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培优专题 01 借助数轴将数与形结合
【专题精讲】
在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;
反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”
之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题
的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主
要体现在以下几个方面：
(1)利用数轴能形象地表示有理数；
(2)利用数轴能直观地解释相反数;
(3)利用数轴比较有理数的大小;
(4)利用数轴解决与绝对值相关的问题;
(5)巧用数轴可以探究动点的规律;
(6)应用数轴解决行程问题
◎类型一：利用数轴比较有理数的大小
解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数
表示在数轴上,由相对位置得出大小.
1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－ ，并
把这些数由小到大用“＜”号连接起来．2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数： ， 0 ， －3.5， 3， ．
(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：
(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．
．
3．（2021·辽宁·彰武县第三初级中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：
，并用“<”把这些数连接起来．
4．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，
2，并用“＜”号连接．
◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值
解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点
的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。
5．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相
反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点
表示的数．
6．（2021·全国·七年级专题练习）如图．在一条不完整的数轴上一动点A向左移动5个单
位长度到达点B，再向右移动9个单位长度到达点C．
（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；
（2）若点C表示的数为6，求点B、点A表示的数；（3）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．
7．（2022·江苏·七年级专题练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置．
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
(3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表
示的数是多少？
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点A向左移动4个单
位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C．
（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；
（2）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数.
◎类型三：利用数轴求整数点个数问题
解题方法：数轴上整数对应的点便是整数点,确定区间内整数点的个数,先要明确
区间内的最大整数与最小整数,再通过计算得到结果.
9．（2021·黑龙江鸡西·七年级期末）在数轴上位于-3和3之间（不包括-3和3）的整数点
有（ ）
A．7个 B．5个 C．4个 D．无数个
10．（2018·天津·南开中学七年级阶段练习）在数轴上任取一条长度为 的线段，则
此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001
11．（2019·四川·三台博强外国语学校七年级阶段练习）数轴上从-3.9到它的相反数有a个
整数点，则a个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖（ ）个整数点.
A．8 B．7 C．6 D．4
12．（2014·湖北黄冈·七年级期中）在数轴上表示整数的点称为整数点,某数轴的单位长度
是1㎝，若在这个数轴上随意画出一条长2015㎝的线段AB，则被线段AB盖住的整数有（
）
A．2012个或2013个 B．2013个或2014个C．2014个或2015个 D．2015个或2016个
◎类型四：应用数轴解决行程问题
解题方法：点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程
问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动 a个单位长度看作
+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行
程问题的相遇公式即可解决。
13．（2019·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上 点表示数 点表示数 点表示数
是最小的正整数，且 满足 ．
（1）求 的值；
（2）若将数轴折叠，使 点与 点重合，则点 与数_______表示的点重合；
（3）点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度在数轴上向点 运动，当点 到达点
后立即返回，仍然以每秒 个单位长度的速度运动至 点停止，设运动时间为
①当 时，求点 表示的有理数；
②当点 表示的有理数与 点的距离为 个单位长度时，直接写出所有满足条件的 值．
14．（2022·福建·福州教院二附中七年级期末）如图，已知点 ， ， 是数轴上三点，
点 对应的数为 ， ， ．
(1)求点 ， 对应的数；
(2)动点 ， 同时从 ， 出发，分别以每秒 个单位和 个单位的速度沿数轴正方向运
动， 为 的中点， 在 上，且 ，设运动时间为 。
①求点 ， 对应的数 用含 的式子表示 ；
② 为何值时，
15．（2022·全国·七年级专题练习）综合与探究
阅读理解：
数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形
结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系： 或 ．
问题解决：
如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2， ．
填空：
(1)A，B两点之间的距离为_______；
(2)点C为数轴上一点，在点A的左侧，且 ，则点C表示的数是_______；
(3)拓展应用：在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴
上匀速运动，设运动时间为t秒（ ），当t为何值时，P，C两点之间的距离为12个单
位长度？
16．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上有三点 ， ， 分别表示有理数 ，
， ，动点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向终点 移动，设点 移动时间为
．
（1）用含 的代数式表示点 分别到点 和点 的距离： ______， ______．
（2）当点 运动到点 时，点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向点 运动，点
到达点 后，再立即以同样的速度返回，当点 运动到点 时，两点运动停止．当点 ，
运动停止时，求点 ， 间的距离．
【巩固训练】
1．（2020·广东东莞·一模）如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整
数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
2．（2020·山西太原·七年级期末）如图，数轴上有 ， ， ， 四个整数点（即各点均
表示整数），且 ．若 ， 两点所表示的数分别是 和 ，则线段 的中
点所表示的数是（ ）．A． B． C． D．
3．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，
2，并用“＜”号连接．
4．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）先以1厘米长为一个单位长度画一条数轴，
然后在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”把这些数按从小到大的顺序排列起来：
．
排列：______________________________．
5．（2020·河南新乡·七年级阶段练习）已知有理数 所表示的点与原点的距离为4个单位
长度， 互为相反数，且都不为零， 互为倒数．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原
点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
7．（2022·江苏·七年级单元测试）如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣
3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的
速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，AB OA．
(1)求点B表示的数；
(2)将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数．
