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[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手
的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分
与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e
为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
2．(2019·广东中山模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时到14时的
销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时
至14时的销售总额为( )
A．10万元 B．12万元
C．15万元 D．30万元
解析：选D.9时至10时的销售额频率为0.1，因此9时至14时的销售总额为＝30(万元)，
故选D.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实
现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村
的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前
种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收
入减少是错误的．故选A.
法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误
的．故选A.
4．(2019·甘肃天水模拟)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据
的平均数分别为x ，x ，标准差分别为σ ，σ ，则( )
甲 乙 甲 乙
A．x <x ，σ <σ B．x <x ，σ >σ
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
C．x >x ，σ <σ D．x >x ，σ >σ
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远
高于乙同学，可知x >x ，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ <σ
甲 乙 甲 乙．
5．(2019·昆明调研)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图．根据图中信
息，下列结论正确的是( )
A．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高
B．1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高
C．2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值
D．2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值
解析：选D.由题图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增
高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错
误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国
的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确，故选D.
6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎
叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的
值是________．解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得
＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
答案：6
7．(2019·南宁模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了
了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本
容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．
解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中
生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视
人数为40×50%＝20.
答案：200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，
作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为
1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
解析：设被抽查的美术生的人数为 n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012
5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2
个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝＝60.
答案：60
9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学
测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根
据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分组 频数 频率 平均分
[0，20) 3 0.015 16[20，40) a b 32.1
[40，60) 25 0.125 55
[60，80) c 0.5 74
[80，100] 62 0.31 88
(1)求a，b，c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率
P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝
200×0.5＝100.
(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P＝＝＝0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为
x＝＝73，
所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．
10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的
若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位
工人参加合适？请说明理由．
(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技
能竞赛的概率．
解：(1)A的中位数是＝84，B的中位数是＝83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
x ＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
B
x ＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
A
s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋
(95－85)2]＝35.5，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋
(95－85)2]＝41，
因为x ＝x ，但s<s，说明B稳定，派B参加比较合适．
A B
(3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，
(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)，A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－＝.
[综合题组练]
1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是
根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据
(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是( )
A．A县 B．B县
C．A县、B县两个地区相等 D．无法确定
解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布
比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．
2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均
数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－
10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.
3．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那
么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为________．
解析：由茎叶图可知0≤x≤9且x∈N，中位数是＝，这位运动员这8场比赛的得分平均
数为(7＋8＋7＋9＋x＋3＋1＋10×4＋20×2)＝(x＋115)，由(x＋115)≥，得3x≤7，即x＝0，1，
2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为.
答案：
4．(2019·郑州质量预测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加
2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其
中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成
等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺
序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－
6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，
G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(＋)×(＋)＝(1＋＋＋4)≥×(5＋4)＝
(当且仅当b＝2a时取等号)．故＋的最小值为.
答案：
5．(应用型)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员
工进行调查，得到如下的频率分布直方图：
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4
500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于
成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两
层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若
营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万
元的可能性最大？
解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000
＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1
000×7 000＝4 700(元)．
(2)抽样比为＝，
从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×＝2(人)，设这两位员工
分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×＝3(人)，设这三
位员工分别为A，B，C.
从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，
B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．
两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，
C)，概率为；
其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，
A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为＝；
两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为.
因为<<，所以公司收入2万元的可能性最大．
6．(2019·河北三市第二次联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，
统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解
答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学
在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超
过15分的次数X的分布列和均值．
解：(1) x ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21
甲 乙
＋23)＝15，
s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失
分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P＝，P＝，
1 2
两人失分均超过15分的概率为PP＝，
1 2
X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～B(2，)，
P(X＝k)＝C()k()2－k，k＝0，1，2，
则X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值E(X)＝2×＝.
