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[基础题组练]
1．小明同学喜欢打篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次
投中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.假设小明每一次投篮投中的概率为，满足X～B，投篮四次，恰好两次投中的
概率P＝C＝.故选D.
2．(2019·石家庄摸底考试)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一
次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出现
红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红
灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红
灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)＝＝，故选C.
3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个
小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次
数字乘积为偶数的概率为1－＝；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为
(1，2)或(2，1)或(2，2)，概率为××2＋×＝.故所求条件概率为＝.
4．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪
调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时
10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
间/天
个数 10 40 80 50 20
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命
在30天以上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C×＋＝.
5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付
方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X
＝6)，则p＝( )A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以
DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－
p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.
6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
解析：该同学通过测试的概率P＝C×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.
答案：0.648
7．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的
学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是________．
解析：由题意知，P(AB)＝×＝，P(B)＝＝，根据条件概率的计算公式得P(A|B)＝＝＝.
答案：，
8．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率
为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局
的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为
________．
解析：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A)，其概率为1－0.4＝
1
0.6；第二局中乙胜丙(A)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙
2 3
(A)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝
4
P(AAAA)＝0.62×0.52＝0.09.
1 2 3 4
答案：0.09
9．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到
红灯的概率分别为，，.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3P
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的
概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
10．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality
Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大
小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200
为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记
录了去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ
的分布列．
解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，
所以该样本中空气质量为优良的频率为＝，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为
30×＝18.
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B.
所以P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝＝.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
[综合题组练]
1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新
取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.×
C.× D．C××
解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的
球是白球的情况，此事件发生的概率为×.
2．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，
现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在第1次抽到的是螺口灯泡
的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B.C. D.
解析：选D.设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口
灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜
利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客
主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲
队以4∶1获胜的概率是________．
解析：记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲
队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
答案：0.18
4．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，A 和A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑
1 2 3
球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论
中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①P(B)＝；
②P(B|A)＝；
1
③事件B与事件A 相互独立；
1
④A，A，A 是两两互斥的事件；
1 2 3
⑤P(B)的值不能确定，它与A，A，A 中哪一个发生都有关．
1 2 3
解析：由题意知A，A，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
P(A)＝＝，P(A)＝＝，P(A)＝，
1 2 3
P(B|A)＝＝，
1
P(B|A)＝，P(B|A)＝，
2 3
而P(B)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
1 2 3
＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝×＋×＋×＝.故正确的为②④.
答案：②④
5．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之
间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的
概率是多少？
解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A，则事件A 的对立事件
1 1
A1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．
故P(A1)＝C＝.所以P(A)＝1－P(A1)＝1－＝.
1
所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A，“乙射击4次，恰好有3次击中目
2
标”为事件B，
2
则P(A)＝C××＝，
2
P(B)＝C×＝.
2
由于甲、乙射击相互独立，
故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
2 2 2 2
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A ，“乙第i次射击未击中“为事件
3
D(i＝1，2，3，4，5)，
i
则A＝DDD3 (D2 D1∪D2D∪DD1)，且P(D)＝.
3 5 4 1 2 i
由于各事件相互独立，故
P(A)＝P(D)P(D)P(D3)P(D2 D1＋D2D＋DD1)
3 5 4 1 2
＝×××＝.
所以乙恰好射击5次后被终止射击的概率为.
6．(2019·安徽宿州模拟)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，
促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚
动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；
第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三
阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表
如下：
用户
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
编号
年用
电 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
量(度)
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元；
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯
电量的户数的分布列与期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机
地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．
解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3
元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565
3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，4.P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(3)由题意可知从全市居民中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X～B，可知P(X＝k)
＝C·(k＝0，1，2，3，…，10)．
由
解得≤k≤.
又k∈N*，
所以当k＝4时概率最大，故k＝4.
