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专题 1.2 绝对值
【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴
上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离
是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．
【思路点拨】
（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．
【解题过程】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）
＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
|a+b| 2|b+c| 3|c+a|
4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：m= + + ，且abc＞0，a+b+c＝0．则m
c a b
共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
{ x，(x＞0)
5．我们知道 ，所以当x＞0时， x x ；当x＜0时， x x ．下列
|x|= 0，(x=0) = =1 = =−1
|x| x |x| −x
−x，(x＜0)
结论序号正确的是（ ）
a b
①已知a，b是有理数，当ab≠0时， + 的值为0或±2；
|a| |b|
2a b
②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则 + 的值为±1；
|a| |b|
b+c a+c a+b
③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则 + + =−1或3；
|a| |b| |c|
|abc| |a| |b| |c|
④已知a，b，c是非零的有理数，且 =−1，则 + + 的值为1或﹣3；
abc a b c
a b c abc
⑤已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0，则 + + + 的所有可能的值为0．
|a| |b| |c| |abc|A．①③④ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②④
2021
6．（2021秋•常州期末）已知x= ，则|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 ．
2022
7．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．
8．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝
．
9．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大
值为 ．
10．（2021秋•雁塔区校级期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，则a﹣b的最大值等于 ．
11．（2021 秋•江岸区校级月考）设有理数 a，b，c 满足 a＞b＞c，这里 ac＜0 且|c|＜|b|＜|a|，则
a+b b+c a+c
|x− |+|x− |+|x+ |的最小值为 ．
2 2 2
12．（2020秋•海曙区期末）已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c＝2021，其中a≤b≤c，则|a﹣b|+|b
﹣c|+|c﹣a|的最大值是 ．
13．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到
最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是 （填序号）．
14．有理数数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为 ，最小值为 ．
b+1 b+2 b+3
15．（2021秋•梁子湖区期中）已知|ab﹣2|与|b﹣2|互为相反数，求 − + 的值．
a+1 a−2 a+316．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五
个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c 0，b﹣a 0，b﹣d 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．
17．（2021秋•铜山区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，请回
答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为 ；
（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d为 ；
（3）若x表示一个有理数，且x大于﹣3且小于1，则|x﹣1|+|x+3|＝ ；
（4）若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3|＞1，则有理数x的取值范围为 ．
18．x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？
19．（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，
我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学
思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，
当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：
8 −3
（1） = ． =
|8| |−3|
a a b
（2） = （a≠0）， + = （其中a＞0，b≠0）
|a| |a| |b|
a b c abc
（3）若abc≠0，试求 + + + 的所有可能的值．
|a| |b| |c| |abc|
20．（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料．{ x(x＞0)
我们知道|x| ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|
= 0(x=0)
−x(x＜0)
x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点
值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3种情况：x＜
﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）
﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+
（x﹣2）＝2x﹣1．
{−2x+1(x＜−1)
∴|x+1|+|x﹣2| ，通过以上阅读，解决问题：
= 3(−1≤x＜2)
2x−1(x≥2)
（1）|x﹣3|的零点值是x＝ （直接填空）；
（2）化简|x﹣3|+|x+4|；
（3）关于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接写出x+y的最小值为 ．
