文档内容
[基础题组练]
1．(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行
为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面
额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30
次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )
A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是
S＝×π×112＝(mm2)．
2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面
圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒
鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A．1－ B.
C. D．1－
解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼
缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.
3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可得
即
解得0≤x≤，故所求的概率为＝.
4.(2019·湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中
间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑
色大圆的半径是黑色小圆半径的 2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑
色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面
积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝＝1－，故选C.
5．(2019·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意
掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.y＝sin2x＝－cos 2x，
所以dx＝＝，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，
该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是＝.故选A.
6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM<30°的概率为
________．
解析：如图，在∠CAB内作射线AM ，使∠CAM ＝30°，于是有
0 0
P(∠CAM<30°)＝＝＝.
答案：
7．(2019·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函
数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率是________．
解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，则Δ＝a2－b≥0，
所以b≤a2，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点的概率P＝＝.
答案：
8．(2019·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率
为________．
解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，
所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为
××4－×2×＝－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一
点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.
答案：－
9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.
(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求AB的长度小
于π的概率；
(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．
解：(1)圆O的周长为4π，所以AB的长度小于π的概率为＝.
(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－
1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．
其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且
x≠2y.基本事件为
所表示的区域，
B＝，
如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，
所以，P(B)＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
[综合题组练]
1．(2019·河南正阳模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1，1]上随机选取一
个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，半径r＝1，圆心到直线l：y＝k(x＋2)的距离d
＝＝，直线l与圆C相离时d>r，即>1，解得k<－或k>，故所求的概率为P＝＝.
2．(创新型)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒
在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D.以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB＋PC＝PD，因为PB＋PC＋2 PA
＝0，所以PB＋PC＝－2PA，得PD＝－2PA，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S ＝S ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC
△PBC △ABC
内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.
3．(应用型)(2019·山西太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内
某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概
率是( )A. B.
C. D.
解析：选C.建立平面直角坐标系如图，x，y分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中
每个点(x，y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是其
构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率P＝＝.
4．(应用型)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展
现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，
在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图象
分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内
随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin x的最小正周期T，又T＝＝12，所以大圆的
面积S＝π·＝36π，一个小圆的面积S′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分
的概率为P＝＝＝.
答案：
5．(创新型)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以
上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知
从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数；
(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5
～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为＝50.
由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决
赛的人数为36.
(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足
，
设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．
所以由几何概型得P(A)＝＝，即甲比乙跳得远的概率为.
6．(创新型)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为
a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区
间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1，1；
若a＝3，则b＝－1，1.
所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是15.
所以所求事件的概率为＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函
数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．
由得交点坐标C，
故所求事件的概率P＝＝＝.
