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第1讲 坐标系
1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解 (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐
标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.
解 (1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，
∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ (ρ∈R)，
0
根据题意＝3·，
解得θ ＝或θ ＝，
0 0
直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).
3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程.
解 以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角
坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因
为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，
所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.
所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ＝2QP，求动点P的轨迹方程.
解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点.
在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得
|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，
化简得ρ＝6cos.
(2)设点Q(ρ ，θ )，P(ρ，θ)，
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由OQ＝2QP，得OQ＝OP，
∴ρ ＝ρ，θ ＝θ，
1 1
代入圆C的方程，得
ρ＝6cos，即ρ＝9cos.
5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C ：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜
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π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ，C ：ρ＝
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2cos θ.
(1)求C 与C 交点的直角坐标；
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(2)若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求|AB|的最大值.
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解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C 的直角坐标方程为x2
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＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C 与C 交点的直角坐标为(0，0)和.
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(2)曲线C 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
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其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6.(2017·唐山质检)已知曲线C ：x＋y＝和C ：(φ为参数).以原点O为极点，x轴
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的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C 和C 的方程化为极坐标方程；
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(2)设C 与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C ，C 交
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于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.
解 (1)曲线C 化为ρcos θ＋ρsin θ＝.
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∴ρsin＝.
曲线C 化为＋＝1(*)
2将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式
得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.
∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＝.
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(2)∵M(，0)，N(0，1)，∴P，
∴OP的极坐标方程为θ＝，
把θ＝代入ρsin＝，得ρ ＝1，P.
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把θ＝代入ρ2＝，得ρ ＝2，Q.
2
∴|PQ|＝|ρ －ρ |＝1，即P，Q两点间的距离为1.
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