值4，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 .
17．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）如图，在多面体 中，侧面 为菱形，
侧面 为直角梯形， 分别为 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，多面体 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，易证四边形 为平行四边形，则有 ，再由
线面平行的判定证结论；
（2）由题设及面面、线面垂直的性质可得 、 ，线面垂直的判定有 平面 ，连
接 得到 为三棱柱，设 ，用 表示多面体 的体积求参，构建空间直角
坐标系，向量法求直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，则 为 的中位线，
所以 ，且 ，又 ，且 ，
所以 ，且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 平面 ，
故 平面 .
（2）连接 ，在菱形 中 ，则 .
在直角梯形 中 ，所以 ，
因为面 面 ，面 面 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ，
又 ， 面 ，所以 平面 .
连接 ，因为 ，即 ，且 ，
所以 为平行四边形， 且 ，则 为三棱柱，
设 ，则 ，三棱柱 的体积 .
连接 ，则三棱锥 的体积 .
取 中点 ，连接 ，则 ，
面 面 ，面 面 面 ，则 面 ，所以三棱锥 的体积 ，
由多面体 的体积为 ，得： ，解得 .
综上， 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系.
则 ，
， ，
设面 的法向量为 ，由 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，
， 分别为 ， 的中点，点 在 上，且 为三角形 的重心.(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，四棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，首先说明 ，由重心的性质得
到 ，即可证明 ，从而得证；
（2）连接 ，即可得到 平面 ，连接 交 于点 ，即可证明 平面 ，再连接
即可得到 平面 ，根据锥体的体积求出 ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：连接 ，因为 ， ，所以 ，且 ，
由 ，得 ， ，
则 ，所以 .
连接 并延长交 于点 ，如图，
因为 为 的重心，所以 .
连接 ，因为 ，所以 .又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）连接 ，因为 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ， ，所以 平面 .
连接 交 于点 ，则 ， .
又 ， ， 平面 ， ，所以 平面 .
连接 ， 平面 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
易得四边形 的面积为 ，
由四棱锥 的体积为 得， ，所以 .
以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ， 则 ,即 ,
取 ，可得 ，
由（1）可知， 为 的中点，则 ，所以 .
由（1）知， ，所以直线 与平面 所成的角等于直线 与平面 所成的角，设为 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .19．（2023·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中， ，四边形BDEF为正方形，满足 ，
连接AE，AF，CE，CF．
(1)证明： ；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取CF的中点M，EF的中点N，连接AC，交BD于点O，连接EM，CN，AM，ON．由
已知条件可证 ，再利用线面垂直的判定，即 平面ONC，证明 平面ONC，即 平
面ONC，然后根据等边三角形三线合一证明 ，即可得到 平面AEM，最后根据线面垂直的
性质证得 ；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用等面积法可得OC边上的高 ，由勾股定理可得
，进而得到E点坐标，再求出平面BDEF的一个法向量为 ，利用线面角的公式求解
即可；方法二：将原图补成一个平行六面体，显然该平行六面体每个面均为有一个角为 的菱形，令 ，
， ，表示出 和平面BDEF的一个法向量为 ，利用线面角的公式和数量积的运算求解
即可．
【详解】（1）证明：如图，取CF的中点M，EF的中点N，连接AC，交BD于点O，连接EM，CN，
AM，ON．∵菱形ABCD中， ，
∴△ABD为等边三角形，∴ ．
∵四边形BDEF为正方形，
∴ ．
又∵ ， ，
∴在△ABF中，由余弦定理可得 ．
∴ ，又M为CF的中点，∴ ①．
∵四边形ABCD为菱形，∴ ．
又∵四边形BDEF为正方形， ， ，则 ，
∴ ，又 ，ON、AC在面ONC内，故 平面ONC．
∵ ，∴ 平面ONC，NC在面ONC内，∴ ，
由N为EF的中点，得 ．
∵ ， ， ， ．
又∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ．
又 ， ，∴ 为等边三角形．
又∵M为CF中点，∴ ②．
由①②，且 ，EM、AM在面AEM内，得 平面AEM，
又AE在面AEM内，故 ．
（2）方法一：以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD的
直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得 ， ．点N作NH垂直OC于点H，在 中， ， ，可得ON边上的高为 ，由等面积
法可得OC边上的高 ，
由勾股定理可得 ，故 ， ，
， ，
设平面BDEF的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，平面BDEF的一个法向量为 ．
设直线AE与平面BDEF所成角为 ，则 ，
∴直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为 ．
方法二：将原图补成一个平行六面体，显然该平行六面体每个面均为有一个角为 的菱形．
令 ， ， ，
依题意， ， ，
则 ，， ，
由于 ，
，
所以A1C与EF、BF都垂直且EF、BF都在面BDEF内，故 为平面BDEF的一个法向量，
设直线AE与平面BDEF所成角为 ，
，
∴直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为 ．
20．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知三棱柱 ， ， ，
， 在平面ABC上的射影为B，二面角 的大小为 ，
(1)求 与BC所成角的余弦值；
(2)在棱 上是否存在一点E，使得二面角 为 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理
由.
【答案】(1)
(2)存在，【分析】（1）根据已知结合几何知识得出 与 ，即可得出 为二面角
的平面角，则 ，令 ，则 ，在 中，得出 ，在 中，根据
， ， ， ，列式求解即可得出 ，过B作 ，又因为
平面ABC，所以BM、BC、 两两垂直，即可以 、 、 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐
标系，得出 ， ，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案；
（2） ，所以 ，得出 ，则 ，根据平面的法向量的
求法求出平面EBC与平面 的法向量，即可根据二面角 为 ，列式求解出 ，即可得出答
案.
【详解】（1）连接 ，因为 在平面ABC上的射影为B，
所以 平面ABC，
取AC的中点F，由于 ，
所以 ，
连接 ，由三垂线定理可得 ，
则 为二面角 的平面角，即 ，则 ，
令 ，则 ，
则在 中， ，
所以 ，
在 中， ， ， ， ，所以 ，解得 ，
过B作 ，又因为 平面ABC，
所以BM、BC、 两两垂直，
以 、 、 为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ，
则 与BC所成角的余弦值为
（2）设 ，所以 ，可求得 ，则 ，
设平面EBC的法向量为 ，由 ， ，
得 ，
解得 ，
因为 是三棱柱，所以 ，
设平面 的法向量 ，
由 ， ，
得 ，解得 ，
若二面角 为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以 的值为 .
