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培优专题 01 一元二次方程的解法
◎方法一 直接开平方法
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，
x2 √a −√a
对于形如 =a( a ≥ 0 ) 的方程，根据平方根的定义可解得 x= ,x= .
1 2
（2） 直接开平方法适用于解形如 x 2 = p 或 (mx+a ) 2 = p( m ≠ 0 ) 形式的方程，如果 p ≥ 0 ，就可以利用直接开
平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互
为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的
系数为 1 ；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程
的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝1，x＝-1
1 2 1 2
C．x＝x＝-1 D．x＝1，x＝0
1 2 1 2
【答案】B
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【详解】解：∵x2-1=0，
∴x2=1，
∴x=±1，
即x=-1，x=1．
1 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于 的方程 可以用直接开平方法求解，那么 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【详解】解：∵ ，且方程 可以用直接开平方法求解，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）关于 的方程 ．
（1）当 时，方程有__________的实数根；
（2）当 时，方程有__________的实数根；
（3）当 时，方程__________．
【答案】 两个不相等 两个相等 无实数根
【分析】（1）两边开方，即可求出答案；
（2）把p=0代入，再两边开方，即可求出答案；
（3）根据任何数的平方都是非负数得出方程无解．
【详解】解：（1）当p＞0时，x2=p的解为x= ，x=
1 2
，即方程有两个不相等的实数根；
故答案为：两个不相等；
（2）当p=0时，x2=p的解为x=x=0，即方程有两个相等的实数根；
1 2
故答案为：两个相等；
（3）当p＜0时，方程x2=p没有意义，即方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程 的解为______．
【答案】 ，
【分析】将常数项移到等号右边，用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，
定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)x= ，x=- ；
1 2
(2)x= ，x=- ．
1 2
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
（1）
解：根据题中的新定义得：6x2-49=0，整理得：x2= ，
解得：x=± ；
∴x= ，x=- ；
1 1
（2）
解：根据题中的新定义得：（x+1）2-（1-x）（x-1）=6，
方程整理得：x2+2x+1+x2-2x+1=6，即x2=2，
解得：x=± ．
∴x= ，x=- ．
1 1
【点睛】此题考查了整式的混合运算，直接开平方解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
◎方法二 配方法
1 、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2 、把常数项移到等号的右边；
3 、方程两边都除以二次项系数；
4 、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5 、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
6．（2022·江苏南通·八年级期末）用配方法解方程 ，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程 +4x-1=0，
移项得： +4x=1，
配方得： +4x+4=1+4，即 =5．故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）下列解方程变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断．
【详解】解：A、若 ，
移项得
则 ，故该选项不符合题意；
B、若
开平方得 ，故该选项不符合题意；
C、若
则
，故该选项符合题意；
D、若
移项得
提公因式得
则x=0或x=-2，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次
方程的方法是解题的关键．8．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程 变为 的形式，则
________．
【答案】5
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a＋b的值．
【详解】解：方程 ，变形得：x2−2x＝3，
配方得：x2−2x＋1＝4，即（x−1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a＋b＝5
故答案为：5．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022·江苏南京·模拟预测）当 满足 时，方程 的根是________．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，再计算方程的解，根据解集的范围得到一元二次方程的根．
【详解】解： ，
解不等式①得x>2，
解不等式②得x<6，
∴不等式组的解集为2<x<6，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴方程 的根是 ，
故答案为 ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确掌握计算法则及计算顺序是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·八年级期末）解方程：
(1) ；
(2)x2－6x＋2＝0．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ；
（2）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
◎方法三 公式法
（1） 一般地，对于一元二次方程 a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) ，如果 b 2 -4a c ≥ 0 ，那么方程的两个根为−b±√b2 −4ac
x= 2a ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程
的系数 a,b, c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) 的过程。
（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式： a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) ，一般 a 化为正值
② 确定公式中 a,b, c 的值，注意符号；
③ 求出 b 2 -4a c 的值；
④ 若 b 2 -4a c ≥ 0 ，则把 a,b, c 和 b-4a c 的值代入公式即可求解，若 b 2 -4a c ＜ 0 ，则方程无实数根 。
11．（2022·广西崇左·八年级期末）用公式法解方程 时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得 的值
【详解】解： 化为一般形式为：
， ，
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．
【详解】解：
判别式
故选：C
【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
13．（2022·江苏·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式 的值互为相反数，那么x的值为______．【答案】
【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．
【详解】解：根据题意知x2-3+(-x)=0，
整理，得：x2-x-3=0，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴x= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2019·全国·八年级单元测试）方程 的解是______.
【答案】 ，
【分析】利用公式法求解可得.
【详解】解：方程 中， ， ， ，
∴
方程有两个不等的实数根，
∴ ，
即： ， ，
故答案为： ，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) = ， = ；
(2) = ， =-2．
【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
（1）
解：方程整理得： ，
这里a=2，b=3，c=-3，
∵Δ=9+24=33＞0，
∴x= ，
解得： = ， = ；
（2）
解：方程整理得： ，
分解因式得： ，
解得： = ， =-2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题．
◎方法四 因式分解法
1 . 用因式分解法解一元二次方程的步骤
（ 1 ）将方程右边化为 0 ；
（ 2 ）将方程左边分解为两个一次式的积；
（ 3 ）令这两个一次式分别为 0 ，得到两个一元一次方程；（ 4 ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .
2 . 常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等 .
特别说明：
（ 1 ）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0 ，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（ 2 ）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0 ，那么这两个因式中至少有一
个等于 0 ；
（ 3 ）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0 ；②方程两边不能同时
除以含有未知数的代数式；
（ 4 ）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。
16．（2022·山东泰安·八年级期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可对方程进行化简，看能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是0的形式，即可应用因
式分解法来解．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，即 最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
B、 ，
∴ ，
∴ 最适合用因式分解法来解，故本选项符合题意；
C、 最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
D、 ，
∴ 最适合用直接开平方法来解，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边
通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元
一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学
转化思想）.17．（2022·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）方程 的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3，x＝﹣3
1 2
C．x＝ ，x＝ D．x＝﹣3，x＝0
1 2
【答案】D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
x(x+3)=0，
∴ ， ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题关键．
18．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期中）已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，
则该三角形的第三条边长为 _____．
【答案】 或
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，再分情况讨论即可．
【详解】解：方程分解因式得：（x﹣4）（x﹣8）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝8，
当8是直角边时，根据勾股定理得：第三条边长为 ＝4 ；
当8是斜边时，根据勾股定理得：第三条边长为 ＝4 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
19．（2021·湖南永州·九年级期中）关于x的一元二次方程 的一个解为0，则
______．
【答案】1或－3
【分析】把x=0代入原方程，再解关于m的一元二次方程，即可求得．【详解】解：把x=0代入原方程，得
，
得 ，
解得 ， ，
故答案为：1或－3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决
本题的关键．
20．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区一模）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
（1）
，
解： ， ， ，
，
， ；
（2）
，
解： ，
，
或， ；
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
◎方法五 换元法
1 、解数学题时 , 把某个式子看成一个整体 , 用一个变量去代替它 , 从而使问题得到简化 , 这叫换元法 .
换元的实质是转化 , 关键是构造元和设元 , 理论依据是等量代换 , 目的是变换研究对象 , 将问题移至
新对象的知
识背景中去研究 , 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化 , 变得容易处理 .
2 、我们常用的是整体换元法 , 是在已知或者未知中 , 某个代数式几次出现 , 而用一个字母来代替它
从而简化问题 ,
当然有时候要通过变形才能发现 . 把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程 , 从而
达到降次的目的 .
21．（2021·山东济南·八年级期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）
的解是x＝m－3，x＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（ ）
1 2
A．x＝－3，x＝1 B．x＝2m－3，x＝1
1 2 1 2
C．x＝2m－3，x＝1－2m D．x＝－3，x＝1－2m
1 2 1 2
【答案】B
【分析】先将方程 变形为 ，令 ，再根据已知方
程的解可得 ，由此即可得．
【详解】解：方程 可变形为 ，
令 ，则方程为 ，
由题意得： ，
所以 ，
所以 ，
即方程 的解是 ，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确找出两个方程之间的联系，并熟练掌握换元法是解题关键．
22．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）若实数 满足方程 ，那么
的值为（ ）
A． 或4 B．4 C． D．2或
【答案】B
【分析】设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，求出y，即可得出选项．
【详解】解：设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，
解得：y＝4或−2，
当y＝4时，x2＋2x＝4，此时方程有解，
当y＝−2时，x2＋2x＝−2，此时方程无解，舍去，
所以x2＋2x＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量
去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
23．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是_______．
【答案】3
【分析】设a2+b2＝y，则原方程换元为 y2-y﹣6＝0，可得y＝-2，y＝3，即可求解．
1 2
【详解】解：设a2+b2＝y，则原方程换元为 y2-y﹣6＝0，
∴（y+2）（y-3）＝0，
解得：y＝-2，y＝3，
1 2
即 a2+b2＝3或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
24．（2022·江苏·九年级专题练习）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___．
【答案】3
【分析】把a2+b2看做整体设为y，利用换元法得到新方程y（y－1）=6解方程求答．
【详解】解：设a2+b2=y，则原方程化为：y（y－1）=6，
去括号移项得：y2－y－6=0，
（y－3）（y＋2）=0，
解得y=3，y=﹣2，
1 2
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=3．
故答案为：3
【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题时要注意换元法的运用，还要注意a2+b2的取值是非负
数．
25．（2022·全国·九年级）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝
y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y＝0，y＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，
1 2
x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
1 2 3 4
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解．
【答案】x＝﹣3，x＝1，x＝x＝﹣1
1 2 3 4
【分析】将 作为一个整体设为m，将原方程化为普通的一元二次方程，求出m的解后，再分别代入
x2+2x进行求解即可．
【详解】解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣3，x＝1；
1 2
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x＝x＝﹣1；
3 4
综上，原方程的解为x＝﹣3，x＝1，x＝x＝﹣1．
1 2 3 4
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．◎方法六 十字相乘法
26．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 的一
个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，
最后计算周长即可。
【详解】解：∵ ，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法
并明确构成三角形的条件是解题的关键．
27．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
【答案】A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，当 时， ，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
28．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程 的两个根分别是Rt△ABC的两
条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．
【答案】
【分析】解一元二次方程求出x=2，x=3，根据勾股定理求出斜边长即可．
1 2
【详解】解：∵ ，
∴（x-2）（x-3）=0，
解得x=2，x=3，
1 2
∴Rt△ABC斜边长为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，勾股定理，正确掌握解方程的方法及勾股定理的计算公式是解题的
关键．
29．（2022·全国·九年级期中）若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程 的根，则这个等
腰三角形的周长是_____．
【答案】6或16或21
【分析】先利用因式分解法解方程得到x=7，x=2，利用三角形三边的关系和等腰三角形的性质的等腰三
1 2
角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，然后计算三角形的周长．
【详解】解： ，
x2-9x+14=0，
（x-7）（x-2）=0，
x-7=0或x-2=0，
所以x=7，x=2，
1 2
∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，
∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，
∴这个三角形的周长为6或16或21．故答案为：6或16或21．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这
种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
30．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）解方程：
(1) ﹣x＝3；
(2) ﹣x+2＝0．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
（1）
解：原方程可化为 ，
∵a=3，b=-1，c=-3，
∴ ，
∴ ，
得 ；
（2）
∵ ，
∴x-2=0或x-3=0，
∴ ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
