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第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感 从近五年的全国卷的考查情况
受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实 来看，本节是高考的热点，特
际问题中的作用． 2023年I卷第22题，12分 别是解答题中，更是经常出
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆 2023年II卷第21题，12分 现．直线与圆锥曲线综合问题
的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 2023年甲卷（理）第20题，12 是高考的热点，涉及直线与圆
及简单几何性质． 分 锥曲线关系中的求弦长、面积
（3）了解抛物线与双曲线的定义、 2022年I卷第21题，12分 及弦中点、定点、定值、参数
几何图形和标准方程，以及它们的简 2022年II卷第21题，12分 取值范围和最值等问题．多属
单几何性质． 于解答中的综合问题．近两年
（4）通过圆锥曲线与方程的学习， 难度上有上升的趋势，但更趋
于灵活．
进一步体会数形结合的思想．知识点一、直线和曲线联立
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为 ，如此消去 ，
保留 ，构造的方程如下： ，
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 ，
满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在 轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特殊地，当直线 过焦点的时候，即 ， ，因为 为
通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，联立可得 ， 时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向
上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共
线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定
理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
，为了方便叙述，将上式简记为 ．该式可以看成一
个关于 的一元二次方程，判别式为 可简单记 ．
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
同理 和 联立 ，为了方便叙述，将
上式简记为 ， ，可简记 ．
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：（1）由韦达定理写出 ， ，注意隐含条件 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；
焦点在y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用 判断根的关系，因为此情况
下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两
条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若
（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜
角．注意：（1）上述表达式中，当为 ， 时，
；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 ，判别式为 ，
时， ，利用求根公式推导也很方便，使用
此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦 的中点，研究 的斜率和方程
（1） 是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为 ，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故
（2）运用类似的方法可以推出；若 是双曲线 的弦，中点 ，则
；若曲线是抛物线 ，则 ．
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 的两焦点为 ， ，点 满足
，则直线 与椭圆C的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关例2．（2023·全国·高三对口高考）若直线 被圆 所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有
公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线 只有一个公共点
的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
变式1．（1999·全国·高考真题）给出下列曲线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中与直线 有交点的所有曲线方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
变式2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，命题
q：直线 与抛物线 相切，则命题p是命题q的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
变式3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直
线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解题方法总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元
后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过
判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴
平行，或直线与圆锥曲线相切．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例4．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆 内一点 引一条恰好被 点平分的弦，则这
条弦所在直线的方程是
例5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与圆O相切于第一
象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若 ，则直线l的方程为
．例6．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点坐标为
，则直线 的斜率为 .
变式4．（2023·全国·高二专题练习）双曲线 的一条弦的中点为 ，则此弦所在的直线
方程为 .
变式5．（2023·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，且 的中点为
，则 的斜率为 .
变式6．（2023·高二课时练习）已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于
两点，若线段 的中点为 ，则直线 的方程为 ．
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
变式7．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线 的斜率为1，则
弦AB中点的轨迹方程是 ．
变式8．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆 内有一点 ，弦
过点 ，则弦 中点 的轨迹方程是 .变式9．（2023·全国·高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中点的轨迹方程是
．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线 的相交
弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点A、B，O
是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
方向3：对称问题
变式12．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆 的焦距为 ，左右焦点分别为 、
，圆 与圆 相交，且交点在椭圆E上，直线 与椭圆E交于
A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明
理由．变式13．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆 的离心率为e，且过点 和
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，
直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
变式15．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是 ，
其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
变式16．（2023·江苏·高二假期作业）双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说
明理由．变式17．（2023·高二课时练习）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且线段AB恰好被点 平
分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请
说明理由.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C
交于A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
方向4：斜率之积问题
变式19．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，
线段 的中点为 ，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式20．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线 过椭圆C； 的一个焦点，
与C交于A，B两点，与 平行的直线 与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ
的斜率为 ，则C的方程为（ ）A． B．
C． D．
变式21．（2023·江西赣州·高二统考期末）椭圆 ，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为
椭圆上任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式22．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，
设线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 （ 为原点）的斜率为 ，则 等于
（ ）.
A． B．2 C． D．
变式23．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线 内一点 且斜率为
的直线交双曲线于 两点，弦 恰好被 平分，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．变式24．（2023·福建泉州·高二校考期中）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0
的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
变式25．（2023·江西·校联考模拟预测）已知双曲线C： 的左，右焦点分别是 ，
，其中 ，过右焦点 的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若 ，则三角形 的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率
【解题方法总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类
问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称
问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．
除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．
在双曲线 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．（其中 为原点与弦中点连线
的斜率）．
在抛物线 中，中点弦的斜率为 ，满足 （ 为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题例7．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相切，且交椭圆
于 两点，若 ，则 ．
例8．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 ．
例9．（2023·广西南宁·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
直线 与椭圆 相交于 两点，则 ．
变式26．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知直线 与椭圆 在第二象限交于 两点，且 与
轴、 轴分别交于 两点，若 ， ，则 的方程为 ．
变式27．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳
底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆 ，C的上顶点为
A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则
的最小值是 ．变式28．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）如图， ， 分别为椭圆 的左、右
焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象限），延长 交椭圆于点B，若 ，
则直线AC的方程为 .
变式29．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲
线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
变式30．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
， 分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若 ，则
.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲
线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．变式32．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛
物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛
物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
变式33．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴的交点为 ，过焦点
的直线 分别与抛物线交于 两点（ 点在第一象限）， ，直线 的倾斜角为锐角
，且满足 ，则 .
变式34．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交
于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
【解题方法总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式： ．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例10．（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，且焦距为
.点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为： ，过点 作
垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
例11．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点 到焦点F
的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
例12．（2023·河南·高三校联考开学考试）椭圆 的左右顶点分别为 是栯
圆上一点， ．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线 交椭圆于 两点，求 面积取最大时的 的值．
变式35．（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的
斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.变式36．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C： 上，
点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于
点E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
变式37．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线 交 于 ，
两点，直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．
变式38．（2023·广东佛山·高三统考开学考试）设动点M与定点 的距离和M到定直线l：
的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
方向2：四边形问题
变式39．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均存在时，
，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
变式40．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知 是椭圆 的左右焦点，以
为直径的圆和椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为1，其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点 在第二象限，直线
分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
变式41．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图．已知圆 ，圆
．动圆 与这两个圆均内切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)若 、 是曲线 上的两点， 是曲线C上位于直线 两侧的动点．若直线 的斜率为
，求四边形 面积的最大值．变式42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线
的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，点 恰好在
上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.
变式43．（2023·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个定点 ，使得
（定值），其中 分别是直线 的斜率， 分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
变式44．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知椭圆 ，椭圆
．点 为椭圆 上的动点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)以点 为切点作椭圆 的切线 ， 与椭圆 交于 ， 两点，问：四边形 的面积是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．变式45．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、
右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且 的周长最大值为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），D为射线 上
一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边形 的面积．
变式46．（2023·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为过
点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨迹
为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形 面
积的取值范围．
变式47．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为
，点 在椭圆 上，且满足
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为点，求四边形 面积的最大值.
【解题方法总结】
三角形的面积处理方法： 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤
其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积
=对角线长度乘积的一半．
1．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
2．（2023•上海）已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②
存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
3．（2022•上海）已知 ， ， ， 两点均在双曲线 的右支上，若
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
