文档内容
专题 06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等差型.........................................2
题型二：无理型.........................................4
题型三：指数型.........................................5
题型四：通项裂项为“ ”型.............................7
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练................8
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1 1 1
特别注意k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
学科网（北京）股份有限公司类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列 的前 项和为
，且 成等比数列；
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列 满足 ， ，数列 满足
， ．
(1)求证： 为等差数列，并求 通项公式；
(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实
数 的范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列 满足 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
题型二：无理型
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列 的前n项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，求 ；
(3)证明： ．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，
．
(1)求 的通项公式及 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)设______，求数列 的前n项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）
问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列 中， ， 是 和 的等比中项．
(1)求 的公差 ；
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 .
4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列 的前 项和为 ，点 在函
数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司题型三：指数型
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式
都成立，求实数 的取值范围．
3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知 为正项数列 的前n项和， 且
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列 的前 项和为 ， 为等比数列，
且 ， ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
5．（2024·河南南阳·一模）已知数列 ，若 .
(1)求证：数列 是等比数列;
(2)若数列 的前 项和为 ，不等式 对任意的正整数 恒成立，求实
数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司题型四：通项裂项为“ ”型
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
．
(1)证明： 是单调递减数列．
(2)求数列 的前 项和 ．
2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列 中， ．
(1)证明 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列 中， ，且 分别是等
差数列 的第1，3项.
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和 .
4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知数列 ，求数列 的前 项和 ．
5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
学科网（北京）股份有限公司三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列 中， 为 的前 项和，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2024·山西临汾·二模）已知数列 满足 ．
(1)计算 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列 满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 .
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
6．（2024·浙江·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(2)求数列 的前n项和 .
7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列 的前n项的和为
成等差数列，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项的和为 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论.
8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列 ，满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 满足
，若 ， ， 成等比数列，且 ．
(1)求 ， ；
(2)求数列 的前n项和 ．
10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列 与等比数列 中，已知 ，
，且 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，记
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ．求证： ．
学科网（北京）股份有限公司12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项积为 ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
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