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[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S 为等差数列{a}的前n项和，已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝n2－2n
n n
解析：选A.法一：设等差数列{a}的公差为d，
n
因为所以解得所以a＝a＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S＝na＋d＝n2－4n.故选A.
n 1 n 1
法二：设等差数列{a}的公差为d，
n
因为所以解得
选项A，a＝2×1－5＝－3；
1
选项B，a＝3×1－10＝－7，排除B；
1
选项C，S＝2－8＝－6，排除C；
1
选项D，S＝－2＝－，排除D.故选A.
1
2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a}中，若S 为前n项和，2a＝a＋5，则
n n 7 8
S 的值是( )
11
A．55 B．11
C．50 D．60
解析：选A.通解：设等差数列{a}的公差为d，由题意可得2(a＋6d)＝a＋7d＋5，得a＋
n 1 1 1
5d＝5，则S ＝11a＋d＝11(a＋5d)＝11×5＝55，故选A.
11 1 1
优解：设等差数列{a}的公差为d，由2a＝a＋5，得2(a＋d)＝a＋2d＋5，得a＝5，所以
n 7 8 6 6 6
S ＝11a＝55，故选A.
11 6
3．(一题多解)记S 为等差数列{a}的前n项和．若a＋a＝24，S＝48，则{a}的公差为(
n n 4 5 6 n
)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.法一：等差数列{a}中，S＝＝48，则a＋a＝16＝a＋a，又a＋a＝24，所以
n 6 1 6 2 5 4 5
a－a＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.
4 2
法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选C.
4．(2019·广东广州联考)设等差数列{a}的前n项和为S ，若a ＝4，S ＝0，S ＝
n n m m m＋2
14(m≥2，且m∈N*)，则a 的值为( )
2 017
A．2 018 B．4 028
C．5 037 D．3 019
解析：选B.由题意得
解得所以a＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
n所以a ＝2×2 017－6＝4 028.故选B.
2 017
5．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a}中，已知|a|＝|a |，且公差d>0，则其前n项和取
n 6 11
最小值时n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.由d>0可得等差数列{a}是递增数列，又|a|＝|a |，所以－a＝a ，即－a－5d
n 6 11 6 11 1
＝a＋10d，所以a＝－，则a＝－<0，a＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.
1 1 8 9
6．设等差数列{a}的前n项和为S，若a＝2a，则＝________．
n n 6 3
解析：＝＝＝.
答案：
7．在等差数列{a}中，公差d＝，前100项的和S ＝45，则a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
n 100 1 3 5 99
________．
解析：因为S ＝(a＋a )＝45，所以a＋a ＝，a＋a ＝a＋a －d＝，则a＋a＋a
100 1 100 1 100 1 99 1 100 1 3 5
＋…＋a ＝(a＋a )＝×＝10.
99 1 99
答案：10
8．在单调递增的等差数列{a}中，若a＝1，aa＝，则a＝________．
n 3 2 4 1
解析：由题知，a＋a＝2a＝2，又因为aa＝，数列{a}单调递增，所以a＝，a＝.所以公
2 4 3 2 4 n 2 4
差d＝＝.所以a＝a－d＝0.
1 2
答案：0
9．(2019·武汉调研)已知等差数列{a}的前三项的和为－9，前三项的积为－15.
n
(1)求等差数列{a}的通项公式；
n
(2)若{a}为递增数列，求数列{|a|}的前n项和S.
n n n
解：(1)设公差为d，则依题意得a＝－3，则a＝－3－d，a＝－3＋d，
2 1 3
所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2，
所以a＝－2n＋1或a＝2n－7.
n n
(2)由题意得a＝2n－7，所以|a|＝，
n n
①n≤3时，S＝－(a＋a＋…＋a)＝n＝6n－n2；
n 1 2 n
②n≥4时，S＝－a－a－a＋a＋…＋a＝－2(a＋a＋a)＋(a＋a＋…＋a)＝18－6n
n 1 2 3 4 n 1 2 3 1 2 n
＋n2.
综上，数列{|a|}的前n项和S＝.
n n
10．已知等差数列{a}的公差d>0.设{a}的前n项和为S，a＝1，S·S＝36.
n n n 1 2 3
(1)求d及S；
n
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝65.
m m＋1 m＋2 m＋k
解：(1)由题意知(2a＋d)(3a＋3d)＝36，
1 1
将a＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
1
因为d>0，所以d＝2.从而a＝2n－1，S＝n2(n∈N*)．
n n
(2)由(1)得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
m m＋1 m＋2 m＋k
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.
[综合题组练]
1．若{a}是等差数列，首项a>0，a ＋a >0，a ·a <0，则使前n项和S>0成立的
n 1 2 016 2 017 2 016 2 017 n
最大正整数n是( )
A．2 016 B．2 017
C．4 032 D．4 033
解析：选C.因为a>0，a ＋a >0，a ·a <0，所以d<0，a >0，a <0，所以S
1 2 016 2 017 2 016 2 017 2 016 2 017 4
＝＝>0，S ＝＝4 033a <0，所以使前n项和S>0成立的最大正整数n是4 032.
032 4 033 2 017 n
2．等差数列{a}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )
n
A．{1} B.
C. D.
解析：选B.＝＝，若a＝d，则＝；若a≠0，d＝0，则＝1.因为a＝d≠0，所以≠0，所以该
1 1 1
常数的可能值的集合为.
3．设数列{a}的通项公式为a＝2n－10(n∈N*)，则|a|＋|a|＋…＋|a |＝________．
n n 1 2 15
解析：由a＝2n－10(n∈N*)知{a}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a＝2n－
n n n
10≥0得n≥5，所以n≤5时，a≤0，当n>5时，a>0，所以|a|＋|a|＋…＋|a |＝－(a＋a＋a
n n 1 2 15 1 2 3
＋a)＋(a＋a＋…＋a )＝20＋110＝130.
4 5 6 15
答案：130
4．(2019·四川广元统考)若数列{a}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋n，则a＋＋…＋等于
n 1
________．
解析：当n＝1时，＝2 a＝4，又＋＋…＋＝n2＋n ①，所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－
1
1)2＋(n－1)＝n2－n ②，①－②得＝2n，即a＝4n2，所以＝＝4n，所以a＋＋…＋＝＝2n2＋
⇒ n 1
2n.
答案：2n2＋2n
5．(创新型)等差数列{a}中，a＋a＝4，a＋a＝6.
n 3 4 5 7
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设b＝[a]，求数列{b}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，
n n n
[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a}的公差为d，由题意有
n
2a＋5d＝4，a＋5d＝3.
1 1
解得a＝1，d＝.
1
所以{a}的通项公式为a＝.
n n(2)由(1)知，b＝[]．
n
当n＝1，2，3时，1≤＜2，b＝1；
n
当n＝4，5时，2<＜3，b＝2；
n
当n＝6，7，8时，3≤＜4，b＝3；
n
当n＝9，10时，4<＜5，b＝4.
n
所以数列{b}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
n
6．(应用型)已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.
(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{a}，求证：数列{a}是等差数列；
n n
(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{b}，求数列{b}的前n项
n n
和S.
n
解：(1)证明：由题意得a＝8－2n，
n
因为a －a＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a＝8－2＝6，
n＋1 n 1
所以数列{a}是首项为6，公差为－2的等差数列．
n
(2)由题意得b＝|8－2n|.
n
由b＝6，b＝4，b＝2，b＝0，b＝2，
1 2 3 4 5
可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为
2的等差数列．
所以当n≤4时，S＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，
n
当n≥5时，S＝S＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.
n 4
故S＝
n
