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专题 01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性
设集合 ，若 ，则实数 的值为
A． B．
C． D． 或 或
【错解】由 得 或 ，解得 或 或 ，所以选D．
【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是
不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，
加以重视．当 时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当 时，A=B={1,1,1}也不满足元
素的互异性；当 时，A=B={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要
么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通
常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个
特性通常被用来判断两个集合的关系
1．集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=3时，x–1=2，集合中元素重
复，不满足互异性，集合表示错误；当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当
x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B．
【答案】B
易错点2 误解集合间的关系致错已知集合 ，则下列关于集合A与B的关系正确的是
A． B．
C． D．
【错解】因为 ，所以 ，所以 ，故选B．
【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之
间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别
是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集
合B的元素时，A与B是从属关系．
【试题解析】因为 ，所以 ，则集合 是集合B中的元素，所以 ，
故选D．
【参考答案】D
（1）元素与集合之间有且仅有“属于（ ）”和“不属于（ ）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是
否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 （或 ）；如果
集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ）.
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2．若集合 ， ，则有A． B．
C． D．
【答案】B
易错点3 忽视空集易漏解
已知集合 ， ，若 ，则实数m的取值范
围是
A． B．
C． D．
【错解】∵ ，∴ ，∴ .
由 知 ，∴ ，则 .
∴m的取值范围是 .
【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有 ，所以错解
中忽略了 时的情况.
【试题解析】∵ ，∴ . ，①若 ，则 ，即 ，故 时， ；
②若 ，如图所示，
则 ，即 .
由 得 ，解得 .又∵ ，∴ .
由①②知，当 时， .
【参考答案】C
（1）对于任意集合A，有 ， ，所以如果 ，就要考虑集合 可能是 ；如
果 ，就要考虑集合 可能是 .
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 ， .
3．集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】当 时，集合 ，满足题意；当 时， ，若 ，则 ，∴ ，所
以 ，故选B．
【答案】B
易错点4 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别设 ,则“ ”是“ ”的]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【错解】选A．
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若 ，则 ，但当 时也有 ，故本题选B．
【参考答案】B
（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B A且A B；
（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即⇒A B且 .
⇒
4．已知 ， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】由基本不等式得， ，由 ，又因为 的一
个充分不必要条件是 ，则 ，故选A．
【答案】A
易错点5 命题的否定与否命题的区别命题“ 且 ”的否定形式是
A． B．
C． D．
【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；
对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“ 且 ”的否定形式是
“ ”．故选D．
【参考答案】D
1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定
其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
2．命题的否定
（1）对“若p，则q”形式命题的否定；
（2）对含有逻辑联结词命题的否定；
（3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全
称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．
从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
5．已知 ，则¬p是¬q
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
将命题 的否定形式错误地认为： ，∴x2＋4x−5<0导致错误．
一、集合
1．元素与集合的关系： .
2．集合中元素的特征：
（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，
要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性
通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.学！科网
（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．
这个特性通常被用来判断两个集合的关系.
3．常用数集及其记法：
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
(自然数集)
符号 或
4．集合间的基本关系
表示
自然语言 符号语言 图示
关系
集合A中任意一个元素都是集 （或
子集
合B的元素
）
基
集合A是集合B的子集，且集 （或
本 真子集 合B中至少有一个元素不在集
基本 合A中 ）
关系
集合A，B中元素相同或集合
相等
A，B互为子集
，
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真
空集
子集
（1）若集合A中含有n个元素，则有 个子集，有 个非空子集，有 个真子集，有 个非空真
子集．
（2）子集关系的传递性，即 .
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则
会造成漏解.
5．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图由属于集合A且属于
交集 集合B的所有元素组
成的集合
由所有属于集合A或
并集 属于集合B的元素组
成的集合
由全集U中不属于集
补集 合A的所有元素组成
的集合
（1）集合运算的相关结论
交集
并集
补集
（2）
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若 ，则
逆否命
若 ，则
题
2．四种命题间的关系（1）常见的否定词语
正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有1(n)个 至少有1个
否定词 ( ) 不是 不都是 某个 某两个 至少有2(n+1)个 1个也没有
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件的概念
(1)若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；
(3)若p⇒ q且q p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p q，则⇒p是q的充要条件；
(5) 若p⇔ q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件 是 的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件 是 的必要不充分条件；
③p是q的充要条件 是 的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件 是 的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则①若 ，则p是q的充分条件；
②若 ，则p是q的必要条件；
③若 ，则p是q的充分不必要条件；
④若 ，则p是q的必要不充分条件；
⑤若 ，则p是q的充要条件；
⑥若 且 ，则p是q的既不充分也不必要条件.
三、逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．常见的逻辑联结词：或、且、非
一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作 ，读作“p且q”；
用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作 ，读作“p或q”；
对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作 ，读作“非p”．
2．复合命题的真假判断
“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
p q
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
3．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
4．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
命题 命题的否定含有逻辑联结词的命题的真假判断：
（1） 中一假则假，全真才真．
（2） 中一真则真，全假才假．
（3）p与 真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这
两者的概念.
1．（2018浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ,故选C．
2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合 ，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式 得 ，所以 ，所以可以求得
，故选B．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易得集合 ,所以 ，故选C．
4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合 ，则 中元素的个数为
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A
【解析】 ，当 时， ；当 时， ；当
时， ,所以共有9个元素，选A．
5．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条
件． ⇒
（2）等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定
式的命题，一般运⇒用等价法⇒． ⇒ ⇒ ⇔ ⇔
（3）集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件．
⊆
6．（2018天津理科）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
7．（2017北京理科）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，
即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.
8．（2016上海理科）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 或 ，所以是充分不必要条件，故选A．
9．（2017新课标Ⅱ卷理）设集合 ， ．若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，即 是方程 的根，所以 ，，故选C．
【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的
值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准
确性．
10．（2017新课标Ⅲ卷理）已知集合A= ，B= ，则A B中元素的个数为
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正
确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的
集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
11．（2016浙江卷理）命题“ ，使得 ”的否定形式是
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】D
【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选D．
12．（2017北京卷理）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即
不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A．
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：
（1）根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若
，那么 ， 互为充要条件；若 ，那么就是既不充分也不必要条件.
（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ,若 ，那么 是 的充
分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；若没有包含关系，那
么就是既不充分也不必要条件.
（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判
断.
13．（2017天津卷理）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，但 时 ，不满足 ，所以
“ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选A．
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条
件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则
是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充分而不必要
条件，若 是 的真子集，则 是 的必要而不充分条件．14．已知集合 ，则实数a的值为
A．−1 B．0
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意，1+a=0，∴a=−1，本题选择A选项.
15．已知集合 , ,则
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中
参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．
16．设命题p: ,则 为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题p: ，则 为 .故选C．
17．“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是
A． ，有 成立，则B． ，有 成立，则
C． ，有 成立，则
D． ，有 成立，则
【答案】D
【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是“
，有 成立，则 ”.本题选择D选项.
18．已知集合 ，集合 ，则集合
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得， ，解得 ，满足题意 ，所以集合 ＝ 故选
C．
19．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知： ，结合集合B和题意可得实数 的取值范围是 .本题选择A选
项.
20．“ ”是“函数 在区间 无零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】若函数 在区间 无零点，则 ，故选
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21．设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是
A． B．
C． D． 且
【答案】C
【解析】因为 时表示两向量的方向相反，所以不是充分条件；当 时，也不能推出 ，故
也不充分；
当 时，能够推出 ，故是充分条件；
而 且 则是 成立的既不充分也不必要条件，
应选C．
22．已知命题 :对任意 ,总有 是 的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】A
23．已知命题 ：“关于 的方程 有实根”，若 为真命题的充分不必要条件为 ，
则实数 的取值范围是
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】命题 p： ， 为 ，又 为真命题的充分不必要条件为 ，故
24．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目
标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是
A． 为真命题 B． 为真命题
C． 为真命题 D． 为真命题
【答案】A
【解析】 命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目标”，则命题 是“第一
次射击没击中目标”，命题 是“第二次射击没击中目标”， 命题 “两次射击中至少有一次没有
击中目标”是 ，故选A．
25．（2018北京理科）能说明“若（f x）>（f 0）对任意的x∈（0，2］都成立，则（f x）在［0，2］上是增函数”为假命
题的一个函数是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于 ，其图象的对称轴为 ，则（f x）>（f 0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f
（x）在［0，2］上不是单调函数.
26．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 =________．
【答案】1
【解析】由题意得 ,验证满足.
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和
化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因
为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否成
立，以防漏解.
27．若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为命题“ ”是假命题，所以 为真命题，即
，故答案为 .
28．已知条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】条件p:log (1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0a，
若p是q的充分不必要条件，∴ .
则实数a的取值范围是：(−∞,0].
故答案为：(−∞,0].
29．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号）
①命题“ ， ”的否定是“ ， ”
②若向量 ，则存在唯一的实数 使得
③若函数 在 上可导，则 是 为函数极值点的必要不充分条件
④若“ ”为真命题，则“ ”也为真命题
【答案】③30．命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 恒成立.若 的逆命题， 的逆
否命题都是真命题，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】命题 的逆命题：若 ，则 ，故 ；
命题 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则 ， ；
则实数 的取值范围是 .
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