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2017 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．6B．﹣6 C．D．﹣
2．（3分）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（
）
A．1.6×10﹣4 B．1.6×10﹣5 C．1.6×10﹣6 D．16×10﹣4
5．（3分）下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若 + +1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
7．（3分）计算（a2）3+a2•a3﹣a2÷a﹣3，结果是（ ）
A．2a5﹣a B．2a5﹣ C．a5 D．a6
8．（3分）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透
明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一
球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（
）
A．B．C．D．
第1页（共24页）9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋
转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C． ﹣ D．
10．（3分）如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在
⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为
x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是
（ ）
A．① B．③ C．②或④ D．①或③
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ma2+2mab+mb2= ．
12．（3分）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式： ．
13．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：
甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果
乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原
有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴
于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧
第2页（共24页）在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 ．
15．（3分）如图，正六边形A B C D E F 的边长为1，它的六条对角线又围成一个正
1 1 1 1 1 1
六边形A B C D E F ，如此继续下去，则正六边形A B C D E F 的面积是 ．
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程： =1﹣ ．
17．（7分）为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，
将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：
请根据以上两图解答下列问题：
（1）该班总人数是 ；
（2）根据计算，请你补全两个统计图；
（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论．
第3页（共24页）18．（7分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场
调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下
关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少
元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双
肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
19．（8分）如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是 的中点，过点D作
DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
20．（8分）实验探究：
（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再
一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线
段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数
第4页（共24页）量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
21．（9分）已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C ，
1
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C ：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C 的图象平移得到，其顶点P落在以原点
2 1
为圆心，半径为 的圆内或圆上，设函数C 的图象顶点为M，求点P与点M距离最
1
大时函数C 的解析式．
2
22．（11分）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，
△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图 1，点 P 在△ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则
△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y= （x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴
上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；
当点M的坐标是（ ，3），点N的坐标是（ ，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似
点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的
坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共24页）第6页（共24页）2017 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）（2017•济宁） 的倒数是（ ）
A．6B．﹣6 C．D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解： 的倒数是6．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）（2017•济宁）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（
）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m=2，n=3．
m+n=2+3=5，
故选：D．
【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出m，n的值是解题关键．
3．（3分）（2017•济宁）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
第7页（共24页）B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后两部分重合．
4．（3分）（2017•济宁）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记
数法表示是（ ）
A．1.6×10﹣4 B．1.6×10﹣5 C．1.6×10﹣6 D．16×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000016=1.6×10﹣5；
故选；B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（3分）（2017•济宁）下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：A、三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，故
此选项不符合题意；
B、球的主视图、左视图、俯视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意；
C、圆锥体的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆及圆心，故此选项不
符合题意；
D、长方体的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是长方形，但是每个长方
第8页（共24页）形的长与宽不完全相同，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．
6．（3分）（2017•济宁）若 + +1在实数范围内有意义，则 x满足的条件是
（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的值．
【解答】解：由题意可知：
解得：x=
故选（C）
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意
义的条件，本题属于基础题型．
7．（3分）（2017•济宁）计算（a2）3+a2•a3﹣a2÷a﹣3，结果是（ ）
A．2a5﹣a B．2a5﹣ C．a5 D．a6
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则化简求出答案
【解答】解：（a2）3+a2•a3﹣a2÷a﹣3
=a6+a5﹣a5
=a6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算
法则是解题关键．
8．（3分）（2017•济宁）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球
装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀
随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”
的概率是（ ）
A．B．C．D．
第9页（共24页）【分析】画树状图展示所以12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字
组成“孔孟”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数
为2，
所以两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率= = ．
故选B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A
或B的概率．
9．（3分）（2017•济宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕
点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面
积是（ ）
A．B．C． ﹣ D．
【分析】先根据勾股定理得到AB= ，再根据扇形的面积公式计算出S ，由旋
扇形ABD
转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S =S +S ﹣S =S ．
阴影部分 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB= ，
∴S = = ．
扇形ABD
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S =S +S ﹣S =S = ．
阴影部分 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD
第10页（共24页）故选：A．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴
影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．
10．（3分）（2017•济宁）如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从
点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设
运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关
系的是（ ）
A．① B．③ C．②或④ D．①或③
【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，
图象是①，由此即可解决问题．
【解答】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③，
故选D．
【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会
用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2017•济宁）分解因式：ma2+2mab+mb2= m （ a + b ） 2 ．
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=m（a2+2ab+b2）=m（a+b）2，
故答案为：m（a+b）2
第11页（共24页）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
12．（3分）（2017•济宁）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：
y= （答案不唯一） ．
【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点．
【解答】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以
反比例函数y= （答案不唯一）符合题意．
故答案可以是：y= （答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，此题属于开放题，答案不唯一，若是二次
函数也符合题意．
13．（3分）（2017•济宁）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文
字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱
48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少
钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是 ．
【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱
48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可
以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题
意，列出相应的方程组．
14．（3分）（2017•济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径
画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半
径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 a + b= 0 ．
第12页（共24页）【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质
和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．
【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=﹣a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，解题时注意：第
二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，得出P点位置是解题关键．
15．（3分）（2017•济宁）如图，正六边形A B C D E F 的边长为1，它的六条对角线
1 1 1 1 1 1
又围成一个正六边形A B C D E F ，如此继续下去，则正六边形A B C D E F 的面积
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
是 ．
【分析】由正六边形的性质得：∠A B B =90°，∠B A B =30°，A A =A B ，由直角三角
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2
形的性质得出B B = A B = ，A B = A B =B B = ，由相似多边形的性质得出正六边
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
形 A B C D E F 的面积：正六边形 A B C D E F 的面积= ，求出正六边形
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
A B C D E F 的面积= ，得出正六边形 A B C D E F 的面积，同理得出正六边形
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
A B C D E F 的面积．
4 4 4 4 4 4
【解答】解：由正六边形的性质得：∠A B B =90°，∠B A B =30°，A A =A B ，
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2
第13页（共24页）∴B B = A B = ，
1 2 1 1
∴A B = A B =B B = ，
2 2 1 2 1 2
∵正六边形A B C D E F ∽正六边形A B C D E F ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
∴正六边形A B C D E F 的面积：正六边形A B C D E F 的面积=（ ）2= ，
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
∵正六边形A B C D E F 的面积=6× ×1× = ，
1 1 1 1 1 1
∴正六边形A B C D E F 的面积= × = ，
2 2 2 2 2 2
同理：正六边形A B C D E F 的面积=（ ）3× = ；
4 4 4 4 4 4
故答案为： ．
【点评】本题考查了正六边形的性质、相似多边形的性质、正六边形面积的计算等
知识；熟练掌握正六边形的性质，由相似多边形的性质得出规律是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（5分）（2017•济宁）解方程： =1﹣ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=x﹣2+1，
移项合并得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（7分）（2017•济宁）为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四
次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：
请根据以上两图解答下列问题：
（1）该班总人数是 4 0 ；
（2）根据计算，请你补全两个统计图；
（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论．
第14页（共24页）【分析】（1）利用折线统计图结合条形统计图，利用优秀人数÷优秀率=总人数求
出即可；
（2）分别求出第四次模拟考试的优秀人数以及第三次的优秀率即可得出答案；
（3）利用已知条形统计图以及折线统计图分析得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
该班总人数是：22÷55%=40（人）；
故答案为：40；
（2）由（1）得，第四次优秀的人数为：40×85%=34（人），
第三次优秀率为： ×100%=80%；
如图所示：
；
（3）答案不唯一，如优秀人数逐渐增多，增大的幅度逐渐减小等．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及折线统计图，利用图形获取正确信息是
解题关键．
第15页（共24页）18．（7分）（2017•济宁）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每
个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单
位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少
元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双
肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）每天的销售利润W=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）w=（x﹣30）•y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x
﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225．
（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x =40，x =50，
1 2
∵50＞48，x =50不符合题意，舍，
2
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元
【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题
的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
19．（8分）（2017•济宁）如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是 的中点，过
点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
第16页（共24页）【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位
角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，
即可得证；
（2）过O作OF垂直于AC，利用垂径定理得到F为AC中点，再由四边形OFED为
矩形，求出FE的长，由AF+EF求出AE的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D为 的中点，
∴ = ，
∴∠BOD=∠BAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AC，
∵AC=10，
∴AF=CF= AC=5，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED为矩形，
∴FE=OD= AB，
∵AB=12，
∴FE=6，
则AE=AF+FE=5+6=11．
第17页（共24页）【点评】此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握各自
的性质及定理是解本题的关键．
20．（8分）（2017•济宁）实验探究：
（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再
一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线
段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数
量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
【分析】（1）猜想：∠MBN=30°．只要证明△ABN是等边三角形即可；
（2）结论：MN= BM．折纸方案：如图，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折
痕为MP，连接OP．由折叠可知△MOP≌△MNP，只要证明△MOP≌△BOP，即可
推出MO=BO= BM；
【解答】解：（1）猜想：∠MBN=30°．
理由：如图1中，连接AN，∵直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA=NB，
由折叠可知，BN=AB，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴NBM=∠ABM= ∠ABN=30°．
第18页（共24页）（2）结论：MN= BM．
折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接
OP．
理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，
∴MN=OM，∠OMP=∠NMP= ∠OMN=30°=∠B，
∠MOP=∠MNP=90°，
∴∠BOP=∠MOP=90°，
∵OP=OP，
∴△MOP≌△BOP，
∴MO=BO= BM，
∴MN= BM．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判定和性质、全
等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会
理由翻折变换添加辅助线，属于中考常考题型．
21．（9分）（2017•济宁）已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个
公共点．
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C ，
1
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C ：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C 的图象平移得到，其顶点P落在以原点
2 1
为圆心，半径为 的圆内或圆上，设函数C 的图象顶点为M，求点P与点M距离最
1
大时函数C 的解析式．
2
【分析】（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此
可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；
（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x
第19页（共24页）的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；
（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求
得点P的坐标，从而可得到函数C 的解析式．
2
【解答】解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得：m＜ 且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ ．
∵n≤x≤﹣1＜﹣ ，a=2＞0，
∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=﹣3n．
∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）．
∴n的值为﹣2．
（3）∵y=2x2+x=2（x+ ）2﹣ ，
∴M（﹣ ，﹣ ）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣ k=﹣ ，解得：k= ．
第20页（共24页）∴OM的解析式为y= x．
设点P的坐标为（x， x）．
由两点间的距离公式可知：OP= = ，
解得：x=2或x=﹣2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C 的解析式为y=2（x﹣2）2+1．
2
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方
程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函
数的解析式，找出PM取得最大值的条件是解题的关键．
22．（11分）（2017•济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在
△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC
的自相似点．
例如：如图 1，点 P 在△ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则
△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y= （x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴
上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；
当点M的坐标是（ ，3），点N的坐标是（ ，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似
点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是
第21页（共24页）△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= ，求出∠AON=60°，由
点 M 和 N 的 坐 标 得 出 ∠ MNO=90° ， 由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出
∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP= ，OD= ，PD= ，即可得
出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=2 ，直线OM的解析式为y= x，ON=2，
∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=
ON=1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN= =2，由相似三角形的性质得出 ，求出PN= ，在求出P的横坐标
即可；
（3）证出OM=2 =ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON
的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= ，
∴∠AON=60°，
∵当点M的坐标是（ ，3），点N的坐标是（ ，0），
∴∠MNO=90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO=∠MNO=90°，
在Rt△OPN中，OP=ONcos60°= ，
∴OD=OPcos60°= × = ，PD=OP•sin60°= × = ，
∴P（ ， ）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3， ），点N的坐标是（2，0），
∴OM= =2 ，直线OM的解析式为y= x，ON=2，∠MOH=30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO=PN，OQ= ON=1，
第22页（共24页）∵P的横坐标为1，
∴y= ×1= ，
∴P（1， ）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN= =2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴ ，即 ，
解得：PN= ，
即P的纵坐标为 ，代入y= 得： = x，
解得：x=2，
∴P（2， ）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1， ）或（2， ）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（ ，3），N（2 ，0）；理由如下：
∵M（ ，3），N（2 ，0），
∴OM=2 =ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
第23页（共24页）【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了相似三角形的性质、相似点的判定与
性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直线解
析式的确定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似点的判定与性质
是解决问题的关键．
第24页（共24页）
