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专题 06 数学情景与新文化 100 题
类型一:函数类新文化题型
一、单选题
1．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干挠的信道中，最
大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率 、信道内部的高斯噪声功率 的大小，其
中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至2000，则 大约增加了
（ ）
A．10% B．30% C．50% D．100%
2．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17
日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规
划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状
态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其中 是喷流相对速度， 是火箭
（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总和， 称为“总质比”．若 型火箭的喷流相
对速度为 ，当总质比为500时， 型火箭的最大速度约为（ ， ）（ ）
A． B． C． D．
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人
吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底
部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为
正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥
落10米，则胡夫金字塔现高大约为
A．128.5米 B．132.5米 C．136.5米 D．110.5米4．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽
W，经科学研究表明：C与W满足 ，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的
高斯噪声功率， 为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将
信噪比 从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附： )
A．10% B．20% C．30% D．40%
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：
在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的
高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农
公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至8000，则C大约增加了( )（ ）
A．10% B．30% C．60% D．90%
6．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒
后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大
速度 单位 与燃料质量 (单位 )､火箭质量 单位 的函数关系为 ，若已知
火箭的质共为 火箭的最大速度为 则火箭需要加注的燃料为(参考数值为
结果精确到0.01 （ ）
A．243.69 B．244.69 C． D．7．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努
利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠
更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：
（ 为自然对数的底数）．当 ， 时，记 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，空气温度为 ，
则 后物体的温度 （单位：℃）满足： （其中k为常数， …）．现有某
物体放在20℃的空气中冷却， 后测得物体的温度为52℃，再经过 后物体的温度冷却到24℃，
则该物体初始温度是（ ）
A．80℃ B．82℃ C．84℃ D．86℃
9．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证
明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小
于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾
研究过这个问题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数， ，计算结果取整数)
A．1089 B．1086 C．434 D．145
10．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成
功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖
国威武.已知火箭的最大速度v（单位： ）和燃料质量M（单位： ），火箭质量m（单位： ）的
函数关系是： ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多
少（参考数值为 ； ）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
11．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N ，平均每个
0
病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长
随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N (1+K)t，若N =2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为
0 0
（ ）(参考数据：log 454≈18，log 454≈7，log 454≈5)
1.4 2.4 3.4
A．260 B．580 C．910 D．1200
12．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十天
干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循
环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，
那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（ ）
A．戊辰年 B．己巳年 C．庚午年 D．庚子年
13．2020年初，新冠病毒肺炎（COVID﹣19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来．因该病
毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新
冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密
切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为 ，且相互独立，该家庭至少检测了4人才
能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，此时 （ ）
A． B． C． D．
14．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主
知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日， 智能复兴号动车组在京张高
铁实现时速 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强 （单位： 表
示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级 （单位： 与声强 的函数关系式为
，已知 时， .若要将某列车的声强级降低 ，则该列车的声强应变为原
声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函
数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，如：
， ，已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
16．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控
的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“ ， ”2种叠加态，2个超导量子比特共有“ ，， ， ”4种叠加态，3个超导量子比特共有“ ， ， ， ， ，
， ， ”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.
设62个超导量子比特共有 种叠加态，则 是一个（ ）位的数.(参考数据： )
A．18 B．19 C．62 D．63
17．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重
大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，
发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月
连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿
１ ２
运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为
A． B．
C． D．
18．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：
在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的
高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照
香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 从1000提升到16000，则C大约增加了(附：)（ ）
A．21% B．32% C．43% D．54%
有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，也称取整函数，如： ， ，已知 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
20．2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学
附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于5G网络技术实现了
患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化.5G技术中数学原理之一就是
香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 （单位： ）取
决于信道带宽 （单位： ）、信道内信号的平均功率 （单位： ）、信道内部的高斯噪声功率
（单位： ）的大小，其中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升
至2000，则 大约是原来的（ ）
A．2倍 B．1.1倍 C．0.9倍 D．0.5倍类型二:三角形类新文化题型
21．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最
具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为
米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
22．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.
某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在
嘴角 处作圆弧的切线，两条切线交于 点，测得如下数据： （其中
）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于
（ ）
A． B． C． D．23．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一
个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45
米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
24．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙
形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 的外接圆和以 为
直径的圆的一部分，若 ， ，则该月牙形的面积为（ ）
A． B． C． D．
25．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬
至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为 ，冬至前后正午太
阳高度角约为 ．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐
的长度（单位：米）约为（ ）A．3 B．4 C． D．
26．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为
正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在
A点测得：塔在北偏东30°的点 处，塔顶 的仰角为30°，且 点在北偏东60°． 相距80（单位：
），在 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度 约为（ ）
A．69 B．40 C．35 D．23
27．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，
四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 为直角三角形中的一个锐角，若
该勾股圆方图中小正方形的面积 与大正方形面积 之比为 ，则 （ ）A． B． C． D．
28．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图， 为 的一个靠近点 的三等分
点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
29．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之
又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算
圆的面积.如图 的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则 的面积近似为 ，若我们运用割
圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计， 的面积近似为（ ）A． B． C． D．
30．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图所示，已知筒车的半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，筒车沿逆时针方向
以角速度 转动，规定：盛水筒 对应的点 从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，且以
水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为 轴建立平面直角坐标系 ，设盛水筒 从点 运动到
点 时经过的时间为 （单位： ），且此时点 距离水面的高度为 （单位：米），筒车经过 第一次到
达最高点，则下列叙述正确的是（ ）
A．当 时，点 与点 重合
B．当 时， 一直在增大
C．当 时，盛水筒有 次经过水平面
D．当 时，点 在最低点31．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，
有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个
三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则
该沙田的面积约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据： ）
A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米
32．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东
方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文
化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，
总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9
米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．
A． B． C． D．
33．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传
统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似
值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
34．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ，在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表
距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
35．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼
有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某
位游客（身高忽略不计）从地面 点看楼顶点 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 点，此时看点 的
仰角为45°，若 ，则楼高 约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
36．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧
， 两点间的距离，除了观测点 ， 外，他又选了两个观测点 ， ，且 ，已经测得两个角
， ，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的
角的其中一组，就可以求出 ， 间距离的是（ ）
① 和 ；② 和 ；③ 和 .A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③
类型三:向量类新文化题型
37．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地
区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．
图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为 ，圆 的
圆心为正六边形的中心，半径为 ，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与
黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形，且
，则（ ）A． B．
C． D．
39．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,
且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则 • （ ）
A．32 B．28 C．26 D．24
40．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股
4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形 中， 满足“勾3股4弦
5”，且 ， 为 上一点， .若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
41．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形，且
.下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
42．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4
弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦
5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若 =λ +μ ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C． D．1
43．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若 为 的中点，，则 （ ）
A． B． C． D．
44．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形
拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角
形拼成一个大的正三角形，如图2，若 ， ，那么 （ ）
A．2 B． C．6 D．
45．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽
在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国
古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由4个全等的直角三
角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为 的中点，则 （ ）A． B． C． D．
46．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲
学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形 ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如
图2的平面直角坐标系，设 .则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线 为终边的角的集合可以表示为
C．在以点 为圆心、 为半径的圆中，弦 所对的劣弧弧长为
D．正八边形 的面积为47．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图
①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线
段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分
的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的
曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，
动点P在六角形上(内部以及边界).若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
48．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是
把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为
．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立
创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，
，则 （ ）
A． B．C． D．
49．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所
示， 满足“勾三股四弦五”，其中股 ， 为弦 上一点（不含端点），且 满足勾股
定理，则 （ ）
A． B． C． D．
50．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方
形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形 中，已知 ， ，在线段 上任取
一点 ，线段 上任取一点 ，则 的最大值为（ ）
A．25 B．27 C．29 D．31
51．早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：
“当直角三角形的两条直角边分别为 （勾）和 （股）时，径隅（弦）则为 ”，故勾股定理也称为商高
定理.现有 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾 的长为 ，点 在弦 上的射影为点 ，则（ ）
A． B． C． D．
52．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比
毕达哥拉斯早500年.如图，现有 满足“勾3股4弦5”，其中 ， ，点 是 延长线上
的一点，则 =（ ）
A．3 B．4 C．9 D．不能确定
类型四:数列类新文化题型
53．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板
(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
54．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一
个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
55．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人
等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所
得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单
位）．这个问题中，甲所得为
A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱
57．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的
容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为
A．1升 B． 升 C． 升 D． 升
58．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为
A．13 B．14 C．15 D．16
59．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，
使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列
的周期.对于周期为 的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列
周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
60．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起
到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九
儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问
长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A． 岁 B． 岁 C． 岁 D． 岁
61．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十
九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，
天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长
者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为
A．94 B．95 C．96 D．98
62．《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为
尺，前九个节气日影长之和为 尺，则谷雨日影长为（ ）
A． B． C． D．
63．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，
小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正
对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的 倍；小老鼠第一天也打进一尺，
以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚 尺，则几日后两鼠相逢( )
A． B． C． D．
64．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只
老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后
每天减半，问两鼠在第几天相遇？
A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天
65．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.
年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法
称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国
剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 的整数中，把被 除余数为 ，被 除余数也为 的数，
按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为（ ）
A． B． C． D．
66．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，
若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数列 为牛
顿数列，设 且 ， ， 数列 的前 项和为 ，则 （ ）．A． B． C． D．
67．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百
零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：
齐去长安多少里？（ ）
A． B． C． D．
68．中国古代数学名著 九章算术 中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗 羊
主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有
牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半
”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、
马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C．a，b，c依次成公比为 的等比数列，且
D．a，b，c依次成公比为 的等比数列，且类型五:几何类新文化题型
69．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为（ ）
A． B． C． D．
70．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球
看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指
过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬
40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
71．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆
锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛
米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
72．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
73．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原
理可以得到柱体体积公式 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，
则该柱体的体积是A．158 B．162
C．182 D．32
74．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
75．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.
也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上
层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）
A． B． C． D．
76．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽 ，周四丈八尺，高一
丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体
积是多少？”（注：1丈=10尺，取 ）
A．704立方尺 B．2112立方尺 C．2115立方尺 D．2118立方尺
77．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书
馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为26米，高为
9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底
面夹角为 ，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约
为（ ）平方米（注： ）
A． B． C． D．78．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·
珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有
某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为 和 的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外
球表面上有一点 ，在内球表面上有一点 ，连接线段 .若线段 不穿过小球内部，则线段 长度的
最大值是（ ）
A． cm B．9cm C．3cm D．2cm
79．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反
射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部
分为高，球冠面积 ，其中R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的
面积为S，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
80．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，
多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设
正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A． B． C． D．
81．古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高
相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现.现有一底面半径与高的比值为 的圆柱，则该圆柱的表
面积与其内切球的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
82．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，
高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别
为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为
A． 平方尺 B． 平方尺 C． 平方尺 D． 平方尺
83．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角
三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三
棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．84．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下
周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为
1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为
2700立方寸（单位换算：1立方丈 立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可
得银子（ ）
A．200两 B．240两 C．360两 D．400两
类型六:概率类新文化题型85．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分
为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻
的概率是
A． B． C． D．
86．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2
的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，
其和等于30的概率是
A． B． C． D．
87．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
88．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC． ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余
部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取△自I，II，III的概率分别记为p，p，p，则
1 2 3A．p=p B．p=p
1 2 1 3
C．p=p D．p=p+p
2 3 1 2 3
89．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
90．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任
取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
A． B． C． D．
91．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊
名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，
则 名同学所有可能的选择有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
92．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了
“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的
一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与
中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则
此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A． B． C． D．
93．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，
结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四
个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
94．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著
的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉
三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，
1……．记作数列 ，若数列 的前n项和为 ，则A．265 B．521 C．1034 D．2059
95．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味
清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位： )服
从正态分布 ，则果实横径在 的概率为（ ）
附：若 ，则 ； .
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
96．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程
式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统
一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形
就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去
掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
97．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数
术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 部分，上、
下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、
十位、百位、 ，上面一粒珠（简称上珠）代表 ，下面一粒珠（简称下珠）是 ，即五粒下珠的大小等
于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 粒下珠，算盘表示
的数为质数（除了 和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
98．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、
水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元
素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为
A． B． C． D．
99．圆周率 是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研
究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得
的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有 个人说“能”，而有 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率
的近似值为
A． B． C． D．
100．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，
是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇
形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
