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易错点1 忽略了n的取值
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 ．
【错解】由 ，可得 两式相除可得 ．
【错因分析】 仅适用于 且 时的情况，故不能就此断定 就是数
列 的通项公式．
【试题解析】当 时， ；当 时，由 ，可得 两式相除可得
，故
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
(1)形如a ＝af(n)，常用累乘法，即利用恒等式a＝a···…·求通项公式．
n＋1 n n 1
(2)形如a ＝a＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )求通项公式．
n＋1 n n 1 2 1 3 2 n n－1
(3)形如a ＝ba＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a ＋x＝b(a＋x)(其
n＋1 n n＋1 n
中x＝)，则{a＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出a.
n n
(4)形如a ＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.
n＋1
若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
若p≠r，则采用(3)的办法来求．(5)形如a ＝pa ＋qa (p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a －a ＝(－
n＋2 n＋1 n n＋2 n＋1
q)·(a －a)，则{a－a }(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得a－a ＝f(n)，然后用累加法求
n＋1 n n n－1 n n－1
得通项．
(6)形如a＋2a＋3a＋…＋na＝f(n)的式子，
1 2 3 n
由a＋2a＋3a＋…＋na＝f(n)，①
1 2 3 n
得a＋2a＋3a＋…＋(n－1)a ＝f(n－1)，②
1 2 3 n－1
再由①－②可得a.
n
(7)形如a ＋a＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成a ＋a ＝f(n＋1)，两式相减即得a －a＝f(n＋1)－
n＋1 n n＋2 n＋1 n＋2 n
f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
(8)形如a·a ＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成a ·a ＝f(n＋1)，两式作商可得 ，然后
n n＋1 n＋2 n＋1
分奇、偶讨论即可．
(9)a －a＝qa a(q≠0)型，将方程的两边同时除以a a，可构造一个等差数列．
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
具体步骤：对a －a＝qa a(q≠0)两边同时除以a a，得到－＝q，即
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
－＝－q，
令b＝，则{b}是首项为，公差为－q的等差数列.
n n
(10)a＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
n
具体步骤：对a＝pa两边同取常用对数，得到lg a＝rlg a ＋lg p，令b＝lg a，则{b}可归为a ＝pa＋
n n n－1 n n n n＋1 n
q(p≠0,1，q≠0)型.
S
1．数列 的前 项和 n满足 ，则数列 的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】∵数列 的前 项和 ，
∴当 时， ，
又∵当 时， ，故 ，故答案为 .【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和S，求通项公式的方
n
法： 和步骤是解答本题的关键．由已知中 的前 项和 ，结合
，分别讨论 时与 时的通项公式，并由 时， 的值不满足 时
的通项公式，故要将数列 的通项公式写成分段函数的形式．
易错点2 忽略数列中为0的项
设等差数列 的前n项和为 ，公差为d，且满足 ， ，则当 最大时，
__________．
【错解】由 ，得 ，即 ，由 可知 ，解不等式组
即 得 ．又 ，故当 时 最大．
【错因分析】由于 ，所以 ，当 或 时 最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【试题解析】 【正解1】由 ，得 ，即 ，由 可知
，解不等式组 即 得 ．故当 或时 最大．
【正解2】由 ，可得 ，所以 ，由 并
结合 对应的二次函数的图象知，当 或 时 最大．
【正解3】由 ，得 ，即 ， ，由 可知 ，
故当 或 时 最大．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为 可变形为S＝n2＋n，令A＝，B＝a－，则S＝An2＋Bn.
n 1 n
当A≠0，即d≠0时，S 是关于n的二次函数，(n，S)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx
n n
上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和S 的最值问题．
n
2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足
1
(2)若等差数列的首项a<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足
1
3．求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S 取得最值．
n
(3)项的符号法：当a>0，d<0时，满足的项数n，使S 取最大值；当a<0，d>0时，满足的项数n，使S 取最小
1 n 1 n
值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S 取最值的n有两个．
n
4．在等差数列 中，若 ， ，则（1） 为偶数 当 时 最大；（2）
为奇数 当 或 时 最大．2．等差数列 中， ， ，记 ，则当 __________时， 取得最大
值.
【答案】4
【解析】在等差数列 中， ， ， ，即 ，
， ， ，由 ，得 ，即 ，当
时， ，当 ，因此在 中，当 时， ，当 时， ，
故当 时， 取得最大值，故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前 项和公式的计算，属于难题.求等差数列前 项和的
最大值的方法通常有两种：①将前 项和表示成关于 的二次函数，即 ，当 时有
最大值（若 不是整数， 等于离它较近的一个或两个整数时 最大）；②可根据 且
确定 最大时的 值.
错点3 忽视奇数项或偶数项的符号
在等比数列 中， ，求 的值.
【错解】因为 为等比数列，所以 ，由 可得 ，故 .
【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【试题解析】因为 为等比数列，所以 ，由 可得 ，故．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 ，所以 ．
1．特别注意q＝1时，S＝na 这一特殊情况．
n 1
2．由a ＝qa，q≠0，并不能立即断言{a}为等比数列，还要验证a≠0.
n＋1 n n 1
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而
导致解题失误．
4．S，S －S，S －S 未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，S，S －S，S －S 不成等比数列；
n 2n n 3n 2n n 2n n 3n 2n
当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，S，S －S，S －S 成等比数列)，但等式(S －S)2＝S·(S －S )总成立．
n 2n n 3n 2n 2n n n 3n 2n
3．已知等比数列 中， ，则
A． B．−2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为等比数列 中， ，所以 ，所以 ，
因此 = ，因为 ， 同号，所以
故选C.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应
用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
应用等比数列性质时的注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a ·a＝
m n
a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不
求思想的运用.易错点4 忽视q=1致错
在数列 中，若 ，求 的前n项和 ．
【错解】
.
【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等
比数列.
【试题解析】当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ．
综上， .
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进
行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．4．各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ，①
所以当 时， ，②
得： ，即 ，
因为 的各项均为正数，
所以 ，且 ，
所以 ．
由①知， ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
故 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，③
，④
，得 ，
当 且 时， ，解得 ；
当 时，由③得 ；
综上，数列 的前 项和 ．
【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在
考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
（2）数列 ，其中 是等差数列， 是等比数列，则采用错位相减法.
1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具
备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减
来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二
位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写
成 简记为 ．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个 有穷数列 项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10
数 无穷数列 项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…
按项的变 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…
化趋势 常数列 各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2
按项的有 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
界性 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…
3．数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这
个数列的通项公式，即 ．
②递推公式：如果已知数列 的第一项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几项)间的
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相
应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
4．数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用 表示，记作 ，则通项 ．若当 时求出的 也适合 时的情形，则用一个式子表示 ，否则分段表示．
5．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式 ，可得 ．
令 ， ，则 ，其中 ， 为常数．
（1）当 时， 在一次函数 的图象上，数列 的图象是直线 上均匀分
布的一群孤立的点，且当 时数列 为递增数列，当 时数列 为递减数列．
（2）当 时， ，等差数列为常数列，数列 的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布
的一群孤立的点．
6．等差数列的前n项和
首项为 ，末项为 ，项数为n的等差数列 的前n项和公式： ．
令 ， ，可得 ，则
当 ，即 时， 是关于n的二次函数，点 是函数 的图象上一系列孤立的
点；
当 ，即 时， 是关于n的一次函数 ，即 或常函数 ，即 ，点
是直线 图象上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
7．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列 的前n
项和 ，那么当且仅当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；当
时，数列 不是等差数列．
8．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为 的等差数列 具有如下性质：（1）通项公式的推广： ， ．
（2）若 ，则 ．
特别地，①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项 组成以md为公差的等差数列．
（4）数列 是常数 是公差为td的等差数列．
（5）若数列 为等差数列，则数列 是常数 仍为等差数列．
（6）若 ，则 ．
9．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列 （公差为d）和 的前n项和分别为 ，
（1）数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ．
（2） 构成公差为 的等差数列．
（3）若数列 共有 项，则 ， ．
（4）若数列 共有 项，则 ， ．
（5） ， ．
10．等比数列的性质若数列 是公比为 的等比数列，前n项和为 ，则有如下性质：
（1）若 ，则 ；若 ，则 ．
推广： 若 ，则 ．
（2）若 成等差数列，则 成等比数列．
（3）数列 仍是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列；
若数列 是公比为 的等比数列，则数列 是公比为 的等比数列．
（4） 成等比数列，公比为 ．
（5）连续相邻 项的和（或积）构成公比为 或 的等比数列．
（6）当 时， ；当 时， ．
（7） ．
（8）若项数为 ，则 ，若项数为 ，则 ．
（9）当 时，连续 项的和（如 ）仍组成等比数列（公比为 ， ）．
注意：这里连续m项的和均非零．
11．求和常用方法
方法1→错位相减法求和的注意点
在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点：
①乘数（式）的选择；
②对公比q的讨论（是否为1）；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数．
方法2→裂项相消法求和的注意点
在应用裂项相消法求和时应注意：
（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；
（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．
方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤
利用分组求和法解题的步骤：
①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；
②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．
1．[2018新课标全国I理科]设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B．
C． D．
2．公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 的值为
A．15 B．21
C．23 D．25
3．设 为等比数列 的前 项和， ，则
A． B． 或
C． D． 或
4．设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则 =
A．63或120 B．256C．120 D．63
5．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列，则
A．10 B．12
C．18 D．30
6．在数列{ }中，已知 ， ，则 等于
A． B．
C． D．
7．已知数列 是递增数列，且对 ，都有 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知数列 满足 （ ），将数列 中的整数项按原来的顺序组成新数列 ，则
的末位数字为
A． B．
C． D．
9．[2018浙江]已知 成等比数列，且 ．若 ，则
A． B．
C． D．
10．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个
单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
11．[2018年新课标I卷理科]记 为数列 的前 项和，若 ，则 __________．
12．[2018年北京卷理科]设 是等差数列，且a=3，a+a=36，则 的通项公式为__________．
1 2 5
13．已知数列 满足： ，若 ，则 __________．
14．设 是等比数列 的前项和， ，若 ，则 的最小值为__________．
15．在数列 中，且 ， ，则 的通项公式为__________．
16．已知等差数列 ，若 ， ，且 ，则公差
__________．
17．（2018年理数全国卷II）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
18．已知等差数列 满足 ，前 项和为 ．（1）求 的通项公式；
（2）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
19．设 ， ，数列 满足： 且 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
20．[2018浙江卷]已知等比数列{a}的公比q>1，且a+a+a=28，a+2是a ，a 的等差中项．数列{b}满足
n 3 4 5 4 3 5 n
b=1，数列{（b −b）a}的前n项和为2n2+n．
1 n+1 n n
（1）求q的值；
（2）求数列{b}的通项公式．
n________________________________________________________________________________________
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