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专题 06 数学情景与新文化 100 题
类型一:函数类新文化题型
一、单选题
1．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干挠的信道中，最
大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率 、信道内部的高斯噪声功率 的大小，其
中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至2000，则 大约增加了
（ ）
A．10% B．30% C．50% D．100%
【答案】A
【分析】
根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为 和 ，
两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.
【详解】
当 时，
当 时，
则
又 ，根据选项分析，
所以信噪比 从1000提升至2000，则 大约增加了10%.
故选：A.
【点睛】
本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.
2．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17
日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规
划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其中 是喷流相对速度， 是火箭
（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总和， 称为“总质比”．若 型火箭的喷流相
对速度为 ，当总质比为500时， 型火箭的最大速度约为（ ， ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意把数据代入已知函数可得答案.
【详解】
．
故选：C.
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人
吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底
部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为
正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥
落10米，则胡夫金字塔现高大约为
A．128.5米 B．132.5米 C．136.5米 D．110.5米
【答案】C
【分析】
设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．
【详解】
胡夫金字塔原高为 ，则 ，即 米，
则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C．
【点睛】
本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．
属于常规题型．
4．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足 ，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的
高斯噪声功率， 为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将
信噪比 从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附： )
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】B
【分析】
先计算 和 时的最大数据传输速率 和 ，再计算增大的百分比 即可.
【详解】
当 时， ；
当 时， .
所以增大的百分比为：
.
故选：B.
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：
在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的
高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农
公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至8000，则C大约增加了( )（ ）
A．10% B．30% C．60% D．90%
【答案】B
【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】
解：当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴ 约增加了30%.
故选：B
6．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒
后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大
速度 单位 与燃料质量 (单位 )､火箭质量 单位 的函数关系为 ，若已知
火箭的质共为 火箭的最大速度为 则火箭需要加注的燃料为(参考数值为
结果精确到0.01 （ ）
A．243.69 B．244.69 C． D．
【答案】C
【分析】
利用指对互化解出 ，可得火箭需要加注的燃料的估算值．
【详解】
，则 ，所以
解得
故选：C
7．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努
利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠
更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（ 为自然对数的底数）．当 ， 时，记 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用导数证明函数 在区间 上单调递增，再结合单调性比较大小即可.
【详解】
由题意知， ，
当 时， ，即函数 在区间 上单调递增
， ，即
故选：C
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数 的单调性，再结合单调性比较大小.
8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，空气温度为 ，
则 后物体的温度 （单位：℃）满足： （其中k为常数， …）．现有
某物体放在20℃的空气中冷却， 后测得物体的温度为52℃，再经过 后物体的温度冷却到
24℃，则该物体初始温度是（ ）A．80℃ B．82℃ C．84℃ D．86℃
【答案】C
【分析】
先利用第二次冷却： ，代入求出 ，然后对第一次冷却，代入公式，
求出初始温度.
【详解】
第二次冷却： ，
即 ，解得： ；
第一次冷却： ，
即 ，解得： ；
故选：C.
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字
语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；
(3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型．
9．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证
明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小
于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾
研究过这个问题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论．若根据欧拉得出的结
论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数， ，计算结果取整数)
A．1089 B．1086 C．434 D．145
【答案】B
【分析】
由题意可知10000以内的素数的个数为 ，计算即可得到答案.【详解】
由题可知小于数字 的素数个数大约可以表示为 ，
则10000以内的素数的个数为 = = =2500 ，
故选B.
【点睛】
本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.
10．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成
功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖
国威武.已知火箭的最大速度v（单位： ）和燃料质量M（单位： ），火箭质量m（单位： ）的
函数关系是： ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多
少（参考数值为 ； ）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
【答案】B
【分析】
根据已知数据和函数关系式直接计算．
【详解】
，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的应用，属于基础题．
11．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N，平均每个
0
病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长
随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N(1+K)t，若N=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为
0 0
（ ）(参考数据：log 454≈18，log 454≈7，log 454≈5)
1.4 2.4 3.4
A．260 B．580 C．910 D．1200【答案】C
【分析】
首先根据题意得到 ，再根据参考数据求解即可.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
12．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十天
干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循
环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，
那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（ ）
A．戊辰年 B．己巳年 C．庚午年 D．庚子年
【答案】B
【分析】
由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己,地支为 巳，即可求出答案.
【详解】
天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，
2020年是干支纪年法中的庚子年，而 ，所以2049的天干为己,地支
为 已，
故选：B.
【点睛】
本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解能力将生活中的数据和用语转化为数
学中的概念和数据，属于中档题.
13．2020年初，新冠病毒肺炎（COVID﹣19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来．因该病
毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新
冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危
户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为 ，且相互独立，该家庭至少检测了4人才
能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，此时 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，
或前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出 ，求 ，利用导数求当 最大时， 的值.
【详解】
由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，
或前4人检测为阴性，第5人为阳性.
，
.
，
令 ，得 ； ，得 .
在 上单调递增，在 单调递减，
时， 最大，即 .故选： ．
【点睛】
本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算公式，考查利用导数求最值，属于中档题.
14．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主
知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日， 智能复兴号动车组在京张高
铁实现时速 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强 （单位： 表
示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级 （单位： 与声强 的函数关系式为
，已知 时， .若要将某列车的声强级降低 ，则该列车的声强应变为原
声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】C
【分析】
由题设可得 ，代入函数式，由指对数的关系有 ，进而求声强级降低 的声强 ，应用
指数幂的运算性质求声强的比值.
【详解】
由题设， ，解得 ，则 ，
∴ ，要使声强级降低 ，则 ，
∴ .
故选：C
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函
数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，如：
， ，已知 ，则函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简得出 ，可得 时， ； 时， ； 时， ，即
可求出.
【详解】
，
当 时， ，则 ，则 ，此时 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，则 ，此时 ，
则对于函数 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，
故 的值域为 .
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是化简得出 ，分别求出 时 的取值范围.
16．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控
的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“ ， ”2种叠加态，2个超导量子比特共有“， ， ， ”4种叠加态，3个超导量子比特共有“ ， ， ， ，
， ， ， ”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数
级增长.设62个超导量子比特共有 种叠加态，则 是一个（ ）位的数.(参考数据： )
A．18 B．19 C．62 D．63
【答案】B
【分析】
根据题意 个超导量子比特共有 种叠加态，进而两边取以 为底的对数化简整理即可得答案.
【详解】
根据题意，设 个超导量子比特共有 种叠加态，
所以当有62个超导量子比特共有 种叠加态。
两边取以 为底的对数得 ，
所以 ，由于 ，
故 是一个19位的数.
故选：B
【点睛】
本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得 个超导
量子比特共有 种叠加态，进而根据对数运算求解.
17．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一
重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个
问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距离为
１ ２
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立 的方程，解方程、近似计算．题目所处
位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运
算求解能力的考查．
【详解】
由 ，得
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的
变形出错．
18．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：
在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的
高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照
香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 从1000提升到16000，则C大约增加了(附：)（ ）
A．21% B．32% C．43% D．54%
【答案】D
【分析】
利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C的比值即可求解.
【详解】
解：由题意 ，所以C大约增加了54%.
故选：D.
19．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，如：
， ，已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合指数函数性质求得 的值域，然后再根据新定义求 的值域．
【详解】
，显然 ， ，
所以 的值域是 ，
当 时， ，
时， ，当 时 ，
所以所求值域是 ．
故选：C．
20．2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于5G网络技术实现了
患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化.5G技术中数学原理之一就是
香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 （单位： ）取
决于信道带宽 （单位： ）、信道内信号的平均功率 （单位： ）、信道内部的高斯噪声功率
（单位： ）的大小，其中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升
至2000，则 大约是原来的（ ）
A．2倍 B．1.1倍 C．0.9倍 D．0.5倍
【答案】B
【分析】
由题可得 ，根据 可求出.
【详解】
，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
又 ，则 ，即 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查对数函数的应用，解题的关键是得出 ，再利用
求出.类型二:三角形类新文化题型
21．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最
具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为
米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
【答案】B
【分析】
由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．
【详解】
解：由题得：弓所在的弧长为： ；
所以其所对的圆心角 ；
两手之间的距离 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息．
22．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.
某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在
嘴角 处作圆弧的切线，两条切线交于 点，测得如下数据： （其中
）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知 ，设 ．可得 ．于是可得 ，进而得出结论．
【详解】
解：依题意 ，设 ．
则 ．
， ．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 ．
则 ，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
23．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一
个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为
45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【答案】B
【分析】直接利用扇形面积计算得到答案.
【详解】
根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S lr 45 270（平方米）.
故选：B.
【点睛】
本题考查了扇形面积，属于简单题.
24．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙
形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 的外接圆和以 为
直径的圆的一部分，若 ， ，则该月牙形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出 的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论．
【详解】
解析由已知可得 ， 的外接圆半径为 1.由题意，内侧圆弧为 的外接圆的
一部分，且其对应的圆心角为 ，则弓形 的面积为 ，外侧的圆弧以
为直径，所以半圆 的面积为 ，则月牙形的面积为 .故选：A．
25．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬
至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为 ，冬至前后正午太
阳高度角约为 ．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐
的长度（单位：米）约为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，建立解三角形的数学模型，将问题转化为利用正弦定理解三角问题求解即可.
【详解】
如图,根据题意得 ,
所以 ,
所以在 ,由正弦定理得 ,即 ,
解得 ,
所以在 中, ,即 ,解得
.
故选：C
【点睛】
本题考查数学问题，解三角形的应用问题，考查数学建模思想，数学运算能力，是中档题.本题解题的关键
在于根据题意，建立三角形模型，利用正弦定理求解即可.
26．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为
正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在
A点测得：塔在北偏东30°的点 处，塔顶 的仰角为30°，且 点在北偏东60°． 相距80（单位：
），在 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度 约为（ ）A．69 B．40 C．35 D．23
【答案】B
【分析】
根据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可.
【详解】
如图，根据题意，图中 平面ABD, ,
中， ，
又 平面ABD， 是直角三角形
中，
，选项B正确，选项ACD错误
故选：B.
27．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，
四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 为直角三角形中的一个锐角，若
该勾股圆方图中小正方形的面积 与大正方形面积 之比为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图。由题意得 ，从而可得 ，给等式两边平方
化简后得 ，从而可求出 ，而
，进而可求得答案
【详解】
由题意得 ，因为 ，
，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
，故选：D
28．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图， 为 的一个靠近点 的三等分
点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，扇形的圆心角为 ，求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求
事件的概率.
【详解】
设 ，扇形的圆心角为 ，则整个扇形的面积为 ，
扇环的面积为 ，由几何概型的概率公式得 .
故选：D.
【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.
29．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之
又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算
圆的面积.如图 的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则 的面积近似为 ，若我们运用割
圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计， 的面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得 的面积的近似值.
【详解】
，
圆内接正二十四边形的面积为 .
故选：C
30．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图所示，已知筒车的半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，筒车沿逆时针方向
以角速度 转动，规定：盛水筒 对应的点 从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为 轴建立平面直角坐标系 ，设盛水筒 从点 运动到
点 时经过的时间为 （单位： ），且此时点 距离水面的高度为 （单位：米），筒车经过 第一次到
达最高点，则下列叙述正确的是（ ）
A．当 时，点 与点 重合
B．当 时， 一直在增大
C．当 时，盛水筒有 次经过水平面
D．当 时，点 在最低点
【答案】C
【分析】
由题意，设 ，易知 ，从而求得 ， 由 从点 运动到点 时经过的时
间为 （单位： ），得到 ，再由经过 第一次到达最高点，令 求得函数解析式
再逐项判断.
【详解】
设 ，依题意 ．又 ，所以 ．又 ，圆 的
半径为 ，所以 点满足 ，当 时， ，解得 ，所以 ，
故 ．该函数最小正周期为 ，所以当 时，点 与点 重合，选项A错误；
令 ，解得 ，当 时， ，又因为，所以选项B错误；
令 ，即 ，所以 或
，解得 或 ．又 ，所以 可以取的值为 ， ，
， ， ，此时盛水筒有 次经过水平面，选项C正确；
当 时， ，所以选项D错误，
故选：C．
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化
为研究y＝sin t的性质．
31．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，
有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个
三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则
该沙田的面积约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据： ）
A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米
【答案】D
【分析】
根据由海伦公式 即可得到沙田面积.
【详解】
由海伦公式 其中 ， 分别为三角形三边长，
可得：该沙田的面积平方米≈14.5平方千米，
故选：D
32．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东
方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文
化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，
总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9
米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得到 和 的长度，从而得到 的值，根据正切函数的单调性，得到
，从而得到答案.
【详解】
依题意得“斗冠”的高为 米，
如图， ， ，
为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，
，
而 ， ，且 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
故选：C．【点睛】
本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.
33．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国
传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的
近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可得出结果.
【详解】
单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆心角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周长是解答
的关键，考查计算能力，属于中等题.
34．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ，
在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表
距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【分析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．35．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼
有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某
位游客（身高忽略不计）从地面 点看楼顶点 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 点，此时看点 的
仰角为45°，若 ，则楼高 约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
【答案】B
【分析】
设 的高度为 ，在直角三角形中用 表示出 ，由 可求得 得楼高．
【详解】
设 的高度为 ，
则由已知可得 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以楼高 （米）．
故选：B．
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．
36．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧
， 两点间的距离，除了观测点 ， 外，他又选了两个观测点 ， ，且 ，已经测得两个角， ，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的
角的其中一组，就可以求出 ， 间距离的是（ ）
① 和 ；② 和 ；③ 和 .
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③
【答案】D
【分析】
根据已知观测数据，结合各组观测角，判断在不同的三角形中，应用正余弦定理是否可以求得CD的长即
可.
【详解】
根据题意，△ 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
①中， ，故 ，故①可以求出 ；③与①条件等价.
②中，在△ 中， ，故 ，在△ 中，利用余弦定理求解
即可；
故选：D.类型三:向量类新文化题型
37．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地
区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．
图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为 ，圆 的
圆心为正六边形的中心，半径为 ，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算得出 ，求出 的取值范围，由此可求得 的取值范围.
【详解】
如下图所示，由正六边形的几何性质可知， 、 、 、 、 、 均为边长为
的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时， 取最大值 ，
当点 为正六边形各边的中点时， 取最小值，即 ，所以， .
所以， .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
38．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与
黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形，且
，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，根据 ，得到 ，进而得到
，然后由 求解.
【详解】
设 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
.
故选：A
39．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则 • （ ）
A．32 B．28 C．26 D．24
【答案】C
【分析】
建立以 为一组基底的基向量,其中 且 的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量 和
均可以用 表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.
【详解】
解：如图所示,建立以 为一组基底的基向量,其中 且 的夹角为60°,
∴ , ,
∴ .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属
于中档题.
40．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股
4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形 中， 满足“勾3股4弦
5”，且 ， 为 上一点， .若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意建立如图所示的直角坐标系，设 ，根据 ，得 ，解得 ，再根
据 得到 解之即得解.
【详解】
由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为 ， ，则 ， ， .
设 ，则 ， ，因为 ，所以 ，
解得 ，
由 ，得 ，
所以
解得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
41．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与
黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形，且
.下列关系中正确的是
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且 ．
在A中， ，故A 正确；
在B中， ，故B错误；
在C中， ，故C错误；
在D中， ，
若 ，则 ，不合题意，故D错误．
故答案为：A
【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转
化思想．
42．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4
弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦
5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若 =λ +μ ，则λ+μ的值为（ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设 ，由 可得 ，再由
，利用坐标表示建立方程组求解即可.
【详解】
解：由题意建立如图所示直角坐标系
因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，
， ，设 ，
因为BE⊥AC，
所以 ，解得 .
由 ，得 ，
所以 解得
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
43．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若 为 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构建以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图直角坐标系，设 ，标注
相关点的坐标，进而可得 坐标，结合 ，应用向量线性运算的坐标表示列方程
求出 ，即可求 .
【详解】
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图直角坐标系，设 ，由 为
的中点，∴ ，则 ，
由 ，得： ，
∴ ，解得 ，则
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：构建平面直角坐标并标出点坐标，应用向量线性关系的坐标表示列方程求参数，进而求目标
式的值.
44．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形
拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角
形拼成一个大的正三角形，如图2，若 ， ，那么 （ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】
由已知图形可得 ，展开后代入向量的数量积公式求值．
【详解】
解：由题意可知， ，
，
又 ， ，
， ，．
故选：D．
45．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽
在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国
古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由4个全等的直角三
角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，过点 作 于点 ，根据题中条件，得到 ， ，再由平面向量的
线性运算，即可得出结果.
【详解】
设 ，由题意，可得 ，在 中，可得 ，过点 作 于点 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ， ，
因此 .
故选：A.
46．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲
学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形 ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如
图2的平面直角坐标系，设 .则下列错误的结论是（ ）A．
B．以射线 为终边的角的集合可以表示为
C．在以点 为圆心、 为半径的圆中，弦 所对的劣弧弧长为
D．正八边形 的面积为
【答案】D
【分析】
由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为 ，
，然后逐个分析求解即可
【详解】
解：由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为 ，
，
因为 ， ，
所以 ，所以A正确；
因为 ，所以以射线 为终边的角的集合可以表示为 ，所以B正
确；
对于C，因为 ，半径为1，所以弦 所对的劣弧弧长为 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以正八边形 的面积为，所以D错误，
故选：D
47．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图
①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线
段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分
的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的
曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，
动点P在六角形上(内部以及边界).若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ， ，求 的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，再
根据对称可得最小值.
【详解】
如图，设 ， ，求 的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即
可，讨论如下：
当点P在A处时， ， ，故 ；
当点P在B处时， ， ，故 ；当点P在C处时， ，故 ；
当点P在D处时， ，故 ；
当点P在E处时， ，故 ；
当点P在F处时， ，故 .
于是 的最大值为5.
根据其对称性可知 的最小值为 ，故 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是根据题意得出只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可.
48．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是
把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为
．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立
创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】
由黄金分割比可得 ，结合矩形的特征可用 表示出 ，再利用向量加减法法则及数乘向
量运算法则即可作答.
【详解】
在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点， ，
因 ，由黄金分割比可得 ，
于是得 ，即有 ，
同理有 ，而 ，即 ，
从而有 ，
所以 .
故选：D
49．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所
示， 满足“勾三股四弦五”，其中股 ， 为弦 上一点（不含端点），且 满足勾股
定理，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高 的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值.
【详解】
由题意可知 ，所以根据等面积转化可知 ，解得：
， .
故选：A
【点睛】
本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
50．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方
形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形 中，已知 ， ，在线段 上任
取一点 ，线段 上任取一点 ，则 的最大值为（ ）
A．25 B．27 C．29 D．31
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示出 ，由此求得 的最大值.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系，设 ， ，
，
.
，所以当 时，
取得最大值为 .
故选：C
【点睛】
当图形容易建立坐标系时，可采用坐标法来求解向量运算问题.
51．早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：
“当直角三角形的两条直角边分别为 （勾）和 （股）时，径隅（弦）则为 ”，故勾股定理也称为商高
定理.现有 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾 的长为 ，点 在弦 上的射影为点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，计算出 的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得 的值.
【详解】
如下图所示：
由题意可知 ， ， ，则 ，
， ，所以， .
.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，考查平面数量积定义的的应用，考查计算能力，属于基础题.
52．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比
毕达哥拉斯早500年.如图，现有 满足“勾3股4弦5”，其中 ， ，点 是 延长线上
的一点，则 =（ ）
A．3 B．4 C．9 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据 满足“勾3股4弦5”可得 ，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.类型四:数列类新文化题型
53．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板
(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】
第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
54．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一
个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以 ，又 ，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法
主要有如下两种：
（1）定义法，若 （ ）或 （ ）， 数列 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列 中， 且 （ ），则数列 是等比数列.
55．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人
等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所
得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单
位）．这个问题中，甲所得为
A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱
【答案】B
【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ,则 ,解得
,又 ,则 ,故选B.
56．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规
律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（
）
A．2025 B．3052 C．3053 D．3049
【答案】D【分析】
去除所有为1的项后,根据图可知前n行共有 个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减
去后五项,即可得到此数列的前50项和.
【详解】
解:去除所有为1的项后,由图可知前n行共有 个数,
当n=10时, ,即前10行共有55个数.
因为第n-1行的和为 ,
所以前10行的和为 .
因为第10行最后5个数为 , , , , ,
所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.
故选:D.
【点睛】
本题考查了归纳推理和等比数列前n项和的求法,考查了推理能力,属难题.
57．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的
容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为
A．1升 B． 升 C． 升 D． 升
【答案】B
【详解】
试题分析：设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项
公式即可求出第5节的容积．
解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a ，a ，…，a ，且为等差数列，
1 2 9
根据题意得：a +a +a +a =3，a +a +a =4，
1 2 3 4 7 8 9
即4a +6d=3①，3a +21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d= ，
1 1把d= 代入①得：a = ，
1
则a = + （5﹣1）= ．
5
故选B
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．
58．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，
七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
由题意得等差数列 中 求
，选C.
59．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，
使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列
的周期.对于周期为 的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列
周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
根据新定义，逐一检验即可
【详解】
由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】
本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道
中档题.
60．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起
到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九
儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问
长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A． 岁 B． 岁 C． 岁 D． 岁
【答案】C
【分析】
根据题意，得到数列 是等差数列，由 ，求得数列的首项 ，即可得到答案．
【详解】设这位公公的第 个儿子的年龄为 ，
由题可知 是等差数列，设公差为 ，则 ，
又由 ，即 ，解得 ，
即这位公公的长儿的年龄为 岁．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，
准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
61．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十
九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，
天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长
者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为
A．94 B．95 C．96 D．98
【答案】B
【分析】
设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m
＝19n+171+m＝1520，解出n的取值范围，根据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值．
【详解】
根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，
则有n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，
所以90≤1349﹣19n≤100，
解得 ，
因为年龄为整数，所以n＝66，
则m＝1349﹣19×66＝95.
故选：B
【点晴】
本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．62．《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、
谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为
尺，前九个节气日影长之和为 尺，则谷雨日影长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设十二个节气其日影长依次成等差数列 ，首先利用已知条件求出 的通项公式，计算 即可求解.
【详解】
设十二个节气其日影长依次成等差数列 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得
所以 的公差 ，
所以 ，
所以谷雨日影长为 ，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意利用等差数列的性质和等差数列的前 项和公式求出其通项公式，
问题即可迎刃而解.
63．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，
小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正
对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的 倍；小老鼠第一天也打进一尺，
以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚 尺，则几日后两鼠相逢( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.【详解】
大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…，
小鼠从第一天起打进尺数依次为：1， ， ， ，…，
前3天两鼠完成量的总和为 ，前4天两鼠完成量的总和为 ，
所以第4天两鼠相逢.
故选：B
64．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只
老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后
每天减半，问两鼠在第几天相遇？
A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天
【答案】B
【分析】
用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.
【详解】
第一天共挖 ，前二天共挖 ，故前 天挖通，故两鼠相遇在第 天.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.
65．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.
年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法
称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国
剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 的整数中，把被 除余数为 ，被 除余数也为 的数，
按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将数列 中的项由小到大列举出来，可知数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 ，然后解不等式 ，即可得解.
【详解】
由题意可知，数列 中的项由小到大排列依次为 、 、 、 、 ，
可知数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，
因此，数列 的项数为 .
故选：A.
66．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，
若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数列 为牛
顿数列，设 且 ， ， 数列 的前 项和为 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
得到 ，计算 ，然后计算 ，最后可得数列 为等比数列，最后根据公式计算
即可.
【详解】
由题可知： ，所以 ，
则两边取对数可得 ，即
所以数列 是以1为首项2为公比的等比数列，
所以
故选：A
【点睛】
关键点点睛：依据计算得到 是解决本题的关键.
67．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百
零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：
齐去长安多少里？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，良马每日行的距离 以及驽马每日行的距离 均为等差数列，确定这两个数列的首项和
公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】
由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为 ，其中 ，公差 .
驽马每日行的距离成等差数列，记为 ，其中 ，公差 .
设长安至齐为 里，则 ，
即 ，解得 .
故选：A.【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 倍，并结合
题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问
题来求解.
68．中国古代数学名著 九章算术 中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗 羊
主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有
牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半
”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、
马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C．a，b，c依次成公比为 的等比数列，且
D．a，b，c依次成公比为 的等比数列，且
【答案】D
【详解】
由条件知 ， ， 依次成公比为 的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即
故答案为D.类型五:几何类新文化题型
69．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
如图，设 ，则 ，由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
70．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球
看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指
过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬
40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
【答案】B
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可知 ；
是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
71．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有
委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个
圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1
斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】B【详解】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，
故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
72．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
73．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原
理可以得到柱体体积公式 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，
则该柱体的体积是A．158 B．162
C．182 D．32
【答案】B
【分析】
本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度
不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.
【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，
高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 .
【点睛】
易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
74．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【分析】
计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】
由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为
的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
视频
75．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.
也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上
层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与
底面边长比为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设正四棱锥的底边为 ，侧面的等腰三角形的高为 ，内切球的半径为 ，建立它们之间的比值关系即可
求解
【详解】
由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 ，
底面积为 ，所以，该正四棱锥的侧面积为 ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 ，则有
，所以， ，设内切球的半径为 ，则如图，
与 相似，有 ，所以， ，由于 ，
化简得， ，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为
故选：B【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档
题
76．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽 ，周四丈八尺，高一
丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体
积是多少？”（注：1丈=10尺，取 ）
A．704立方尺 B．2112立方尺 C．2115立方尺 D．2118立方尺
【答案】B
【分析】
根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.
【详解】
设圆柱体底面圆半径为 ，高为 ，周长为 .
因为 ，所以 ，
所以 （立方尺）.
故选B项.
【点睛】
本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.
77．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书
馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底
面夹角为 ，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约
为（ ）平方米（注： ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题知 ， ， ，进而得 ，故在 中， ，进一
步得正四棱锥 中， ，再求正四棱锥 得侧面积即可得答案.
【详解】
如图1，根据题意得： ， ， ，
所以 ，故 ，
故在 中，设 ，则 ， ，
所以 ，即： ，解得
所以如图2，在正四棱锥 中， ， ，
取 中点 ，连接 ，所以
由正四棱锥的性质得 为直角三角形，故 ，
所以 ，
所以正四棱锥 的侧面积为 .
故选：C【点睛】
本题考查棱锥的侧面积的求法，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题
意求出正四棱锥 中， ，再求正四棱锥 得侧面积即可.
78．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·
珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有
某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为 和 的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外
球表面上有一点 ，在内球表面上有一点 ，连接线段 .若线段 不穿过小球内部，则线段 长度的
最大值是（ ）A． cm B．9cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】
本题首先可根据题意确定外球的半径以及内球的半径，然后以外球表面上一点 、内球表面上有一点 以
及球心 作截面，根据线段 不穿过小球内部得出线段 与内球相切时线段 的长度最大，最后通过
计算即可得出结果.
【详解】
因为外球的表面积为 ，内球的表面积为 ，
所以外球的半径为 ，内球的半径为 ，
如图，以外球表面上一点 、内球表面上有一点 以及球心 作截面，
因为线段 不穿过小球内部，所以当线段 与内球相切时线段 的长度最大，
则线段 最长为 ，
故选：C.
79．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反
射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部
分为高，球冠面积 ，其中R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件，结合 和 ，整理得到 和 ，再计算 ，即得结果.
【详解】
， ，
，又 ，
，解得： ，
即 ，
故选：B【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是根据题目要求的用 表示所求结果，将多余变量 进行消元，同时起到建
立等量关系的作用，从而化简整理得到结果.
80．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，
多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设
正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.
【详解】
如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱 ，底面边长 ，
底面内切圆半径 ， ,
则 是等边三角形， ，侧面 中， ，
，即 .故选：A
81．古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高
相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现.现有一底面半径与高的比值为 的圆柱，则该圆柱的表
面积与其内切球的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，高为 ，由圆柱和球的表面积公式能求出比值．
【详解】
设内切球的半径为 ，则圆柱的面半径为 ，高为 ，
故圆柱的表面积 ，内切球的表面积 ，
∴该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为 ，
故选：B．
82．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别
为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为
A． 平方尺 B． 平方尺 C． 平方尺 D． 平方尺
【答案】C
【详解】
将该几何体补形为长方体，外接球的直径 即为长方体的对角线，即
，故其表面积是 .
83．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角
三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三
棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得 为球 的直径,而 ,即球 的半径 ;所以球 的表面积 .
本题选择C选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切
点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，
切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点
均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
84．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下
周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为
1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈 立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可
得银子（ ）
A．200两 B．240两 C．360两 D．400两
【答案】D
【分析】
计算底面半径为 ， ，换算单位得到答案.
【详解】
底面半径为 ， 立方丈 立方寸 斛，
故 两.
故选： .
【点睛】
本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.类型六:概率类新文化题型
85．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分
为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻
的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，
“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，
利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为 = ，故选A．
【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．
本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排
列问题即为组合问题．
86．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2
的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，
其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求
概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共
有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，
故概率为 ，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本
事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元
素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限
制条件较多且元素数目较多的题目.
87．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，正方形的面积为 ，圆的面积为 .由图形的对称性
可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此
点取自黑色部分的概率是 ，选B.
点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面
积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计
算 .
88．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC． ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余
部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取△自I，II，III的概率分别记为p，p，p，则
1 2 3
A．p=p B．p=p
1 2 1 3
C．p=p D．p=p+p
2 3 1 2 3
【答案】A
【分析】
首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公
式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p，
1
p，p 的关系，从而求得结果.
2 3
【详解】
设 ，则有 ，从而可以求得 的面积为 ，
黑色部分的面积为
，
其余部分的面积为 ，所以有 ，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 ，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的
概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.
89．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【详解】
设夹谷 石，则 ，
所以 ，
所以这批米内夹谷约为 石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
90．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任
取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：从 中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为 ，故选C.
考点：古典概型
91．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊
名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，
则 名同学所有可能的选择有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】
分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.
【详解】
(1)若甲选《春秋》，则有 种情况；
(2)若甲不选《春秋》，则有 种情况；
所以 名同学所有可能的选择有 种情况.
故选D
【点睛】
本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型.
92．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了
“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的
一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与
中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则
此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．
【详解】
在 中， ， ， ，由余弦定理，得
，
所以 .
所以所求概率为 .
故选A.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
93．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，
结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四
个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
【答案】B
【分析】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，
列式即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有 种方法，
或是两偶一奇，共有 ，共有 种方法.
故选：B
94．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著
的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉
三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，
1……．记作数列 ，若数列 的前n项和为 ，则
A．265 B．521 C．1034 D．2059
【答案】B
【分析】
先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.
【详解】
根据题意杨辉三角前9行共有
故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，
所以前47项的和
故选B项.
【点睛】
本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.
95．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位： )服
从正态分布 ，则果实横径在 的概率为（ ）
附：若 ，则 ； .
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
【答案】C
【分析】
由题得 ，以及 和 ，利用对称性可得答案．
【详解】
由题得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以果实横径在 的概率为 .
故选：C.
96．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程
式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统
一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形
就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去
掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.
【详解】
依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,
图②中阴影部分的面积是大三角形面积的 ,
图③中阴影部分的面积是大三角形面积的 ,
归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的 ,
所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为 .
故选:C
【点睛】
本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
97．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重
要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数
术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 部分，上、
下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、
十位、百位、 ，上面一粒珠（简称上珠）代表 ，下面一粒珠（简称下珠）是 ，即五粒下珠的大小等
于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 粒下珠，算盘表示
的数为质数（除了 和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题意可知，算盘所表示的数可能有： 、 、 、 、 、 ，
其中是质数的有： 、 ，故所求事件的概率为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
98．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、
水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元
素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概
型概率公式可得结果.
【详解】
金、木、水、火、土任取两类，共有：
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，
其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，
所以2类元素相生的概率为 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：
先 ， …. ，再 ， ….. 依次 …. … 这样才
能避免多写、漏写现象的发生.
99．圆周率 是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研
究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得
的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算
出圆周率的近似值.假设有 个人说“能”，而有 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率
的近似值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标
在圆 内，进一步得到 ，则答案可求．
【详解】
总人数为 ，写出的 组数可以看作是 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成
的坐标在圆 内，则 ，即 ，故选C．
【点睛】
本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．
100．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，
是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇
形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
