文档内容
专题 06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等差型.........................................2
题型二：无理型.........................................5
题型三：指数型.........................................9
题型四：通项裂项为“ ”型............................13
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练...............18
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1 1 1
特别注意k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
学科网（北京）股份有限公司类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由 可得 ，两式相减由累乘法
可求出 的通项公式；
（2）求出 ，由裂项相消法可求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）因为 ，令 得 ，
因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
即 ．
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以当 时， ，
又 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 .
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列 的前 项和为
学科网（北京）股份有限公司，且 成等比数列；
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出数列 的公差 ，再由已知列出方程组，求出 即可得解.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算推理即得.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 成等比数列，
得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，
，由 恒成立，得数列 单调递增，因此 ，
所以 .
3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列 满足 ， ，数列 满足
， ．
(1)求证： 为等差数列，并求 通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实
数 的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明 为常数即可证明 为等差数列，根据等差数列通项公式即可
求 的通项公式，进而求出 的通项公式；
（2）根据累乘法求出 ，再求出 ，根据 的通项公式特征，采用裂项法求其前 项和
，求 单调性并求其范围即可求出 的范围．
【详解】（1）因为 ， ，两边同时除以 可得：
，从而 ， ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
则 ；
（2）由 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以
则 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 中的每一项 ，所以 为递增数列，
所以 ，因为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列 满足 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）根据（1）中所证求得 ，再根据裂项求和法求得 ，进而适度放缩即可证明.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 是首项为2，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知 ，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，故 .
学科网（北京）股份有限公司题型二：无理型
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列 的前n项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，求 ；
(3)证明： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用 与 间的关系，即可求出结果；
（2）根据（1）得到 ，再利用裂项相消法，即可求出结果；
（3）利用 ，即可证明结果.
【详解】（1）因为 ①，当 时， ②，
所以① ②得到 ，即 ，
又 ，满足 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 .
（3）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
，
即 .
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，
．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设______，求数列 的前n项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）
问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ， ；
(2)答案见解析
【分析】（1）设出等差数列的公差，由题意列方程求出首项和公差，即可求得答案；
（2）不论选①、选②还是选③，都要利用（1）的结果，可得 的表达式，利用裂项相消
法求和，即得答案.
【详解】（1）由题意知等差数列 的前n项和为 ， ， ，
设公差为d，则 ，解得 ，
故 ， ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若选① ，则 ，
故 ；
若选② ，则 ，
故 ；
若选③ ，则 ，
故 .
3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列 中， ， 是 和 的等比中项．
(1)求 的公差 ；
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 .
【答案】(1)0或2
(2)12或3
【分析】（1）根据 是 和 的等比中项列出关系式 ，可得 或 ；
（2）当 时， 为常数列，可得 ，进而可得 ；
当 时， ，利用裂项相消法可求得 .
【详解】（1）由题意得 ，因 ，得 ，解得 或 ．
（2）当 时， ，则 ，所以 ．
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 ．
故 或 ．
4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列 的前 项和为 ，点 在函
数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，分 和 两种情况，结合 与 之间的关系
运算求解；
（2）由（1）可得： ，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为点 均在二次函数 的图象上，
可得 ，则有：
当 时， ；
当 时， ；
且 也符合 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得： ，
所以
，
所以 .
题型三：指数型
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由 ，变形为 ，结合 求
解；
（2）由 ，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：由题意可得 ，
即 ，
则有 ，又 ，
学科网（北京）股份有限公司因此 是常数列，
即 ，则 ；
（2）设 ，
，
所以 ，
，
故 ．
2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式
都成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）降次作差即可得到 ，再根据等比数列的通项公式即可得到答案；
（2）裂项求和得到 ，再计算出 的范围即可得到 的范围.
【详解】（1） 时， ，即 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司时， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 是首项为1公比为2的等比数列，
所以 .
（2）由(1)得 ，
所以 .
显然 是递增数列，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
实数 的取值范围是 .
3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知 为正项数列 的前n项和， 且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用 变形整理可得数列 为等差数列，利用等差数列的通项公式求解
即可；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意知： 且 ，
两式相减，可得 ，
，可得 ，
又 ，当 时， ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
从而 ，所以数列 表示首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由 ，
可得
，
所以 .
4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列 的前 项和为 ， 为等比数列，
学科网（北京）股份有限公司且 ， ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由等差数列以及等比数列的定义，列出方程，代入计算，即可得
到结果；
（2）根据题意，由（1）可得 ，结合裂项相消法代入计
算，即可证明.
【详解】（1）因为 ， ， 成等差数列，即 ，
又 为等比数列，则 也成等比数列，
则 ，联立解得 ，
则数列 的公比为 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
且 也满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，记 ，
则 ，
则 ，
因为 ，所以 .
5．（2024·河南南阳·一模）已知数列 ，若 .
(1)求证：数列 是等比数列;
(2)若数列 的前 项和为 ，不等式 对任意的正整数 恒成立，求实
数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证；
（2）结合（1）中结论，利用裂项相消法求得 ，从而将恒成立不等式转化为
，再利用对数函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）易知 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 恒成立，
所以要使不等式 对任意正整数 恒成立，只须 ，
由题意可得 且 ，则 ，所以 ，解得 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
题型四：通项裂项为“ ”型
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
．
(1)证明： 是单调递减数列．
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系依次求出 ， ，再利用作商法可确定数列的单调性.
（2）先对通项分母有理化，再分奇偶进行讨论求解.
【详解】（1）证明：当 时， ，得 ．因为 ，所以 ．
当 时， ，则 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 为正项数列，所以 ．
当 时， ， 也适合该式，所以 ．
因为 ，且 ，所以 是递减数列．
（2）解：由已知得： ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时，
，
所以，
2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列 中， ．
(1)证明 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由题中递推数列 化简为 ，从而可求解.
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）结论可得 ，再利用裂项相消求和从而可求解.
【详解】（1）因为 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，
故数列 是以 为公差的等差数列．
又 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2） ，
则 ，
．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列 中， ，且 分别是等
差数列 的第1，3项.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和 .
【答案】(1) ,
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解；
（2）由裂项法求和结合对 分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数
列，
所以 ，
又因为 ，解得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由题意 ，
若 ，
则 ，
若 ，
则 ，
所以 的前n项和 .
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知数列 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 和 的关系、等比数列的定义即可解答.
（2）利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）由 ， ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，整理得 ，即 .
，
当 时上式也成立.
数列 是以 首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 .
（2） ，
.
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由题意构造出 形式即可得；
（2）借助裂项相消法求和即可得.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
，
故 .
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 ，可证明数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，得到
，利用 得到 的通项公式；
（2）由（1）知， ，化简可得 ，利用分
学科网（北京）股份有限公司组求和以及裂项相消即可求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）当 时，由 ，即 ，解得： ，
所以 ，则数列 为首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 满足条件，
所以 的通项公式为
（2）由（1）知， ，
所以 ，
故 ，
即
2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列 中， 为 的前 项和，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2) 或
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，推得 ，且 ，得到 是等比数列，即可求得数列
的通项公式；
（2）方法一：由（1）求得 ，结合裂项相消法求和，即可求解；
方法二：由（1）求得 ，分 为奇数和 为偶数，结合相消法求和，
即可求解.
【详解】（1）解：由数列 中， 为 的前 项和， ，
当 时， ，两式相减得 ，
可得 ，当 时， ，则 ，
所以 是等比数列，首项为3，公比为3，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：方法一：由（1）知 ，
可得
，
所以
.
方法二：由 ，
当 为奇数时，
学科网（北京）股份有限公司当 为偶数时，
所以数列 的前 项和 .
3．（2024·山西临汾·二模）已知数列 满足 ．
(1)计算 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，可得
，法一：可得 为常数列，可求数列 的通项公式；法
二：可得 ，利用累乘法可求数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，进而可求 的前 项和 .
【详解】（1）由题可知， ，得 ，
由 ，得 ．
由已知 ，
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ．
解法一：
整理得： ．
又 满足上式．
从而 对 均成立．
因此 为常数列，
即有 ，故 ．
解法二：
整理得： ．
又 满足上式．
故 ．
即 ．
当 时符合上式，故 ．
（2）由（1）可知 ．
．
因此
= .
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列 满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列 的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列 中， ，则 ，
而 ，即 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列..
（2）由（1）知， ， ， ，
，
所以数列 的前n项和
.
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造等比数列 ，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求 ，利用裂项求和法，求得 ，再证明即可.
【详解】（1）因为 ，所以 又 ，
所以 ，
所以 是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
，又 ，
所以 .
6．（2024·浙江·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）根据 的关系求通项公式即可；
（2）裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）由 ①
所以当 时， ②
① ②得： ，整理得： ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 .
7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列 的前n项的和为
成等差数列，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项的和为 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进
学科网（北京）股份有限公司而求出 的通项公式；
（2）将 化简，利用裂项相消法求和，即可得 ，从而判断 .
【详解】（1）设 的公差为 ，由题意得 ，
即 ，解得 ，
所以 .
（2） ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 .
8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列 ，满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）求出 ，利用裂项求和法求得结果.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，可得 ， ，
两式相减得 ，又 ，
，即 ， ，又 ，解得 ，
所以数列 是以3为首项，以2为公差的等差数列，
.
（2）由（1）， ，
所以
.
9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 满足
，若 ， ， 成等比数列，且 ．
(1)求 ， ；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列
方程组求解即可；
（2）利用裂项相消法求和即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，又 ，
由 ，得 ，解得 ，
又 ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）由（1）得 ，
所以 .
10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列 与等比数列 中，已知 ，
，且 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式和等差中项可解；
（2）根据裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意，令公差为 ，公比为 .
由 ，即 ，有 ；
学科网（北京）股份有限公司， ， ；
由 ，即 ，有 .
， .
（2）由（1）有 .
则有
.
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，记
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ．求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先构造数列 是等比数列，求数列 的通项公式，再代入条
件，即可求解数列 的通项公式；
（2）由（1）的结果可知，数列 的通项公式，并变形为
学科网（北京）股份有限公司，再讨论 为奇数和偶数，采用累加
法求和，最后结合数列的单调性，即可证明.
【详解】（1）由 ，则 ．又 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ．
当 为奇数时， ．
当 为偶数时， 是递增数列，所以 ．
综上，
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项积为 ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； ；
(2) （或 ）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由前 项积定义可得 ，再由等差数列定义即可得出证明，并
求得数列 的通项公式为 ；
（2）利用裂项相消法求和，对 的奇偶进行分类讨论即可得 .
【详解】（1）由题意得当 时， ．
因为 ，所以 ，解得以 ．
当 时， ，即 ，因此 ．
所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，
可得 ．
所以 ．
（2）由题意知
．
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
．
所以 （或 ）
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
