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培优专题 01 一元二次方程的解法
◎方法一 直接开平方法
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，
x2 √a −√a
对于形如 =a( a ≥ 0 ) 的方程，根据平方根的定义可解得 x= ,x= .
1 2
（2） 直接开平方法适用于解形如 x 2 = p 或 (mx+a ) 2 = p( m ≠ 0 ) 形式的方程，如果 p ≥ 0 ，就可以利用直接开
平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互
为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的
系数为 1 ；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程
的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝1，x＝-1
1 2 1 2
C．x＝x＝-1 D．x＝1，x＝0
1 2 1 2
【答案】B
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【详解】解：∵x2-1=0，
∴x2=1，
∴x=±1，
即x=-1，x=1．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于 的方程 可以用直接开平方法求解，那么 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【详解】解：∵ ，且方程 可以用直接开平方法求解，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）关于 的方程 ．
（1）当 时，方程有__________的实数根；
（2）当 时，方程有__________的实数根；
（3）当 时，方程__________．
【答案】 两个不相等 两个相等 无实数根
【分析】（1）两边开方，即可求出答案；
（2）把p=0代入，再两边开方，即可求出答案；
（3）根据任何数的平方都是非负数得出方程无解．
【详解】解：（1）当p＞0时，x2=p的解为x= ，x=
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，即方程有两个不相等的实数根；
故答案为：两个不相等；
（2）当p=0时，x2=p的解为x=x=0，即方程有两个相等的实数根；
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故答案为：两个相等；
（3）当p＜0时，方程x2=p没有意义，即方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程 的解为______．
【答案】 ，
【分析】将常数项移到等号右边，用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，
定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)x= ，x=- ；
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(2)x= ，x=- ．
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【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
（1）
解：根据题中的新定义得：6x2-49=0，整理得：x2= ，
解得：x=± ；
∴x= ，x=- ；
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（2）
解：根据题中的新定义得：（x+1）2-（1-x）（x-1）=6，
方程整理得：x2+2x+1+x2-2x+1=6，即x2=2，
解得：x=± ．
∴x= ，x=- ．
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【点睛】此题考查了整式的混合运算，直接开平方解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
◎方法二 配方法
1 、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2 、把常数项移到等号的右边；
3 、方程两边都除以二次项系数；
4 、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5 、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
6．（2022·江苏南通·八年级期末）用配方法解方程 ，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程 +4x-1=0，
移项得： +4x=1，
配方得： +4x+4=1+4，即 =5．故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）下列解方程变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断．
【详解】解：A、若 ，
移项得
则 ，故该选项不符合题意；
B、若
开平方得 ，故该选项不符合题意；
C、若
则
，故该选项符合题意；
D、若
移项得
提公因式得
则x=0或x=-2，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次
方程的方法是解题的关键．8．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程 变为 的形式，则
________．
【答案】5
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a＋b的值．
【详解】解：方程 ，变形得：x2−2x＝3，
配方得：x2−2x＋1＝4，即（x−1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a＋b＝5
故答案为：5．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022·江苏南京·模拟预测）当 满足 时，方程 的根是________．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，再计算方程的解，根据解集的范围得到一元二次方程的根．
【详解】解： ，
解不等式①得x>2，
解不等式②得x<6，
∴不等式组的解集为2
