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专题 06 数列
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【详解】
解：因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】
∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则 （ ）
A．0 B． C．l D．
【答案】C
【分析】
由 求解即可.
【详解】
解：
．
故选:C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
先由题设得 ， ，即可得到 ；将两式相加，结合立方差公式化简得出 ，
再由等差数列性质结合求和公式求解即可.
【详解】
由题意 ， ，显然 同号， 同号，
则 ， ，则 ，把已知的两式相加可得
，
整理可得 ，又 ，
则 ，所以 ，而
.
故选：A．
5．（2021·全国·高考真题（理））等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是
递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
6．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得
出结论.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
7．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】
设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得
解.
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，所以 .
故选：D.
8．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】C
【分析】
根据题意构造函数 ，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据 的关系
即可确定答案.
【详解】
设函数 ，则 为奇函数，且 ，所以 在R上递减，由已知可得
， ，有 ， ，所以
，且 ，所以 ，且
，所以 ， .
故选：C.
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足对任意的 ，总存在 ，使得 ，则 可能
等于（ ）
A． B．2022n C． D．
【答案】B
【分析】
A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到 ，m不存在，A错误；B选项，
利用等差数列求和公式进行求解得到方程 ，取 即可，C选项，利用平方和
公式得到 ，当n＝2时， ，m不存在；D选项，当n＝2时， ，m不存在.
【详解】
对于选项A：当 时，则 是等比数列，因为
所以 ，当n＝2时， ，m不存在，A错误；
对于选项B：当 时， 是等差数列，因为 ，则
，取 即可，B正确；
对于选项C：当 时， ，则 ，
当n＝2时， ，m不存在，C错误；
对于选项D：当 时， ，则 ，当n＝2时， ，m不存
在，D错误．
故选：B．
10．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列 的通项公式为，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【分析】
分别取 ， ， 和 ， ，可验证出 ，利用周期性可验算
得到结果.
【详解】
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， .
， .
故选：D
11．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列 满足 ，则以下说法
正确的个数（ ）
①
② ；
③对任意正数 ，都存在正整数 使得 成立
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用二次函数的性质及递推关系得 ，然后作差 ，可判断①，已知等式变形为 ，
求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得 ，可判断③，利用数学归纳法思
想判断④．
【详解】
因为 ，若 ，则 ，
∴ ，∴ ，①错误；
由已知 ，
∴ ，②正确；
由 及①得 ， ，
∴ ，
显然对任意的正数 ，在在正整数 ，使得 ，此时 成立，③正确；(i)已知 成立，
(ii)假设 ，则 ，
又 ，
∴ ，
由数学归纳法思想得④错误．
故选：B．
12．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次放缩可得
出 ．
【详解】
∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
二、填空题
13．（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
【答案】2
【分析】
转化条件为 ，即可得解.
【详解】
由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
14．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出
下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】
推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判
断③.
【详解】
由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.
【点睛】
关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
15．（2018·河北·一模（理））已知数列 的通项公式为 ，数列 为公比小于1的等比数列，
且满足 ， ，设 ，在数列 中，若 ，则实数 的取值范围
为
__________．
【答案】
【详解】
在等比数列 中，由 ，又 ，且公比小于 ， ，因
此 ，由 ，得到 是取 中最大
值， 是数列 中的最小项，又 单调递减， 单调递增， 当 时， ，即
是数列 中的最小项，则必须满足 ，即得 ，当
时， ，即 ， 是数列 中的最小项，则必须满足 ，即得
，综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为 .
16．（2021·全国·高三阶段练习（理））已知首项为 的数列 的前 项和为 ，若
，且数列 ， ，…， 成各项均不相等的等差数列，则 的最大值为
__________．
【答案】
【分析】
由已知结合 得 ，设前 项等差数列的公差为 ，分析 得
，分析 得 ，两式结合可得 ，求出 ，验证
符合题意，验证 不符合题意，利用反证法证得 不符合题意，即可得解.
【详解】
且 ， （*）；
因为前 项成各项均不相等的等差数列，设公差为 ，则 ， ，
若 ，则 ， ，在（*）式中，令 得， ，
即 ，化简得 ①；
若 ，则 ，在（*）式中，令 得， ，
即 ，化简得 ②；
② ①得， ， ， ，
将 代入①得， ，所以 ，则 ，所以 符合题意．
若 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，在（*）式中，
令 得， ， ，所以 ，所以 不
符合题意．
假设 时符合题意，则 ，
整理得 ，即即 ，又 时，
所以 与等差数列矛盾，所以 不符合题意．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的知识，解题的关键是利用 将已知条件转换为
，再分别分析 ， ， 时是否符合题意，考查学生的逻辑推理能力与运算求
解能力，属于难题.
