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专题 9-2 圆锥曲线（解答题）
目录
专题9-2圆锥曲线（解答题）................................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：中点弦问题................................................................................................................................1
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题........................................................................................7
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题..........................................................17
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题......................................................................................25
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题......................................................................................35
题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题..................................................................................44
................................................................53
题型一：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知椭圆 经过点
．
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，且弦 的中点为 ，求直线 的斜率．
例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）动点 与定点的距离和它到定直线 的距离的比是 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线与曲线 相交于两点 ， ，请问点 能否为线段 的中点，
并说明理由.
【提分秘籍】
中点弦问题常用方法：
①点差法（回代检验）
②联立，借助韦达定理.
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知：椭圆 ，求：
（1）以 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
2．（2022春·广西·高二校联考阶段练习）已知直线 ，圆 ：
，双曲线 ： ．
(1)直线 与圆 有公共点，求 的取值范围；
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且点 为 的中点，若存在，求出 方程，若不存
在，请说明理由．
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点
为 ，直线 与C交于A，B两点．(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；
(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中， 已知椭圆
，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
例题2．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线 ： ，直线 交抛物
线 于 两点， ， ，且 .
(1)求坐标原点 到直线 的距离的取值范围；(2)设直线 与 轴交于 点，过点 作与直线 垂直的直线 交椭圆 ： 于
， 两点，求四边形 的面积的最小值.
【提分秘籍】
①面积公式： （其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点
到
直线的距离公式求解）
②面积也可以通过分割求解.
③涉及到面积最值时，通常可以考虑基本不等式，转化为一元二次函数，求导等方法，求
最值。
【变式演练】
1．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知椭圆 经过点
，左焦点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 与椭圆 交于 两点，点 满足 （ 为原点），求
四边形 面积的最大值.
2．（2022春·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知双曲线
为坐标原点,离心率 ,点 在双曲线 上(1)求双曲线 的方程;
(2)如图,若斜率为 的直线 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 两点,求 的值,
并求出 外接圆的方程
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知双曲线C的离心率为
，且过 点，过双曲线C的右焦点 ，做倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，
O为坐标原点， 为左焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求 的面积.
4．（2022春·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知点 是抛物线C：
上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互
补．(1)证明：直线AB的斜率为定值；
(2)当△PAB为直角三角形时，求△PAB的面积．
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二假期作业）若椭圆 和椭圆 满足
，则称这两个椭圆相似， 称为其相似比．
(1)求经过点 ，且与椭圆 相似的椭圆方程．
(2)设过原点的一条射线 分别与（1）中的两个椭圆交于 、 两点（其中点 在线段
上），求 的最大值和最小值．
例题2．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知抛物线 上一点
，抛物线 的焦点 在以 为直径的圆上（ 为坐标原点）.
(1)求抛物线 的方程；(2)过点 引圆 的两条切线 、 ，切线 、 与抛物
线 的另一交点分别为 、 ，线段 中点的横坐标记为 ，求实数 的取值范围.
【提分秘籍】
解析几何中求参数的范围常用工具：
①基本不等式；②转化为一元二次函数型；③求导
【变式演练】
1．（2022春·江西·高二统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 ，点 是椭圆 上任意一点，且 的最大值为3， 的最小值为1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 轴交于点
，当 取得最大值时，求直线 的方程.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为
和 .(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两
点，求 周长的取值范围.
3．（2022秋·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知抛物线 ：
的焦点为 ，点 在抛物线 上．
(1)若 ，求抛物线 的标准方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，且满足 ，原
点 到直线 的距离不小于 ，求 的取值范围．
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题
【典例分析】例题1．（2022·天津南开·统考三模）已知焦点在 轴上，中心在原点，离心率为 的
椭圆经过点 ，动点 ， （不与点 重合）均在椭圆上，且直线 与 的斜率
之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
例题2．（2022春·山东菏泽·高二校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛
物线 经过点 ，直线 与抛物线 交于 、 两点.
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，直线 是否过定点？若是过定点，求出该定点；若不过定点，说明理
由.
【提分秘籍】
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线
系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的
解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
来证明.
【变式演练】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶
点分别为 ， ，上下顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直
线l恒过定点．
2．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知过点 ， 的双曲线
的右顶点为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过点 的直线 交双曲线 于 两点，过 作 轴的垂线与线段 交于点
，点 满足 ，证明：直线 过定点 .
3．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）已知 为坐标原点，点 在双曲线
上，直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 过 的右焦点，且斜率为 ，求 的面积；(2)若直线 ， 与 轴分别相交于 ， 两点，且 ，证明：直线 过定点.
4．（2022秋·云南昆明·高二校联考期中）已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位
于原点，另外两个顶点在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于
， 两点，若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题
【典例分析】
例题1．（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左右焦点分别为 ，连接椭圆 的四个顶点所成的
四边形的周长为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)已知过点 的直线 与椭圆交于 两点，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆交于
两点，求 的值.例题2．（2022春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）双曲线
的左、右顶点分别为 ， ，过点 且垂直于 轴的直线 与该双
曲线 交于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动点 ， 在曲线 上，已知点 ，直线 ， 分别与 轴相交的两点关于
原点对称，点 在直线 上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值．
例题3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直
线 过点 ，与抛物线交于 ， 两点， 的最小值为4．
(1)求抛物线的方程：
(2)若点 的坐标为 ，设直线 和 的斜率分别为 、 ，问 是否为定
值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．
【提分秘籍】
求定值问题常见的解题方法有两种：
①先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
②引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定
值。
【变式演练】
1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的长轴比短轴长2，焦距为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 ，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长 到D，延长 到
E，且满足 轴．证明：D，E两点到直线 的距离之积为定值．
2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点
到 的距离比到 的距离大2，点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线
与 斜率的比值.
3．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）若抛物线 ： 上的一点
到它的焦点的距离为 .
(1)求C的标准方程；
(2)若过点 的直线 与抛物线C相交于A，B两点.求证： 为定值.题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知 为椭圆 的左焦点，直线
与 交于 ， 两点，且 的周长为 ，面积为2.
(1)求 的标准方程；
(2)若 关于原点的对称点为 ，不经过点 且斜率为 的直线 与 交于点 ， ，
直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率
的直线 与 交于 ， 两点， .
（1）求 ；
（2）若 在 上，过点 作 的弦 ， ，若 ，证明：直线 过定
点，并求出定点的坐标.【提分秘籍】
求定线问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．
②“设而不求”．
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆
的离心率为 ，且过点 ．如图所示，斜率为 且过点
的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，
若 在射线 上，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：点 在定直线上．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的一条渐近线的方程为
，它的右顶点与抛物线 的焦点重合，经过点 且不垂直于
轴的直线与双曲线 交于 、 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 是线段 的中点，求点 的坐标；
(3)设 、 是直线 上关于 轴对称的两点，求证：直线 与 的交点必在直线上．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，圆 ，
直线 与抛物线 和圆 同时相切.
（1）求 和 的值；
（2）若点 的坐标为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两
点（点 在点 的右边），过点 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点，直线 与
不重合，直线 与直线 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
1．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知定点 ，圆
， 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线和半径 相交于点
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 的直线 与轨迹 交于 两点，若点 满足 ，求四边形 面积
的最大值．2．（2022春·山东滨州·高二校考期中）已知抛物线 的焦点为 ，点
在抛物线C上，且 .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 两点，求 的面积.
3．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为
.
(1)求 ；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与抛物线 交于 两点，求线段 的长.
4．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆
经过点 ， ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，直线 与 交于 两点，且直线 的斜率
之和为 ，证明：点 在一条定抛物线上．5．（2022春·陕西西安·高二统考期中）已知抛物线 的焦点 ，
为坐标原点， 、 是抛物线 上异于 的两点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 、 的斜率之积为 ，求证：直线 过 轴上一定点．
6．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆 ：
，A为椭圆与y轴交点， ， 为椭圆左、右焦点， 为等腰直
角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆C交于 ，N两点，点 ，记直线PM的斜率为 ，直线PN的斜
率为 ，当 时，求证直线 恒过一定点？
7．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）设椭圆中心在原点
上，焦点在 轴上，离心率为 ，椭圆上一点 到两焦点的距离的和等于 ：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 交椭圆于 ， 两点，且 ，求 的值；
(3)在（2）的结论下，求 的长.8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知点 在抛物线 上，且 到
的焦点 的距离与到 轴的距离之差为 .
(1)求 的方程；
(2)当 时， 是 上不同于点 的两个动点，且直线 的斜率之积为
为垂足.证明：存在定点 ，使得 为定值.
9．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点是 ,且以 为直径的圆的面积为 ,点P是椭圆
C上任一点,且 的面积的最大值为 ．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求 面积的取值范
围．
10．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线 ： 上
一点 到焦点 的距离为 ，
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 在第一象限，不过 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且直线 ， 的斜
率之积为 ，证明：直线 过定点．
11．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆.设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，
射线 交椭圆 于点 .
(1)求证: ;
(2)求 面积的最大值.
12．（2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知 分别是双曲线
的左、右焦点，点A是C的左顶点， ，C的离心率为
2.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以 为直径的圆
经过点A，求证：直线l恒过定点.
13．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 且斜率存在的直线 交抛物线 于不同的两点 ，设 为坐标原点，直线
的斜率分别为 ，求证： 为定值．14．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆
的半焦距 ，离心率 ，且过点 ，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 的直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，若 ，求
的取值范围.
