文档内容
§8.13 圆锥曲线压轴小题突破
题型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
例 1 (1)(2022·济南联考)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F(－c,0)，
1
F(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|PF1＋PF2|＝|PF1－PF2|，若以点P为圆心，r为半径的
2
圆与圆F ：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F ：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中00，
令x＝3，得y ＝5k，y ＝－，
M N
即M(3,5k)，N，
则|MN|＝5k＋.
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r，r，
1 2
由正弦定理得2r＝，
1
2r＝，
2
∵∠MPN＋∠APB＝180°，
∴sin∠MPN＝sin∠APB，
∴＝＝＝＝
≥＝，
当且仅当5k＝，即k＝时，等号成立，
即的最小值为.
思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交
汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．
跟踪训练1 (1)(2022·深圳模拟)F ，F 分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F 的直
1 2 1
线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥FB，则F2A·F2B等于( )
2
A．4－2 B．4＋
C．6－2 D．6＋2
答案 C
解析 在双曲线C中，a＝1，b＝，c＝，
则F(－，0)，F(，0)，
1 2
因为直线l过点F，由图知，直线l的斜率存在且不为零，
1
因为l⊥FB，则△FBF 为直角三角形，
2 1 2
可得|BF|2＋|BF|2＝|FF|2＝12，
1 2 1 2
由双曲线的定义可得|BF|－|BF|＝2，
1 2
所以4＝(|BF|－|BF|)2＝|BF|2＋|BF|2－2|BF|·|BF|＝12－2|BF|·|BF|，
1 2 1 2 1 2 1 2
可得|BF|·|BF|＝4，
1 2
联立解得|BF|＝－1，
2
因此F2A·F2B＝(F2B＋BA)·F2B
＝F2B2＋BA·F2B
＝(－1)2＝6－2.
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(00，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，点P
1 2
是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x＝a上，且满足PH＝λ，λ∈R.若5HP＋4HF2
＋3HF1＝0，则双曲线C的离心率为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 由PH＝λ，λ∈R，
则点H在∠FPF 的角平分线上，
1 2
由点H在直线x＝a上，则点H是△PFF 的内心，
1 2
由5HP＋4HF2＋3HF1＝0，
由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0)知，
△PBC △PAC △PAB
＝5∶4∶3，
即|FF|·r∶|PF|·r∶|PF|·r
1 2 1 2
＝5∶4∶3，
则|FF|∶|PF|∶|PF|＝5∶4∶3，
1 2 1 2
设|FF|＝5λ，|PF|＝4λ，|PF|＝3λ，
1 2 1 2
则|FF|＝2c＝5λ，
1 2
即c＝，|PF|－|PF|＝2a＝λ，
1 2
即a＝，则e＝＝5.
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切
线l，l，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G，则p＝________.
1 2
答案
解析 设M，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
设过点M的直线方程为x＝t＋x，①
0
与y2＝4x联立得y2＝4t＋4x，
0
即y2－4ty＋－4x＝0，②
0
由题意知Δ＝16t2－4＝0，
即2pt2－xt＋2px＝0，
0
则t＋t＝，t·t＝x(t，t 分别表示l，l 斜率的倒数)，
1 2 1 2 0 1 2 1 2
由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，
当t＝t 时，y＝2t，当t＝t 时，y＝2t，
1 1 1 2 2 2
∵△MPQ的重心为G，∴＋y＋y＝＋2(t＋t)
1 2 1 2
＝＋2×＝＝，③
而x＋x＝t＋x＋t＋x
1 2 1 0 2 0
＝2(t＋t)－(t＋t)＋2x
1 2 0
＝2[(t＋t)2－2tt]－(t＋t)＋2x
1 2 12 1 2 0
＝2－＋2x
0
＝－2x.
0
∴x＋x＋x＝－x＝3，④
0 1 2 0
联立③④得p＝.
思维升华 圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入
圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥
曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．
跟踪训练2 (1)已知F(－1,0)，F(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF |＋|MF |＝4，若I
1 2 1 2
是△MF F 的内心，G是△MF F 的重心，记△IF F 与△GFM的面积分别为S ，S ，则(
1 2 1 2 1 2 1 1 2
)
A．S>S B．S＝S
1 2 1 2
C．S|FF|＝2，
1 2 1 2
所以M的轨迹是椭圆＋＝1在第一象限内的部分，如图所示．
因为I是△MF F 的内心，设内切圆的半径为r，
1 2
所以
＝，
所以r＝，
所以S＝＝，
1
又因为G是△MF F 的重心，
1 2
所以OG∶GM＝1∶2，
所以
＝·＝，所以S＝S.
1 2
(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C ：x2＝2py(p
1 2
＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为________．
2 1
答案
解析 设OA 所在的直线方程为y＝x ，
则OB 所在的直线方程为y＝－x，
解方程组得
所以点A 的坐标为 ，
抛物线的焦点F的坐标为.
因为F是△OAB的垂心，所以k ·k ＝－1 ，
OB AF
所以－·＝－1⇒＝.
所以e2＝＝1＋＝，解得e＝.
题型三 圆锥曲线在生活中的应用
例3 (1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双
曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一
点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F，F 分别是双曲线C：
1 2
x2－＝1的左、右焦点，若从点F 发出的光线经双曲线右支上的点A(x,2)反射后，反射光线
2 0
为射线AM，则∠FAM的角平分线所在的直线的斜率为( )
2
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 由已知可得A(x,2)在第一象限，
0
将点A的坐标代入双曲线方程可得x－＝1，
解得x＝，所以A(，2)，
0
又由双曲线的方程可得a＝1，b＝，
所以c＝，则F(，0)，
2
所以|AF|＝2，且点A，F 都在直线x＝上，
2 2
又|OF|＝|OF|＝，
1 2
所以tan∠FAF＝＝＝，
1 2
所以∠FAF＝60°，
1 2
设∠FAM的角平分线为AN，
2
则∠FAN＝(180°－60°)×＝60°，
2
所以∠FAM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，
2
所以直线的斜率为tan 150°＝－.
(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬
奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线
AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为( )
图1 图2
A. B. C. D.
答案 B
解析 若内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为
＋＝1(m>1)，
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，
设切线AC为y＝k(x＋ma)，
1
切线BD为y＝kx＋mb，
2
∴
整理得(a2k＋b2)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，
由Δ＝0知
(2ma3k)2－4(a2k＋b2)(m2a4k－a2b2)＝0，
整理得k＝·，
同理
可得k＝·(m2－1)，
∴(kk)2＝＝2，即＝，
1 2
故e＝＝＝.
思维升华 圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．
研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．
跟踪训练3 (1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆
反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的
方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F ，F ，直线l与椭圆C切于点P，且|PF|＝1，过
1 2 1
点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|FM|∶|FM|等于( )
1 2
A.∶ B．1∶
C．1∶3 D．1∶
答案 C解析 由椭圆的光学性质得直线l′平分∠FPF，
1 2
因为 ＝
＝＝，
由|PF|＝1，|PF|＋|PF|＝4得|PF|＝3，
1 1 2 2
故|FM|∶|FM|＝1∶3.
1 2
(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内
放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半
径为( )
A．1 B．2 C．3 D．2.5
答案 A
解析 清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，
圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，
代入双曲线方程y2－x2＝1，
得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，
要使清洁钢球到达底部，即r≤1.
课时精练
1．(2022·遵义模拟)双曲线－＝1上一点P到右焦点F 的距离为6，F 为左焦点，则∠FPF
2 1 1 2
的角平分线与x轴交点坐标为( )
A．(－1,0) B．(0,0)
C．(1,0) D．(2,0)
答案 D解析 设交点为D(x,0)，用面积法 ＝，化简可得角平分线定理＝，由双曲线定义知|
PF|＝2a＋|PF|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的 2倍，因为左焦点
1 2
(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2.
2．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长
半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k，k＝，其中M为中心天体
质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，
地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长
约为60亿千米，取≈3.1，则冥王星的公转周期约为( )
A．157年 B．220年
C．248年 D．256年
答案 C
解析 设地球椭圆轨道的长半轴为a ，公转周期为T.冥王星椭圆轨道的长半轴为a ，公转
1 1 2
周期为T.
2
则两式相除并化简得
T＝×T＝3×1＝6 400×10，
所以T＝80≈80×3.1＝248(年)．
2
3．(2022·东三省四市联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，
|OA＋OB|＝·|OA－OB|，则实数a的值为( )
A．±2 B．±
C．± D．±
答案 D
解析 由|OA＋OB|＝|OA－OB|得，
(OA＋OB)2＝3(OA－OB)2，
又O为圆x2＋y2＝4的圆心，
则|OA|＝|OB|＝2，
所以OA·OB＝2，
所以|OA||OB|cos∠AOB＝2，
即cos∠AOB＝，
所以∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，
则O到直线x＋y＝a的距离为d＝，
即d＝＝，解得a＝±.
4．(2022·郑州模拟)已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k ，k(kk≠0)．若椭圆的离心率为，则|k|＋|k|
1 2 1 2 1 2
的最小值为( )
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 设点P(x，y)，则由椭圆的对称性知Q(x，－y)，
0 0 0 0
不妨令y>0，A(－a,0)，B(a,0)，
0
则k＝，k＝，
1 2
显然有－a0)的左、右焦点，
1 2
点M在双曲线C的左支上，MF 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF 的中点，
2 2
点I为△OMF 的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为( )
2
A. B．3 C. D．5
答案 C
解析 不妨设点M在第二象限，
设M(m，n)，F(c,0)，
2
由D为MF 的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF ，则OD：y＝x，
2 2
故有＝－a，且·n＝·，
解得m＝，n＝，
将M，即M，
代入双曲线的方程可得－＝1，化简可得c2＝5a2，即e＝，点M在第三象限时，同理可得e
＝.
6．(2022·济南联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，以OF 为直径
1 2 1
的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF 交双曲线于点P，且
1
MF ∥OP，则该双曲线的离心率为( )
2
A. B. C. D.
答案 A解析 不妨设渐近线的方程为y＝－x，
因为MF ∥OP，O为FF 的中点，
2 1 2
所以P为MF 的中点，
1
将直线OM，MF 的方程联立
1
可得M，
又F(－c,0)，所以P
1
即P，又P点在双曲线上，
所以－＝1，解得＝，
所以该双曲线的离心率为.
7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P(x ，y)，P(x ，y)，P(x ，y)为抛物线C上的三
1 1 1 2 2 2 3 3 3
个动点，其中xb>0)与双曲线 C ：－＝
1 2 1 2
1(a>0，b>0)的左、右焦点，设椭圆C 与双曲线C 在第一象限内交于点M，椭圆C 与双曲
1 1 1 2 1
线C 的离心率分别为e，e，O为坐标原点，若( )
2 1 2
A．|FF|＝2|MO|，则＋＝
1 2B．|FF|＝2|MO|，则＋＝2
1 2
C．|FF|＝4|MF |，则ee 的取值范围是
1 2 2 1 2
D．|FF|＝4|MF |，则ee 的取值范围是
1 2 2 1 2
答案 BD
解析 如图，设|MF |＝m，|MF |＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，
1 2
由双曲线定义可得m－n＝2a，
1
解得m＝a＋a，n＝a－a，
1 1
当|FF|＝2|MO|时，则∠FMF ＝90°，
1 2 1 2
所以m2＋n2＝4c2，即a2＋a＝2c2，
由离心率的公式可得＋＝2，故B正确；
当|FF|＝4|MF |时，
1 2 2
可得n＝c，即a－a＝c，可得－＝，
1
由01，可得>，
1
即10，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A
的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，AQ·AB＝AQ·FB，且
BQ＝4FQ，则双曲线的离心率e为________．
答案
解析 在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，A(a,0)，
渐近线为y＝±x，设右焦点为F(c,0)，
由AQ·AB＝AQ·FB⇔AQ·(AB＋BF)＝0，
即AQ·AF＝0，即AQ⊥AF，直线l：x＝a，
由双曲线对称性知，
不妨令Q(a，b)，设B(x，y)，
0 0
则BQ＝(a－x，b－y)，FQ＝(a－c，b)，
0 0因为BQ＝4FQ，
则(a－x，b－y)＝4(a－c，b)，
0 0
解得x＝4c－3a，y＝－3b，
0 0
即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上，
则有－＝1，即(4e－3)2＝10，
解得e＝，
因为e>1，则e＝.
10．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且
四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC
所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．
答案 (x－14)2＝－y
解析 设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)，
代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40，
所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y.
四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，
设第一个抛物线C ：(x－14)2＝－2p′y，
1
由图知抛物线C 经过点A(20，－5)，
1
则(20－14)2＝－2p′×(－5)，
解得p′＝，
所以C ：(x－14)2＝－y.
1
点A即桥拱所在抛物线x2＝－80y与
C ：(x－14)2＝－y的交点坐标，
1
设A(x，y)，7
