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[基础题组练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴
上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间(0，)上单调递减
C．(，0)为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小
正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于(，0)对称，故
选C.
3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，
得|φ|的最小值为.
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()的值为( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，所以该函数图象关
于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
5．(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，其中ω
为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x)≤f(x)≤f(x)，则|x－x|的最小值是( )
1 2 1 2
A．1 B.
C．2 D．π
解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，所以ω＋＝kπ，
k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x－x|的最小值为函数的半个周
1 2期，即＝＝.
6．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在
上单调递减，则ω的最大值是( )
A. B. C. D．2
解析：选C.因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝cos＝－
sin ωx，因为f(x)在 上单调递减，所以－×ω≥－且×ω ≤，解得ω≤，又ω>0，故ω的最大
值为.
7．(2019·高考北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
解析：因为f(x)＝sin22x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝.
答案：
8．(2019·昆明调研)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，且f(x)在[0，]上为增函
数，则ω＝________.
解析：将点(，0)代入f(x)＝sin ωx，得sinω＝0，所以ω＝nπ，n∈Z，得ω＝n，n∈Z.设函数
f(x)的最小正周期为T，因为f(x)在[0，]上为增函数，所以ω>0，≥，所以T≥π，即≥π，所以
ω≤2.所以n＝1，ω＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且
ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ
＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
答案：
10．(2019·成都模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋)．若xx<0，且f(x)－f(x)＝0，则|x－x|的取值
1 2 1 2 2 1
范围为________．
解析：如图，画出f(x)＝sin(2x＋)的大致图象，
记M(0，)，N(，)，则|MN|＝.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点
(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x，x，结合图形可知，|x－x|＝|AA′|∈(|
1 2 2 1
MN|，＋∞)，即|x－x|∈(，＋∞)．
2 1
答案：(，＋∞)
11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为x∈，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤ ，
所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
12．(2019·安徽池州一模)已知函数f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)>，求x的取值集合．
解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝
sin(2ωx＋)．因为周期为＝π，所以ω＝1，故f(x)＝sin(2x＋)．由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)f(x)>，即sin(2x＋)>，由正弦函数的性质得＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下
述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
解析：选D.如图，根据题意知，x ≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在
区间(，)上递减，则ω＝________.
解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，
由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋≤x≤＋，因为f(x)在区间(，)上递减，所以(，) [＋，＋]，从而有
解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，
⊆
所以1≤ω≤，因为f()＋f()＝0，
所以x＝＝为f(x)＝2sin(ωx＋)的一个对称中心的横坐标，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，
又1≤ω≤，
所以ω＝2.
答案：2
4．(创新型)(2019·兰州模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－
5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解：(1)因为x∈[0，]，
所以2x＋∈[，]，
所以sin(2x＋)∈[－，1]，所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，
所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，
所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1
＝4sin(2x＋)－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
所以4sin(2x＋)－1>1，
所以sin(2x＋)>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ
