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专题 05 平面向量
易错点1 忽略了零向量的特殊性
给出下列命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等.
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 .
【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；
二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．学-科网
【试题解析】① 与 是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；
③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不
正确，故不正确命题的序号是②④.
【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点：
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a与 的关系： 是a方向上的单位向量.
（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
1．下列命题正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确；
B中,两个向量不能比较大小,所以错误；
C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误；
D中,如果一个向量的模等于0,则这个向量是 .
易错点2 忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.
【错解】设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴ = ，又∵ =
（4，0）， =（1－x，－5－y），∴ ，解得x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.
实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.
【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.
①若四边形ABCD 为平行四边形，则 = ，而 =（x＋1，y）， =（－2，－5）.
1由 = ，得 ，∴ ，∴D（－3，－5）.
1
②若四边形ACD B为平行四边形，则 = .而 =（4，0）， =（x－1，y＋5）.
2
∴ ，∴ ，∴D（5，－5）.
2
③若四边形ACBD 为平行四边形，则 = .而 =（x＋1，y）， =（2，5），∴ ，∴ ，
3
∴D（1，5）.
3
1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是
原点时，其终点坐标就是向量坐标．
2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位
置，它们的坐标都是相同的．
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x，y 有可能等于0，所以应表示为xy－
1 1 2 2 2 2 1 2
xy＝0.
2 1
2．若四边形 满足 ，则该四边形一定是
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．直角梯形【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形；
又因为 ，
所以 ，
所以平行四边形 为菱形.
错点3 忽视两向量夹角的范围
已知向量
（1）若 为锐角，求 的取值范围；
x
（2）当 时，求 的值.
x
【错解】（1）若 为锐角，则 且 不同向.
，∴ .
【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.
【试题解析】（1）若 为锐角，则 且 不同向.，∴ .
1 1
x x2且x
当 2 时， 同向, 2 .
即若 为锐角，x的取值范围是{x| 且 }.
（2）由题意，可得 ，
又 ，
，
即 ，
解得 或 .
【参考答案】（1）{x| 且 }；（2） 或 .
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，
使其起点相同，再观察夹角．
2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
3．已知向量 ,且 与 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵ 与 的夹角为钝角，∴ ，即 ，
∴ .
又当 与 反向时，夹角为180°，即 ，则 ，解得 .
应该排除反向的情形，即排除 ，
于是实数λ的取值范围为 .
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时, ;当夹角
为180°时, ,这是容易忽略的地方.
1．在求 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC中，
与 的夹角应为120°而不是60°.
2．在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结
论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.
3．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b
＝c.
4．实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这
是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
易错点4 三角形的“四心”的概念混淆不清已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足
，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过 的]
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置
关系判断错误等.
【试题解析】由原等式，得 = ，即 = ，
根据平行四边形法则，知 是 的中线AD（D为BC的中点）所对应向量 的2倍，
所以点P的轨迹必过 的重心，故选C.
【参考答案】C
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点G是 的重心，则 0或 （其中P为平面内任意一
点）.反之，若 0，则点G是 的重心.
2. 垂心. 若H是 的垂心，则 或 .
反之，若 ，则点H是 的垂心.
3. 内 心 . 若 点 I 是 的 内 心 ， 则 有 =0. 反 之 ， 若=0，则点I是 的内心.
4. 外心. 若点 O 是 的外心，则 =0 或
.反之，若 ，则点O是 的外心.
4．G是 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 ，则角
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】D
【解析】因为 G是 的重心，所以有 .又 ，所以
a∶b∶c＝1∶1∶1，设c＝，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝＝，所以A＝30°，故选D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变
形问题或解三角形问题．
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理及其应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，λ，
1 2 1 2
使a=λe＋λe.其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两
1 1 2 2 1 2
个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y
唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴
上的坐标.学！科网
3.平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A（x，y），B（x，y），则 =（x－x，y－y）.
1 1 2 2 2 1 2 1
（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x，y），b=（x，y），则a＋b=（x+x，y+y），a－b=（x－x，y－y），λa=（λx ，λy ），
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
|a|= ，|a＋b|= .
（3）平面向量共线的坐标表示
设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b xy－xy=0.
1 1 2 2 1 2 2 1
（4）向量的夹角 ⇔
已知两个非零向量a和b，作 =a， =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a
与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
三、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积（或内积），记
作a·b，即a·b=|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.
（2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律（1）a·b=b·a（交换律）.
（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.
（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=（x，y），b=（x，y），θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
（1）数量积：a·b=|a||b|cos θ=xx＋yy.
1 2 1 2
（2）模：|a|= = .
（3）设A（x，y），B（x，y），则A，B两点间的距离|AB|= = .
1 1 2 2
（4）夹角：cos θ= = .
（5）已知两非零向量a与b，a⊥b a·b=0 xx＋yy=0，a∥b a·b=±|a||b|.
1 2 1 2
（6）|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等⇔号成立⇔）⇔|xx＋yy|≤ ⇔ .
1 2 1 2
|a|= ，|a＋b|=
四、平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
若a=（x，y），b=（x，y），
1 1 2 2
（1）a∥b a=λb（b≠0）⇔xy－xy=0.
1 2 2 1
（2）a⊥b⇔a·b=0 x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
⇔ ⇔
（3）cos θ= = .
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题.
3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线
的位置关系的相关知识来解答.
4.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.
1．已知两点 ，则与向量 同向的单位向量是
A．±（ ） B．
C． D．
【答案】C
2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,所以由
向量加法的平行四边形法则得 ， ，所以
.选D.
3．已知 ，若 ，则
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .解得 .故选D.
4．设向量 ，且 ，则 的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ，那么 ，解得 ，故选D.
5．（2018年高考新课标Ⅰ卷文科）在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以 ，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．（2017年高考新课标Ⅱ卷文科）设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．
C． ∥ D．
【答案】A
【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量 ， 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可
得 ⊥ .故选A.
7．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足
b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A． −1 B． +1
C．2D．2−
【答案】A
8．（2018天津文科）在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为A． B．
C． D．0
【答案】C
【解析】如图所示，连结MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，
则 ，
由题意可知： ， ，
结合数量积的运算法则可得： .
本题选择C选项.
【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9．（2017年高考北京卷文科）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
10．双曲线 的左，右焦点分别为 ， ， 为右支上一点，且 ，则双曲线的离心
率为
A．3 B．5
C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线方程可得a=1,
因为 为右支上一点,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
则c=5,
则双曲线的离心率e=5．
11．设向量 ， 满足 且 ，则向量 在向量 方向的投影为
A．-2 B．-1
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意可知： ，，则 .故选A.
12．在 中， 是线段 的三等分点，则 的值为
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 是线段 的三等分点，所以 , ;所以 =
= = = = .
故选B.
13．如图，在 中，点 在 边上，且 ，点 在 边上，且 ，则用向量 表示 为
A． B．
C． D．
【答案】B
14．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，
记 ， ， ，则A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标
运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角
公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积
来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得 ，由
AB=BC=AD=2，CD=3，可求得 ， ，进而得到 ．
15．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则
， ， ，设 ，所以 ， ，，所以 ，
，当 时，所求的最小值为 ，故选B．
【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义
将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即
利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然
后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 ，则
的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设 ,易得圆的半径 ，即圆C的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是3，即 的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减
或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
17．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
【答案】
【解析】由题可得 ， ， ， ，即 ，故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量
共线的坐标关系计算即可.
18．平面向量 满足 ，且| |=2，| |=4，则 与 的夹角等于___________．
【答案】
【解析】 ，得 ，又| |=2，| |=4，
得 ，解得 ，即 ，故填 .19．已知向量 ，如果 ，那么 的值为___________．
【答案】
【解析】由 ，得 ， ，故
，
故填 .
20．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
【答案】
【解析】方法一： ，
所以 .
方法二：利用如下图形，可以判断出 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，
则为 .
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知
识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题
时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
E BC
21．如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，且 ，则(cid:3) (cid:3)
AEBF
的值是 ．
F
D C
E
A B
【答案】
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
，∴ ， ，∴ .
22．（2017年高考天津卷文）在 中， ， ， ．若 ，
，且 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】由题可得 ，则
．
【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向
量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．在 中， 是 内一点，且 ，若 ，则
的最大值为___________．
【答案】
24．已知 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，则实数 的值是___________．
3e e e e
1 2 1 2
【答案】
【解析】∵ ，
，
，
，解得 ．
【名师点睛】（1）平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹角的
定义和它的取值范围：0180.
（2）由向量的数量积的性质有 ， ， ，因此，利用平面向量的
数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于 的方程求解
.
25．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b满足 则 的最小值是________，最大值是
___________．
【答案】4，
【名师点睛】本题通过设向量 的夹角为 ，结合模长公式，可得
，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力
有一定的要求．
26．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为 ，
且 =7， 与 的夹角为45°．若 ，则 _________．
【答案】3
【解析】由 可得 ， ，根据向量的分解，易得 ，
即 ，即 ，
即得 ，
所以 ．
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合
提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．
通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．
（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉
的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
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