专题 12 概率
某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
日收入 [1000, 1500) [1500,2000) [2000, 2500) [2500, 3000)
概率 0.12 a b 0.14
已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为
A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D
并不是对立事件.
【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,
所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有
，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.
1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【答案】得到黑球的概率为 ，得到黄球的概率为 ，得到绿球的概率为 .
【解析】从袋中任取一球，记事件A＝{得到红球}，事件B＝{得到黑球}，事件C＝{得到黄球}，事件D＝
{得到绿球}，
则有 解得P(B)＝ ，P(C)＝ ，P(D)＝ .
所以得到黑球的概率为 ，得到黄球的概率为 ，得到绿球的概率为 .
【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件
和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．分别以 表示
事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求
解方程组，即可得到答案．
易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”
从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.
【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为 .
【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选
中女生的概率为 .
利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基
本事件是等可能发生的.
2．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为 ，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的
概率为 ，抛掷第999次正面向上的概率还是 .
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用，其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关键，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为 ，
它不因抛掷的次数而变化，即可得到答案．
错点3 几何概型中测度的选取不正确
在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;
（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.
【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB= AC．
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．
所以 .
（2）在∠ACB的内部作射线 ，则所求概率为 .
【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线 是
均匀分布的，所以射线 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.
【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB= AC．
由于点M是在斜边AB上任取的,
所以点M等可能分布在线段AB上,
因此基本事件的区域应是线段AB．
所以 .
（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),
因此基本事件的区域应是∠ACB,又 ， ，
所以 .
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后
利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利
用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
3．在区间 上随机取两个数x，y，记P为事件“ ”的概率，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示， 表示的平面区域为 ，
平面区域内满足 的部分为阴影部分的区域 ，其中 ， ，
结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 .
本题选择D选项.【名师点睛】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.数形结合为几何概型问题的解决
提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已
知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为
一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．
一、随机事件与概率
1.事件关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可
类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事
件的关系．
2．基本事件个数的计算方法
(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图列举.
3.求互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－ 求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是
“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便.
二、古典概型
1.求古典概型的基本步骤
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法．
3．求与古典概型有关的交汇问题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的
个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
三、几何概型
1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要
特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．
2．求解与体积有关的几何概型的方法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些
较复杂的也可利用其对立事件去求．
3．求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看
成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
1．（2018年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概
率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付.
则 .因为 ，所以 .
故选B.
【名师点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题.由公式
计算可得.
2．（2018年全国卷II文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的
概率为
A． B．C． D．
【答案】D
【名师点睛】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能个数及事件
“选中的2人都是女同学”的总可能个数，代入概率公式可求得概率.应用古典概型求某事件的步骤：
第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ； 学#@科网
第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
第三步，利用公式 求出事件 的概率.
3．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中
“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=3，
∴该幼童能将这句话排列正确的概率p= ．
故选A.
【名师点睛】先排好医字，共有3种排法，再排国字，只有一种方法.有关古典概型的概率问题，关键是正确
求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状
图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4．已知平面上有3个点 ,在 处放置一个小球,每次操作时将小球随机移动到另一个点处,则4次操作
之后,小球仍在 点的概率为
A． B．
C． D．
【答案】D
5．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中
的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：
907 966 191 925 271 431 932 458 569 683
该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮
恰有两次命中的有：191、932、271，共3组随机数，故所求概率为 .
故答案为C.
【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注
意列举法在本题的应用．由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数
中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．
6．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌
的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田
忌获胜的概率是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可得,赛马的对阵方式有 种,其中满足条件的有1种,所以田忌获胜的概率为 .
故选C． 学#科网
7．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点
O的距离大于l的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
8．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为 ,从集合 中任取一个元素 ,则函数
是增函数的概率为A． B．
C． D．
【答案】C
9．设函数f(x)= 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是
A． B．1﹣
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，因为 ，且f(x)= ，所以有 ，所以由几何概型可得，
f(x)的值不小于常数e的概率是 .
故选B． 学@#科网
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直
角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分
记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p，p，p，则
1 2 3
A．p=p B．p=p
1 2 1 3C．p=p D．p=p+p
2 3 1 2 3
【答案】A
【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何
概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得
结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面
积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出
p，p，p 的关系，从而求得结果.
1 2 3
11．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名
女生的概率为________．
【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率
为
【名师点睛】先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概
率.古典概型中基本事件数的探求方法：
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题
目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
12．已知向量 若 ，则向量 的概率为_______.
【答案】
【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之
比是解题的关键．先求出基本事件的个数，利用向量平行确定满足 的基本事件个数，然后代入古典
概型概率计算公式求概率.
13．设集合 , ,从集合 中任取一个元素,则这个元素也是集合
中元素的概率是__________．
【答案】
【解析】∵集合A={x| ＜2x＜16}=（﹣2，4）， =（0，3），
∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是 .
故答案为： .
【名师点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理能力.先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．
（2）几何概型的解题步骤：
首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变
量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；
接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式
；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代
公式.
13．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两
个小组样本分数的茎叶图如图所示．
（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；
（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；
（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）内的概率．
【答案】（1） , ; , .
（2）甲乙两个小组成绩相当; 乙组成绩比甲组成绩更稳定．
（3） .
【解析】（1）记甲乙成绩的的平均数分别为 ， ，则
．
．
记甲乙成绩的的方差分别为 ， ，则任取两名同学的基本事件有6个：
（ , ），（ , ），（ , ），（ , ），（ , ），（ , ）．
恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：
（ , ），（ , ），（ , ），（ , ）．
所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为 ．
【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：
（1）列举法.
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别
的题目，常采用树状图法.
（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
14． 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角
均为 ，边界忽略不计)即为中奖·乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和a个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它
是红球的概率是 ，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖.
（1）求实数 的值；
（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.
【答案】（1） ;（2）顾客在甲商场中奖的可能性大. 学科#￥网
15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价
处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高
气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出
的所有可能值，并估计 大于零的概率.
【答案】（1）0.6；（2）0.8.
【名师点睛】在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有
多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间 和最高气温低于 的天数，由
此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）当湿度大于等于 时,需求量为500 ,求出 元；当温度在 时，需求量为300，求出元；当温度低于 时，需求量为200，求出 元，从而当温度大于等于20时， ,
由此能估计估计 大于零的概率.
16．（2018天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的
方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工
作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）见解析；（ii） ．
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
