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[基础题组练]
1．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝( )
A．1∶1∶ B．2∶2∶
C．1∶1∶2 D．1∶1∶4
解析：选A.△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以A＝，B＝，C＝π，a∶b∶c＝sin A∶sin
B∶sin C＝∶∶＝1∶1∶.
2．(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则
B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝
2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin
C≠0，所以cos B＝－，又0c，则＝________．
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋
B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理
得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.
答案：2
10．(2019·昆明质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，
且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：因为＝，由正弦定理可知，＝⇒tan A＝tan B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，
所以A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos 2B＝－cos C＝－＝1－2sin2 B，解得sin B
＝，cos B＝，tan B＝.
因为AB＝c＝3，所以C到AB的距离h＝×tan B＝×＝，所以△ABC的面积为×AB×h
＝.
答案：
11．(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin
A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)．(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，
即a2＋b2－c2＝ab.
所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin C＝ab＝，
所以ab＝6，
所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
12．(2019·合肥质量检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos C＝
acos2B＋bcos Acos B.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若cos A＝，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．
解：(1)证明：根据正弦定理及b cos C＝acos2B＋bcos Acos B，可得sin Bcos C＝sin
Acos2B＋sin Bcos Acos B＝cos B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝cos Bsin(A＋B)，
即sin Bcos C＝cos Bsin C，
所以sin(B－C)＝0，
由B，C∈(0，π)，得B－C∈(－π，π)，
故B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
(2)由(1)知b＝c，则cos A＝＝＝，得b＝2a.
△ABC的周长为a＋b＋c＝5a＝5，得a＝1，b＝c＝2.
故△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×＝.
[综合题组练]
1．(应用型)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，
且4S＝(a＋b)2－c2，则sin等于 ( )
A．1 B．－
C. D.
解析：选C.因为S＝absin C，cos C＝，所以2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C．又4S
＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
所以2absin C＝2abcos C＋2ab.因为ab≠0，所以sin C＝cos C＋1.因为sin2C＋cos2C＝
1，所以(cos C＋1)2＋cos2 C＝1，解得cos C＝－1(不合题意，舍去)或cos C＝0，所以sin C
＝1，
则sin＝(sin C＋cos C)＝.
2．(应用型)(2019·陕西质量检测一)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，
所以(acos B＋bcos A)＝c，
由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以2cos Csin(A＋B)＝
sin C，即2cos Csin C＝sin C，
又sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，B＝－A，
所以由正弦定理＝＝，可得a＝，b＝，
因为a＋b＝2，所以＋＝2，
整理得c＝＝＝，
因为A∈，所以A＋∈，可得
sin∈，所以c＝∈[1，2)．
答案：[1，2)
3．(2018·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝
acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝
acos ，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a
