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第1讲 绝对值不等式
1.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值.
解 (1)法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.
原不等式可化为：
或或
即或或
∴x＜－7或x＞.
∴原不等式的解集为.
法二 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f(x)的图象，如图所示.
求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.
由图象知f(x)＞2的解集为.
(2)由(1)的法二图象知：当x＝－时，
知：f(x) ＝－.
min
2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤
|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋
|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋
|cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.
解 (1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成
立，故|2＋x|＋|2－x|≤.
由(1)可知，的最小值为4.
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.
解不等式得－2≤x≤2.
故实数x的取值范围为[－2，2].
4.(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log (|x＋1|＋|x－2|－a).
2
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.
解 (1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，
①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.
②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.
③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
(2)不等式f(x)≥3，
即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，
∵当x∈R时，
恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，
∴a＋8≤3，即a≤－5，
∴a的最大值为－5.
5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4
的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
(1)解 f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，
得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，
由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}.
(2)证明 由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤.因此N＝，
故M∩N＝.当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤.
6.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x ∈R，都有x ∈R，使得f(x )＝g(x )成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 2
解 (1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
(2)因为对任意的x ∈R，都有x ∈R，使得f(x )＝g(x )成立，所以{y|y＝f(x)} {y|y
1 2 1 2
＝g(x)}，
⊆
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a
＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.
