文档内容
[基础题组练]
1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，
所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐
近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
3．(一题多解)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值
范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，)
C．(0，3) D．(0，)
解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，
所以2c＝2×|2m|＝4，所以|m|＝1，
因为方程－＝1表示双曲线，
所以(m2＋n)·(3m2－n)>0，
所以－m20，b>0)的渐近线相同，且双曲线C 的焦距为4，则
1 2 2
b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.由题意得，＝2 b＝2a，C 的焦距2c＝4 c＝＝2 b＝4，故选B.
2
5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2
⇒ ⇒ ⇒
＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.
解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的
右焦点，连接OE，PF′，
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′
的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的
性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|
OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.
法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，
连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|
＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.
6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F
的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝
60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝
1(a>0，b>0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面
积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双
曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝
1，故选D.
8．(2019·河北邯郸联考)如图，F，F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若
1 2
直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为( )
1 2
A．2＋ B.
C．2＋ D.解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝
±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所
以e2＝2＋，所以e＝，故选D.
9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线
FM(切点为M)，交y轴于点P，若PM＝2MF，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B.设P(0，3m)，由PM＝2MF，可得点M的坐标为，因为OM⊥PF，所以·＝－1，
所以m2＝c2，所以M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e
＝＝，故选B.
10．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F，F，过F 作倾斜
1 2 1
角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段FB，则该双曲
1
线的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A.由题意可知F(－c，0)，设A(0，y)，因为A是FB的中点，所以点B的横坐标
1 0 1
为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线FB的倾斜角为30°，所以＝，化简整理得
1
＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，两边同时除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝
－(舍去)，故选A.
11．已知M(x ，y)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是双曲线C的两个焦点．若
0 0 1 2
MF1·MF2<0，则y 的取值范围是( )
0
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F(－，0)，F(，0)，
1 2
则MF1＝(－－x，－y)，MF2＝(－x，－y)．
0 0 0 0
因为MF1·MF2<0，
所以(－－x)(－x)＋y<0，
0 0
即x－3＋y<0.
因为点M(x，y)在双曲线C上，
0 0
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲
线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取
值范围为( )
A．(1，)B．(，)
C．(，2)
D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D.设双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－c，0)，
1
令x＝－c，可得y＝±，可设A，B.
又设D(0，b)，可得AD＝.
AB＝，DB＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．
当∠DAB为钝角时，可得AD·AB<0，即为0－·<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得
c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得10，由e＝，
可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>.
综上可得，e的范围为(1，)∪(，＋∞)．故选D.
13．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为
________．
解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，
即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.
答案：
14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B
为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双
曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a
＝2.
答案：2
15．(2019·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的
右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知F(c，0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线渐近线的方
程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝b，所以双曲线的离心率e
＝＝＝.
答案：
16．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F，F 分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，
1 2
P 为双曲线左支上任一点，过点 F 作∠FPF 的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|＝
1 1 2
________．
解析：如图所示，延长FH交PF 于点Q，由PH为∠FPF 的平分线及PH⊥FQ，可知|
1 2 1 2 1
PF|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF|－|PF|＝2，从而|QF|＝2，在△FQF 中，易知OH为
1 2 1 2 1 2中位线，故|OH|＝1.
答案：1
[综合题组练]
1．(一题多解)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋
＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，因为双
曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.
故选B.
法二：因为椭圆＋＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以a2＋b2＝
(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝x，所以＝②，联立①②可解得a2＝4，b2＝5.所以
双曲线C的方程为－＝1.
2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于
M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B.以原点为圆心，半径长为的圆的方程为x2＋y2＝5，双曲线的两条渐近线方程
为y＝±x，不妨设M，
因为四边形MNPQ的面积为8，所以4x·x＝8，
所以x2＝2，
将M代入x2＋y2＝5，可得x2＋x2＝5，
所以＋＝5，a＞b＞0，
解得＝，故选B.
3．(2019·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点
分别是F ，F.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x ，y)(x>0，y>0)满足＝，则
1 2 0 0 0 0
S －S ＝( )
△PMF1 △PMF2
A．2 B．4
C．1 D．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF|－|PF|＝4，由＝，可得＝，即FM平分
1 2 1
∠PFF.
1 2
又结合平面几何知识可得，△FPF 的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△FPF
1 2 1 2
的内心．
故S －S ＝×(|PF|－|PF|)×1＝×4×1＝2.
△PMF1 △PMF2 1 2
4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F
1 2 1
的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的离心率为
________．
解析：通解：因为F1B·F2B＝0，所以FB⊥FB，如图．
1 2
所以|OF|＝|OB|，所以∠BFO＝∠FBO，所以∠BOF ＝2∠BFO.因为F1A＝AB，所以点
1 1 1 2 1
A为FB的中点，又点O为FF 的中点，所以OA∥BF，所以FB⊥OA，因为直线OA，OB为
1 1 2 2 1
双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan ∠BFO＝，tan ∠BOF ＝.因为 tan ∠BOF ＝
1 2 2
tan(2∠BFO)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝
1
2.
优解：因为F1B·F2B＝0，所以FB⊥FB，在Rt△FBF 中，|OB|＝|OF|，所以∠OBF ＝
1 2 1 2 2 2
∠OFB，又F1A＝AB，所以A为FB的中点，所以OA∥FB，所以∠FOA＝∠OFB.又∠FOA
2 1 2 1 2 1
＝∠BOF ，所以△OBF 为等边三角形．由F(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝
2 2 2
·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
5．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F，F，离心率为2.
1 2
(1)若A，B分别为此双曲线的渐近线l，l 上的动点，且2|AB|＝5|FF|，求线段AB的中点
1 2 1 2
M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(2)过点N(1，0)能否作出直线l，使l交双曲线于P，Q两点，且OP·OQ＝0，若存在，求出
直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)因为e＝2，所以c2＝4a2，
因为c2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2，
所以双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x；
设A(x，y)，B(x，y)，AB的中点M(x，y)，
1 1 2 2
因为2|AB|＝5|FF|，
1 2
所以|AB|＝|FF|＝10，
1 2
所以＝10，因为y＝x，y＝－x，2x＝x＋x，2y＝y＋y，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以y＋y＝(x－x)，y－y＝(x＋x)，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以＝10，
所以3(2y)2＋(2x)2＝100，
即＋＝1，
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．
(2)假设存在满足条件的直线l.
设l：y＝k(x－1)，l与双曲线交于P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
因为OP·OQ＝0，
所以xx＋yy＝0，
1 2 1 2
所以xx＋k2(x－1)(x－1)＝0，
1 2 1 2
所以xx＋k2[xx－(x＋x)＋1]＝0，①
1 2 1 2 1 2
因为，可得(3k2－1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x＋x＝，xx＝，②
1 2 1 2
将②代入①得k2＋3＝0，
所以k不存在，所以假设不成立，即不存在满足条件的直线l.
