专题 10 圆锥曲线
易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图，已知点 ，直线 ，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
，求动点P的轨迹．
1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐
标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:
（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等
价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则
可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 却随另一动点
的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 ， 表示
成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程．
（4）参数法：若动点 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点 的轨迹，也没有明显
的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点
中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方
程的方法叫做参数法.
2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么
样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．已知点P(2，2)，圆C： ，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O
为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及 的面积．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）圆C的方程可化为 ，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则 ， ．由题设知 ，故 ，即 ．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是 ．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心， 为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为 ，故直线l的方程为 ．
又|OM|＝|OP|＝ ，点O到直线l的距离为 ，|PM|＝ ，所以 的面积为 ．
易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线C：y＝和直线l：y＝kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
【错解】依题意，由
分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有 ，
故线段AB中点的轨迹方程为 .
【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许范围，故应对x，y加以限制．
【试题解析】依题意，由，
分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有又对②应满足 ，解得<k<1.
结合③④，则有x>2，y>.
所以所求轨迹方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>)．
【参考答案】轨迹方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>).
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方
程 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备
性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围.
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2．已知 的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程.
【答案】＋＝1(－2<x<0)．
故所求的轨迹方程为＋＝1(－2<x<0)．本题在求出顶点B的轨迹方程后，容易忽略了题设中的条件a>b>c，使变量x的范围扩大，从而导致错误．
另外，注意当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．
易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件
若方程 表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．
【错解】由 ，可得 ，所以实数k的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．
【试题解析】由 ，可得 且 ，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题
的正确性．
【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做
椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 .
定义式： .要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
3．已知F，F 为两定点，|FF|＝8，动点M满足|MF |＋|MF |＝8，则动点M的轨迹是
1 2 1 2 1 2
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
【答案】D
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆
定义中|FF|＜2a这一隐含条件，就会错误地得出点M的轨迹是椭圆.
1 2
易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为 ，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．
【错解1】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故 ． 学科.网
【错解2】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故 ．
【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦
点位置的讨论，从而导致错误．【试题解析】因为2c＝8，所以c＝4，
①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故 ；
②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故 ．
综上， 或 ．
【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺
着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解．
【参考答案】 或 ．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
对于方程 ，
①表示焦点在x轴上的椭圆 且 ；
②表示焦点在y轴上的椭圆 且 ；
③表示椭圆 且 ．
对于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，
当B＞A时，表示焦点在x轴上的椭圆；当B＜A时，表示焦点在y轴上的椭圆．
2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要
分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为 或 .
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 ）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在
y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B).
求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可
以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
4．已知 ， ，则该椭圆的标准方程为
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上，从而求出椭圆的标准方程为＋＝1.为
了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：
与椭圆 有相同焦点的椭圆方程可设为 且 ，与椭圆
有相同离心率的椭圆方程可设为 ，焦点在 x 轴上 或
，焦点在y轴上 ．
易错点5 忽略椭圆的范围
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率 ，已知点 到椭圆的最远距离为
，求椭圆的标准方程．
【错解】由题意可设椭圆的标准方程为 ，
则 ，故 ，即 ．设椭圆上的点 到点P的距离为d，
则 ，
所以当 时， 取得最大值，从而d取得最大值，
所以 ，解得 ， ．
故所求椭圆的标准方程为 ．
【错因分析】错解中“当 时， 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值
范围，事实上，由于点 在椭圆上，所以 ，因此在求 的最大值时，应分类讨论．
【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为 ，
则 ，故 ，即 ．
设椭圆上的点 到点P的距离为d，
则 ，
若 ，则当 时， 取得最大值，从而d取得最大值，
于是 ，解得 ，与 矛盾，故 ，
所以当 时， 取得最大值，从而d取得最大值，所以 ，解得 ， ．
故所求椭圆的标准方程为 ．
【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能
避免出错．
【参考答案】 .
1．椭圆 的范围就是方程中变量x,y的范围，由 得 ，则
； ，则 .故椭圆落在直线x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的
图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取
值范围.
2．设椭圆 上任意一点 ，则当 时， 有最小值b，P点在短轴端点处；
当 时， 有最大值a，P点在长轴端点处．
3．（1）解决椭圆＋＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有：
①－a≤x≤a，－b≤y≤b；
②离心率0<e<1；
③一元二次方程有解，则判别式 .
（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种：
①利用定义转化为几何问题处理；
②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理；
③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x、y的取值范围，
常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
5．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）斜率为 的直线 与椭圆 交于 两个不同的点，当直线 的斜率之积是不为0的定值时，
求此时 的面积的最大值．
【答案】（1） ， ；（2）1. 学！@科网
由 ，消去 ，得 ，易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件
已知F(－5，0)，F(5，0)，动点P满足|PF|－|PF|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为
1 2 1 2
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【错解】依题意得 ，当 时， ，故点 P 的轨迹为双曲线；当 时，
，故点P的轨迹为一条射线．故选B．
【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．
【试题解析】依题意得 ，当 时， ，且 ，点P的轨迹为双曲
线的右支；当 时， ，故点P的轨迹为一条射线．故选D．
【参考答案】D．
在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．
当||MF |－|MF ||＝2a＜|FF|(a＞0)，即|MF |－|MF |＝±2a，0＜2a＜|FF|时，点M的轨迹是双曲线，其中取正
1 2 1 2 1 2 1 2
号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；
当||MF |－|MF ||＝2a＝|FF|(a＞0)时，点M的轨迹是以点F，F 为端点的两条射线；
1 2 1 2 1 2
当||MF |－|MF ||＝2a＞|FF|(a＞0)时，点M的轨迹不存在．
1 2 1 2
6．如图，在 中，已知 ，且三内角A，B，C满足 ，以AB边所在的直
线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【答案】 ．
【解析】由题意可得 ， ．【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求
的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
易错点7 忽略双曲线中的隐含条件
已知M是双曲线 上一点，F ，F 是双曲线的左、右焦点，且 ，则
1 2
_____________．
【错解】由双曲线的定义可知， ，因为 ，所以 或 ．
【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从
而两解中要舍去不满足要求的那个．
【试题解析】由双曲线方程 可得 ， ， ，
由双曲线的图形可得点M到右焦点F 的距离 ．
2
因为 ， ，所以 (舍去)或 ．
【参考答案】331．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意 这一隐含条件．
2．双曲线方程中 的大小关系是不确定的，但必有 .
3．由 ,知 ≥1,所以x≤-a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面
区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.
关于双曲线内线段最长或最短（距离最远或最近）问题，有以下结论：
（1）双曲线的左、右顶点距离相应焦点最近；
（2）双曲线上一点与某焦点的距离的值最小为c-a；
（3）对于已知双曲线内（或外）一定点M，求双曲线上一点P，使得点P与相应焦点的距离与 的和最小的
问题，当涉及的三点共线时取得最值.
7．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于
A．11 B．9
C．5 D．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选B．
易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程．
【错解】由题意知 ，且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲线的标准方程
为 ．
【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在x轴上，从而导致漏解．
【试题解析】当双曲线的焦点在x轴上时，由 且 ，两式联立解得 ， ，所
以所求双曲线的标准方程为 ；
当双曲线的焦点在y轴上时，由 且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲
线的标准方程为 ．
综上，所求双曲线的标准方程为 或 ．
【参考答案】 或 ． 学@#科网
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的 的值，最后写出双曲线
的标准方程.
表示焦点在x轴上的双曲线
对于方程
表示焦点在y轴上的双曲线
表示双曲线
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.
注意：焦点在x轴上，渐近线方程为 ；焦点在y轴上，渐近线方程为 ．
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为
.
已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲
线方程为 ．
因此，与双曲线 (a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为 ；与双曲线
(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为 ．8．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为
A． B．
C．或 D． 或
【答案】C
由条件寻找 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 的关系 将双曲线的离心
率公式变形，即 ，注意区分双曲线中 的关系与椭圆中 的关系，
在椭圆中 ，而在双曲线中 .
易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况
若过点 且斜率为k的直线 与双曲线 只有一个公共点，则 ___________．
【错解】由题意可得 ，代入双曲线方程得 ．
由题意可知 ，解得 ．【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．
【试题解析】由题意可得 ，代入双曲线方程得 ．
当 ，即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当 时， ，解得 ．
综上，当 或 时，直线与双曲线只有一个公共点．
【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方
程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近
线平行的情况．
【参考答案】 或 .
1． 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
（2）有一个公共点，分两种情况：
①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；
②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据
根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则
直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式 ，得到
直线与双曲线的交点个数．
9．已知直线 与双曲线 ．当k为何值时，直线与双曲线：（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．
【答案】见解析．
【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二
次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项
系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判
别式 ，得到直线与双曲线的交点个数．
易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件
已知点P到F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，求点P的轨迹方程．
【错解】由抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
因为焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离 ，所以抛物线的方程为 ．
【错因分析】点P到F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，满足抛物线的定义，但 ，故此抛物线
的方程不是标准方程．
【试题解析】设点P(x，y)，则由题意，得 ，化简整理得 ，此即所求的轨迹方程．
【参考答案】 . 学@#科网
1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为
标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．
2．抛物线定义中要求直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．因
此当动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．
10．已知圆C的方程 ，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
【答案】 或 ．
【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用
抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行
转化．
易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.
【错解】易知准线方程为x＝－，
因为准线与直线x＝1的距离为3，
所以准线方程为x＝－2，
所以－＝－2，解得m＝8，
故抛物线方程为y2＝8x.
【错因分析】题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周
到．
【试题解析】当m>0时，准线方程为x＝－，
由条件知1－(－)＝3，所以m＝8.
此时抛物线方程为y2＝8x；
当m<0时，准线方程为x＝－，
由条件知－－1＝3，所以m＝－16，
此时抛物线方程为y2＝－16x.
所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
【参考答案】y2＝8x或y2＝－16x.
1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：
图 形
标准方程
焦点坐标准线方程
注：抛物线标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0．
2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确
定的前提下，由于标准方程只有一个参数 ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法
求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
11．顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当焦点在 轴上时，设方程为 ，将 代入得 ， ；当焦点在 轴上时，
设方程为 ，将 代入得 ， ．故选C．本题若只考虑焦点在x轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y轴的正半轴上的情况，则会出现
漏解．
易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况
求过定点 ，且与抛物线 只有一个公共点的直线l的方程．
【错解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由 消去x，得 ，
则 ，解得 ．
故所求直线l的方程为 或 ．
【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解．
【试题解析】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设l： ，
当 时，直线l的方程为 ，此时直线l与抛物线只有一个公共点．
当 时，与抛物线方程联立消去x，得 ，
则 ，解得 ，
此时直线l的方程为 或 ．
综上，直线l的方程为 或 或 ．【参考答案】直线l的方程为 或 或 ．
直线 与抛物线 公共点的个数等价于方程组 的解的个数．
（1）若 ，则当 时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线和抛物线相切，有一个公共
点；当 时，直线和抛物线相离，无公共点．
（2）若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点．特别地，当直线l的斜率不存在
时，设 ，则当 时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线l与抛物线相切，有一个
公共点；当 时，直线l与抛物线相离，无公共点．
12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k=0.一、曲线与方程
1．求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合 ；
（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程 ；
（4）化方程 为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上
时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．
2．两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的
方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是
求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
二、椭圆
1．椭圆的定义
平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫
做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 .定义式： .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2．椭圆的标准方程
焦点在 轴上， ；
焦点在 轴上， .
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 之间的大小关系和等量关系：
.
3．椭圆的几何性质
标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0)
图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F (－c，0)，右焦点F (c，0) 下焦点F (0，－c)，上焦点F (0，c)
1 2 1 2
顶点线段AA，BB 分别是椭圆的长轴和短轴；
1 2 1 2
轴
长轴长|AA|＝2a，短轴长|BB|＝2b，长半轴长为a，短半轴长为b
1 2 1 2
离心率e
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a,c，代入公式 .
（2）只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为a,c的齐次式，然后等式（不
等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
三、双曲线
1． 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|且大于零)的点的轨迹叫做双
1 2 1 2
曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言： .
（3）当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；
当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；
当 时，轨迹为分别以F，F 为端点的两条射线；
1 2
当 时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)，焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，焦距
1 2
为2c，且 .
（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)，焦点分别为F(0，－c)，F(0，c)，焦距
1 2
为2c，且 ．
3．双曲线的几何性质
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F(－c，0)，右焦点F(c，0) 下焦点F(0，－c)，上焦点F(0，c)
1 2 1 2
顶点
线段AA 是双曲线的实轴，线段BB 是双曲线的虚轴；
1 2 1 2
轴
实轴长|AA|＝2a，虚轴长|BB|＝2b
1 2 1 2
渐近线
离心率e在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 的应用；其次
是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
4．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 ；
（2）渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 ．
1．求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 的关系 将双曲线的离
心率公式变形，即 .
（2）根据条件列含 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 转化为含 或 的方程，求解可得，注
意根据双曲线离心率的范围 对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 和 ，得到关于 的不等式，求解
即得.注意区分双曲线离心率的范围 ，椭圆离心率的范围 .另外，在建立关于 的不等式
时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
四、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直
线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .
注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛
物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.
3．抛物线的几何性质
标准方程
图 形
范 围
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
几 焦点
何
性
准线方程
质
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点 与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
焦半径公式
5．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，
再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦， ， ，则
抛物线方程
焦点弦公式
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为2p．
1．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半
径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
或 ，使问题简化．
2．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依
据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是
最小值.五、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线 ，已知它们的方程为 ，求
曲线 的交点坐标，即求方程组 的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.
（2）直线与双曲线有两个交点 相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线
与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点 相离.
（3）直线与抛物线有两个交点 相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线
与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点 相离.
3．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于 两个不同的点，则弦
长 .
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
4．中点弦问题
（1）AB为椭圆 的弦， ，弦中点M(x，y)，则AB所在直线的斜
0 0率为 ，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值 .
（2）AB为双曲线 的弦， ，弦中点M(x，y)，则AB所在直线
0 0
的斜率为 ，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值 .
（3）在抛物线 中，以M(x，y) 为中点的弦所在直线的斜率 .
0 0
1．（2018新课标全国Ⅰ文）已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为
A． B．
C． D．
2．（2018浙江）双曲线 的焦点坐标是
A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2)
3．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．4．（2018新课标全国Ⅱ文）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且
，则 的离心率为
A． B．
C． D．
5．“ ”是“曲线 = 为双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点 的抛物线方程是
A． B．
C． 或 D． 或
7．已知点 及抛物线 上一动点 ,则 的最小值为
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交
点为 ,则此双曲线方程为
A． B．
C． D．
9．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为
的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为A． B．
C． D．
10．（2018新课标全国Ⅲ文）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐
近线的距离为
A． B．
C． D．
11．设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，则
A．5 B．6
C．7 D．8
12．若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则
的离心率为
A．2 B．
C． D．
13．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分
别为 ， ．若 为直角三角形，则A． B．3
C． D．4
14．（2018天津文）已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线与双
曲线交于 ， 两点．设 ， 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线
的方程为
A． B．
C． D．
15．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A ，A ，且以线段AA 为直径的圆与直线
1 2 1 2
相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
16．已知F为抛物线C： 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l，l，直线l 与C交于A、B两点，直线l
1 2 1 2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
17．椭圆 = 和双曲线 = 的公共焦点为 是两曲线的一个交点,那么 的值是
________________．18．（2018北京文）若双曲线 的离心率为 ，则 ________________．
19．（2018江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐
近线的距离为 ，则其离心率的值是________________．
20．已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的
四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为________________；双
曲线 的离心率为________________．
21．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中
点，则 ________________．
22．已知A,B是直线y=-2上的两动点,∠AOB= (O为坐标原点),则 外心M的轨迹方程为
________________．
23．已知抛物线C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线l与抛物线C有公共点,且点A
到直线l的距离等于 ,则直线l的方程是________________．
24．（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当m=___________时，
点B横坐标的绝对值最大．
25．若一个动点P(x,y)到两个定点F(-1,0)，F(1,0)的距离之差的绝对值为定值m(0≤m≤2)，求动点P的轨迹方
1 2
程.26．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.
27．已知命题 “方程 表示焦点在 轴上的椭圆”,命题 “方程 表示双曲线”.
（1）若 是真命题,求实数 的取值范围;
（2）若“ 或 ”是真命题,求实数 的取值范围.28．焦点在 轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为 ,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.
29．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．30．（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，
PB的中点均在C上．
（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
y A
P M x
O
B31．（2018新课标全国Ⅲ文）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．线段 的中点
为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ．
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