专题7.6数学归纳法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题 7.6 数学归纳法
练基础
1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式 时，从
到 等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1- +…+ =2
时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋ ＋ ＋…＋ ＜n(n∈N*，
n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式
时，可将其转化为证明（ ）A．
B．
C．
D．
1 1 1
1  ... n(nN,n1)
5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ” 的过程中，
nk nk1
由假设“ ”成立，推导“ ”也成立时，左边应增加的项数是（ ）
k k1 2k 2k 1
A． B． C． D．
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明 能被 整除时，从
到 添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
{a } a 1 n S
7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列 n 满足 1 ，前 项和 n满足
4S (a 3)2(n≥2,nN) {a } a 
n n1 ，则数列 n 的通项公式为 n ______________．
8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列 中， a 用数学归
{a } a =1,a =1+ n (n∈N∗)
n 1 n+1 1+a
n
纳法证明： .
a <a (n∈N∗)
n n+1
9.（2021·全国高三专题练习）数列 满足 .
（1）计算 ，并猜想 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a}满足： ，点 在直线
n
上．
（1）求 的值，并猜想数列{a}的通项公式；
n
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
练提升
TIDHNE
1．（2021·全国）已知数列 满足 ， ，则当 时，下列判断一定正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列 ，满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江省桐庐中学）数列 满足 ， ，则以下说法正确的个
数（ ）
① ；② ；
③对任意正数 ，都存在正整数 使得 成立；
④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 满足： ， ，前
项和为 （参考数据： ， ，则下列选项错误的是（ ）.
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如 的
“积数”为2， 的“积数”为6， 的“积数”为 ，则数集
的所有非空子集的“积数”的和为___________.
6．（2021·浙江高三期末）已知数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，且对任意的 ，
均有 ， ，则 _______； ______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列 的前n项和为 ，记 ，数列 满足 ，
，且数列 的前n项和为 ．
（1）请写出 ， ， 满足的关系式，并加以证明；
（2）若数列 通项公式为 ，证明： ．
8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列 的公比 ，且 ，
是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）数列 满足： ， ，证明
9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，且
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ， ，证明： ， ．
b
10.已知点 P (a ,b ) 满足 a =a .b ， b = n (n∈N∗) ，且点 P 的坐标为 (−1,1) .
n n n n+1 n n+1 n+1 1−4a2 1
n
（1）求过点P ,P 的直线的方程；
1 2
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N∗，点P 都在（1）中的直线l上.
n练真题
TIDHNE
1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a}满足a=3， ．
n 1
（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
{x } x 1 x  x ln(1x ) (nN*)
2.（2017浙江）已知数列 n 满足： 1 ， n n1 n1 ．
nN*
证明：当 时
0 x  x
（Ⅰ） n1 n；
x x
2x x ≤ n n1
（Ⅱ） n1 n 2 ；
1 1
≤x ≤
（Ⅲ）2n1 n 2n2
．
1
b n(1 )na (nN )
3．(湖北省高考真题) 已知数列 {a n } 的各项均为正数， n n n  ，e为自然对数的底数．
1
(1 )n
（Ⅰ）求函数
f(x)1xex
的单调区间，并比较 n 与e的大小；
b bb bbb bb b
1 1 2 1 2 3 1 2 n
a aa aa a aa a
（Ⅱ）计算 1 ， 1 2 ， 1 2 3 ，由此推测计算 1 2 n 的公式，并给出证明；
1
（Ⅲ）令 c n (a 1 a 2 a n )n ，数列 {a n } ， {c n } 的前n项和分别记为 S n, T n, 证明： T n eS n．
4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a}满足a=3， ．
n 1
（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
sinx
f (x) (x0)
5.(江苏省高考真题)已知函数 0 x ，设 f n (x) 为 f n1 (x) 的导数，nN．
  
2f  f
1 2 2 2 2
（Ⅰ）求 的值；
   2
nf  f 
（2）证明：对任意的nN，等式 n1 4 4 n 4 2 成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线 与直线 相交于 ，作
交 轴于 ，作 交曲线 于 ，……，以此类推.
（1）写出点 和 的坐标；
（2）猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明.