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专题 7.7 数列
1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行
深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕
日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，
依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前n项和．若
，则公差 _______．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若
，则 的公比为________．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为等比数列 的前n项和.若 ，
，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知正项等比数列 中， 为 前
n项和， ，则 （ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若
，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
7．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常
会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到
， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，那么 ______ .
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ，
，则 ______.
9．（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数 ，
其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，
设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知等比数列 的前3项和为168，
，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑
屋顶截面的示意图．其中 是举， 是相等的步，相邻桁的
举步之比分别为 ．已知 成公差为0.1的等差数
列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差
数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ，
，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合
，若 ，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
16．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列 的各项均为正数，记 为
的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．17．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为数列 的前n项和，已知
，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.
18．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知
．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
19．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数
列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
20．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
21．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满
足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
22．（2021年全国新高考II卷数学试题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，
若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．23．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是
公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
24．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令
，记 分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
25．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记
， 分别为数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
26．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知
．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
27．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知数列 中， ，设 为 前n
项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．28．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和， 为数列
的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
