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专题 05 平面向量
易错点1 忽略了零向量的特殊性
给出下列命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等.
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 .
【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；
二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
【试题解析】① 与 是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；
③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不
正确，故不正确命题的序号是②④.
【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点：
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a与 的关系： 是a方向上的单位向量.
（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
1．下列命题正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确；
B中,两个向量不能比较大小,所以错误；
C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误；
D中,如果一个向量的模等于0,则这个向量是 .
易错点2 忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.
实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.
【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.
①若四边形ABCD 为平行四边形，则 = ，而 =（x＋1，y）， =（－2，－5）.
1由 = ，得 ，∴ ，∴D（－3，－5）.
1
②若四边形ACD B为平行四边形，则 = .而 =（4，0）， =（x－1，y＋5）.
2
∴ ，∴ ，∴D（5，－5）.
2
③若四边形ACBD 为平行四边形，则 = .而 =（x＋1，y）， =（2，5），∴ ，∴ ，
3
∴D（1，5）.
3
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.
1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是
原点时，其终点坐标就是向量坐标．
2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位
置，它们的坐标都是相同的．
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x，y 有可能等于0，所以应表示为xy－
1 1 2 2 2 2 1 2
xy＝0.
2 1
2．若四边形 满足 ，则该四边形一定是
A．菱形 B．矩形C．正方形 D．直角梯形
【答案】A
错点3 忽视两向量夹角的范围
已知向量
（1）若 为锐角，求 的取值范围；
x
（2）当 时，求 的值.
x
【错解】（1）若 为锐角，则 且 不同向.
，∴ .
（2）由题意，可得 ，
又 ，
，
即 ，
解得 或 .
【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.【试题解析】（1）若 为锐角，则 且 不同向.
，∴ .
1 1
x x2且x
当 2 时， 同向, 2 .
即若 为锐角，x的取值范围是{x| 且 }.
【参考答案】（1）{x| 且 }；（2） 或 .
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，
使其起点相同，再观察夹角．
2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
3．已知向量 ,且 与 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .
【答案】【解析】∵ 与 的夹角为钝角，
∴ ，即 ，
∴ .
又当 与 反向时，夹角为180°，即 ，则 ，解得 .
应该排除反向的情形，即排除 ，
于是实数λ的取值范围为 .
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时, ;当夹角
为180°时, ,这是容易忽略的地方.
1．在求 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC中，
与 的夹角应为120°而不是60°.
2．在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结
论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.
3．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b
＝c.
4．实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这
是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
易错点4 三角形的“四心”的概念混淆不清已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足
，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过 的]
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置
关系判断错误等.
【试题解析】由原等式，得 = ，即 = ，
根据平行四边形法则，知 是 的中线AD（D为BC的中点）所对应向量 的2倍，
所以点P的轨迹必过 的重心，故选C.
【参考答案】C
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点G是 的重心，则 0或 （其中P为平面内任意一
点）.反之，若 0，则点G是 的重心.
2. 垂心. 若H是 的垂心，则 或 .
反之，若 ，则点H是 的垂心.3. 内 心 . 若 点 I 是 的 内 心 ， 则 有 =0. 反 之 ， 若
=0，则点I是 的内心.
4. 外心. 若点 O 是 的外心，则 =0 或
.反之，若 ，则点O是 的外心.
4．G是 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 ，则角
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】D
【解析】因为 G是 的重心，所以有 .又 ，所以
a∶b∶c＝1∶1∶1，设c＝，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝＝，所以A＝30°，故选D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变
形问题或解三角形问题．
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理及其应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，λ，
1 2 1 2
使a=λe＋λe.其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两
1 1 2 2 1 2
个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y
唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴
上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A（x，y），B（x，y），则 =（x－x，y－y）.
1 1 2 2 2 1 2 1
（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x，y），b=（x，y），则a＋b=（x+x，y+y），a－b=（x－x，y－y），λa=（λx ，λy ），
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
|a|= ，|a＋b|= .学科+网
（3）平面向量共线的坐标表示
设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b xy－xy=0.
1 1 2 2 1 2 2 1
（4）向量的夹角 ⇔
已知两个非零向量a和b，作 =a， =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a
与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
三、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积（或内积），记
作a·b，即a·b=|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.
（2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律（1）a·b=b·a（交换律）.
（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.
（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=（x，y），b=（x，y），θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
（1）数量积：a·b=|a||b|cos θ=xx＋yy.
1 2 1 2
（2）模：|a|= = .
（3）设A（x，y），B（x，y），则A，B两点间的距离|AB|= = .
1 1 2 2
（4）夹角：cos θ= = .
（5）已知两非零向量a与b，a⊥b a·b=0 xx＋yy=0，a∥b a·b=±|a||b|.
1 2 1 2
（6）|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等⇔号成立⇔）⇔|xx＋yy|≤ ⇔ .
1 2 1 2
|a|= ，|a＋b|=
四、平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
若a=（x，y），b=（x，y），
1 1 2 2
（1）a∥b a=λb（b≠0）⇔xy－xy=0.
1 2 2 1
（2）a⊥b⇔a·b=0 x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
⇔ ⇔
（3）cos θ= = .
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题.
3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线
的位置关系的相关知识来解答.
4.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.
1．已知两点 ，则与向量 同向的单位向量是
A．±（ ） B．
C． D．
2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于
A． B．
C． D．
3．已知 ，若 ，则
A． B．
C． D．
4．设向量 ，且 ，则 的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2018年高考新课标Ⅰ卷文科）在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
6．（2017年高考新课标Ⅱ卷文科）设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．C． ∥ D．
7．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足
b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A． −1 B． +1
C．2D．2−
8．（2018天津文科）在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为
A． B．
C． D．0
9．（2017年高考北京卷文科）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．双曲线 的左，右焦点分别为 ， ， 为右支上一点，且 ，则双曲线的离心
率为
A．3 B．5
C． D．
11．设向量 ， 满足 且 ，则向量 在向量 方向的投影为
A．-2 B．-1
C．1 D．212．在 中， 是线段 的三等分点，则 的值为
A． B．
C． D．
13．如图，在 中，点 在 边上，且 ，点 在 边上，且 ，则用向量 表示 为
A． B．
C． D．
14．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，
记 ， ， ，则
A． B．
C． D．
15．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B．C． D．
16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 ，则
的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
17．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
18．平面向量 满足 ，且| |=2，| |=4，则 与 的夹角等于___________．
19．已知向量 ，如果 ，那么 的值为___________．
20．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
E BC
21．如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，且 ，则
(cid:3) (cid:3)
AEBF
的值是 ．
F
D C
E
A B
22．（2017年高考天津卷文）在 中， ， ， ．若 ，
，且 ，则 的值为___________．
23．在 中， 是 内一点，且 ，若 ，则
的最大值为___________．24．已知 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，则实数 的值是___________．
3e e e e
1 2 1 2
25．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b满足 则 的最小值是________，最大值是
___________．
26．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为 ，
且 =7， 与 的夹角为45°．若 ，则 _________．
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