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专题 03 导数及其应用
易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系
A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 与时间t(天)的关系如图
所示，则一定有
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在 上的平均变化率比B机关单位的用电量在 上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
【错解】选C.
因为在(0，t)上， 的图象比 的图象陡峭，所以在(0，t)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机
0 0
关单位大．
【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等
要弄清．1．平均变化率
函数 从 到 的平均变化率为 ，若 ， ，则平均
变化率可表示为 .学科+网
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数 来描述，那么，物体在时刻 的瞬时速度v就是物体在
到 这段时间内，当 无限趋近于0时， 无限趋近的常数.
1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十
八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较
轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度
吗？
【答案】见解析.
【解析】山路从A到B高度的平均变化率为h ＝ ，
AB
山路从B到C高度的平均变化率为h ＝ ，
BC
∴h >h ，
BC AB
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．
易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． 或 D． 或
【错解】设 ，由定义得f ′(2)=12，
∴所求切线方程为 ，即 .
【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线
上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
【参考答案】D
1．导数的几何意义
函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 .
2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点 ，求曲线过点P的切线，则需分点P(x，y)是切点和不是切点两种情况求解：
0 0（1）当点 是切点时，切线方程为 ；
（2）当点 不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x，f (x))；
1 1
第二步：写出过 的切线方程为 ；
第三步：将点P的坐标(x，y)代入切线方程求出x；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程 ，可得过点 的切线方程．
1
2．过点 作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，设切点为 则 ，∴切线方程为
，∵切线过点 ，∴−ex ＝ex(e−x)，解得 ．∴切线方程为
0 0 0
，整理得： .
故选C．
在求曲线 的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线 上）
的切线方程，前者的切线方程为 ，其中切点 ，后者一般先设出切点坐标，再求解.
易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则
求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
【错解】（1） ；
（2） .
【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求
导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.
本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.
1．导数计算的原则
先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．导数计算的方法
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
3．若函数 满足 ，则 的值为
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【解析】 令x=1,则
故答案为A.
（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数 与指数函数 且
的导数公式， 与 的导数， 与 的导数及积与商的导数公式记混弄错．
（2）本题中 要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．
易错点4 审题不细致误
设函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．【错解】（1）∵ ，∴ ，∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）∵ 在定义域上为增函数，∴ 恒成立，
∵ ，∴ 恒成立，
∴ ，∴ ，即实数a的取值范围是 .学！科网
【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单
调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条
件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．
【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数 的定义域为(0，+∞)．
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．【参考答案】（1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） .
用导数求函数 的单调区间的“三个方法”：
1．当不等式 (或 )可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数 ；
③解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2．当方程 可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数 ，令 ，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数 的间断点(即 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，
然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；④确定 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3．当不等式 (或 )及方程 均不可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数并化简，根据 的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定 的符号；
③得单调区间．
4．已知函数 .
（1）若函数 在点 处切线的斜率为4，求实数 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）6；（2）见解析；（3） .
【解析】（1） ，而 ，即 ，解得 .
（2）函数 的定义域为 .
①当 时， ， 的单调递增区间为 ；
②当 时， .
当 变化时， 的变化情况如下:由此可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（3） ，于是 .
因为函数 在 上是减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
又因为函数 的定义域为 ，
所以有 在 上恒成立.
于是有 在 上恒成立，
设 ，则 ，
所以有 ， ，
当 时， 有最大值 ，
于是要使 在 上恒成立，只需 ，即实数 的取值范围是 .
若 的单调减区间为 ，则在 的两侧函数值异号，且 ；若 在区间 上单调递减，则 在 上恒成立．
易错点5 极值的概念理解不透彻
已知 在 处有极值 ，则 ________.
【错解】 或
由题得， ，由已知得 解得 或 ，所
以 等于 或 .
【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“ 是
f(x)的极值点”的情况．
【试题解析】由题得， ，由已知得 解得 或
，所以 等于 或 .
当 时， 在x=1两侧的符号相反，符合题意.
当 时， 在x=1两侧的符号相同，所以 不合题意，舍去.
综上可知， ，
所以 .
【参考答案】对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑 ，又要考虑在 两侧的导数值符号不同，否则
容易产生增根．
1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
2．求函数 极值的方法：
①确定函数 的定义域．
②求导函数 ．
③求方程 的根．
④检查 在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取得极
大值，如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值，如果 在这个根的左右两侧符号不变，则
在这个根处没有极值．学@科网
3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况，得关于参
数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
5．若函数 在 内有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，因为函数 在 内有且只有一个极值点，所以，即 ，又当 时， ，当 时，令 ，
满足题意.所以 ，故选C.
（1） 在 处有极值时，一定有 ， 可能为极大值，也可能为极小值，应检验 在
两侧的符号后才可下结论；
（2）若 ，则 未必在 处取得极值，只有确认 时， ，才可确
定 在 处取得极值．
（3）在本题中，不要遗漏掉 这种特殊情况.
一、导数的概念及计算
1．导数的定义： .
2．导数的几何意义：函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线
的斜率 ，即 .
求曲线 的切线方程的类型及方法（1）已知切点 ，求 过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x)，由点斜式写出方程；
0
（2）已知切线的斜率为k，求 的切线方程：设切点 ，通过方程 解得x，再由点
0
斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求 的切线方程：设切点 ，利用导数求得切线斜率 ，
再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x，最后由点斜式或两点式写出方程．
0
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由
求出切点坐标 ，最后写出切线方程．
（5）①在点 处的切线即是以 为切点的切线， 一定在曲线上.
②过点 的切线即切线过点 ， 不一定是切点．因此在求过点 的切线方程时，应首先检验点 是
否在已知曲线上．
3．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f (x)=C(C为常数) =
f (x)=sin x
f (x)=cos x
f (x)=ln x
4．导数的运算法则
（1） .（2） .
（3） .
5．复合函数的导数
复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为 ，即y对x的
导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
二、导数的应用
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，在某个区间(a,b)内：
①如果 ，函数f (x)在这个区间内单调递增;
②如果 ，函数f (x)在这个区间内单调递减;
③如果 ，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( )是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条
件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 .
（3）函数 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a,b)内恒成立，且 在(a,b)
的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有 ,不影响函数 在区间内
的单调性.
2．函数的极值与导数的关系
一般地，对于函数 ，①若在点x= a处有f ′(a)= 0，且在点x= a附近的左侧 ，右侧 ，则称x= a为f(x)的极小
值点； 叫做函数f (x)的极小值.
②若在点x=b处有 =0，且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则称x= b为f(x)的极大
值点， 叫做函数f (x)的极大值．
③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
②在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
③函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
求函数 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数 在(a,b)内的极值；
②将函数 的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
1．[2018新课标全国Ⅰ文科]设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首
先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从
而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得
结果.
2．[2016新课标全国Ⅰ卷文]若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，易知开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选C．
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不
等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即
注意正、余弦函数的有界性.
3．函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，∴ ，且当 时， ， ，则函数 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增，由函数图象的对称性可知应选B.
【名师点睛】本题运用导数来画出函数图象，可以先判断其奇偶性，然后求导得出单调性，继而给出图象.
4．已知函数 是自然对数的底数），则 的极大值为
A． B．
C．1 D．
【答案】D【解析】函数 的定义域为 ， 令 ，则
令 ，得
令 ，得 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故函数 在
处取得极大值，极大值为
故选D.
【名师点睛】本题考查导数的运用——求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．解本题时，求函
数的导数，令 ，先求出 的值再求 的极大值为即可得．
5．设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时， ，且
，则不等式 的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设F(x)= f(x)g(x)，当x<0时， ，∴F(x)在x<0时为增函数．∵
，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，+ ∞)上亦为增函数．已
知 ，必有 .
构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈ ．故选D.
6．已知定义在 上的函数 ，设两曲线 与 在公共
点处的切线相同，则 值等于
A．−3 B．1
C．3 D．5
【答案】D
【解析】设函数 在公共点（a,b）（a＞0）处的切线相同，
由题得 所以 ，解之得a=1,b=−4,m=5.
故答案为D.
【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.
(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组 .
7．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】 ，
要使函数 在区间 上单调递增，需 在 上恒成立；
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
而 当且仅当 时等号成立，
此时符合题意.
即 .故选B．
【名师点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想，此类
问题关键是把问题转化成求最值问题解决．解本题时，函数在区间 内是增函数，转化成导数在这
个区间上大于等于0恒成立的问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0即可顺利求解．
8．若方程 在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是
A． B．[0,2]
C． D．
【答案】A9．设函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域是 ， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，故存在 ，使
；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 在 上单调递
增，在 上单调递减， ，解得 .
综上， 的取值范围是 .故选D.
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.求
出函数的导数，通过讨论 的范围，确定函数的单调性，求出 的最大值，得到关于 的不等式，解出
即可.10．[2018天津文科]已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．
【答案】e
【解析】由函数的解析式可得 ，则 .即 的
值为e.
【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
11．[2018新课标全国Ⅱ文科]曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】y=2x–2
【解析】由 ，得 .
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切
线的点斜式方程；③化简整理.
12．[2017新课标全国Ⅰ卷文]曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设 ，则 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法
为：设 是曲线 上的一点，则以 为切点的切线方程是 ．若曲线
在点 处的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
13．[2018新课标全国Ⅲ文科]已知函数 ．（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1） ， ．
因此曲线 在点 处的切线方程是 ．
（2）当 时， ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 ．因此 ．
14．[2018新课标全国Ⅰ文科]已知函数 ．
（1）设 是 的极值点，求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1）a= ，f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ．
由题设知，f ′（2）=0，所以a= ．
从而f（x）= ，f ′（x）= ．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥ 时，f（x）≥ ．
设g（x）= ，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当 时， ．
15．[2018新课标全国Ⅱ文科]已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
【答案】（1）（f x）在（–∞， ），（ ，+∞）单调递增，在（ ， ）单调递减；（2）见解
析.
（2）由于 ，所以 等价于 ．
设 = ，则g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，
所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．
故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）= ，f（3a+1）= ，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
16．[2017新课标全国Ⅰ卷文]已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
①若 ，则 ，在 单调递增．
②若 ，则由 得 ．
当 时， ；当 时， ，故 在 单调递减，在
单调递增．
③若 ，则由 得 ．
当 时， ；当 时， ，故 在 单调
递减，在 单调递增．
（2）①若 ，则 ，所以 ．
②若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为 ．从而当且仅当
，即 时， ．③若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为
．从而当且仅当 ，即 时 ．
综上， 的取值范围为 ．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单
调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 ，由 的正负，得出函数 的单调区间；
（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数
的极值或最值．
17．设函数 .
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上为减函数，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）求导得 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，即 .
当 时， ,故 ,从而 在点 处的切线方程为 ,化简得 .
（2）由（1）得， ,
令 ，由 ，解得 .
当 时， <0, ,故 为减函数；
当 时， >0, ,故 为增函数；
当 时， <0, ,故 为减函数；
由 在 上为减函数，知 ，解得 ，
故a的取值范围为 .
18．已知函数 ， 为自然对数的底数.
（1）求函数 的最小值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，证明： .
【答案】（1）函数 的最小值为 ；（2） ；（3）见解析.（2） 对任意的 恒成立，即在 上， ．
由（1），设 ，所以 ．
由 得 ．
易知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
∴ 在 处取得最大值，而 ．
因此 的解为 ，
∴ .
（3）由（2）得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，则 即 ，
所以 ，累加得 .
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