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第 67 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆
锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2、弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝ |x－x|＝ ·
1 2
或|AB|＝ ·|y－y|
1 2
＝ ·.
3、中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以P(x ，y)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝(x≠x)，(x ，y)，(x ，y)为弦
0 0 0 1 2 1 1 2 2
的端点坐标．
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a＞b＞0) k＝－
双曲线：－＝1(a＞0，b＞0) k＝
抛物线：y2＝2px(p＞0) k＝
1、（2023•甲卷（文））已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．
故选： ．
2、（2022•乙卷（文））设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】 为抛物线 的焦点 ，点 在 上，点 ， ，
由抛物线的定义可知 ， 不妨在第一象限），所以 ．
故选： ．
3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
【答案】 ．【解析】设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，
由 ， ，
相减可得： ，
则 ，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，
，解得 ，
， ，化为： ．
， ，解得 ．
的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
4、（2022•甲卷（文））记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与
无公共点”的 的一个值 ．
【答案】 ， 内的任意一个值都满足题意）．
【解析】双曲线 的离心率为 ， ，
双曲线的渐近线方程为 ，
直线 与 无公共点，可得 ，即 ，即 ，可得 ，
满足条件“直线 与 无公共点”的 的一个值可以为：2．
故答案为： ， 内的任意一个值都满足题意）．
5、（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与 交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
【答案】
【解析】直线 过抛物线 的焦点，可得 ，所以 ，
所以 正确；
抛物线方程为： ，与 交于 ， 两点，
直线方程代入抛物线方程可得： ，
，
所以 ，所以 不正确；
， 的中点的横坐标： ，中点到抛物线的准线的距离为： ，
所以以 为直径的圆与 相切，所以 正确；
，
不妨可得 ， ， ， ，
， ， ，
所以 不是等腰三角形，所以 不正确．故选： ．
Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
6、（多选题）（2022•新高考
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
【答案】
【解析】 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故直线 与抛物线 相切，选项 正确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线在第一象限交于 ，
， ， ，
联 立 ， 消 去 并 整 理 可 得 ， 则 ， ，
，
，由于等号在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
，选项 正确．
故选： ．
7、（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于
， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】
【解析】如图，
， ， ，且 ， ， ，
由抛物线焦点弦的性质可得 ，则 ，则 ， ，
，故 正确；
， ， ，故 错误；
，故 正确；
， ， ， ， ，， ，
， 均为锐角，可得 ，故 正确．
故选： ．
8、（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，
因此 的方程为 ，
（2）解法一：设直线 的方程为 ， ，将直线 的方程代入 可得
，
△ ，
， ，
，
，设点 的坐标为 ， ，则 ，
两式相减可得 ，
，
，
解得 ，
两式相加可得 ，
，
，
解得 ，
，其中 为直线 的斜率；
若选择①②：
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
， ，
此时点 的坐标满足 ，解得 ， ，为 的中点，即 ；
若选择①③：
当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时不在直线 上，矛盾，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标
为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
此时 ，
，
由于点 同时在直线 上，故 ，解得 ，
因此 ．
若选择②③，
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
设 的中点 ， ，则 ， ，
由于 ，故 在 的垂直平分线上，即点 在直线 上，将该直线 联立，解得 ， ，
即点 恰为 中点，故点 在直线 上．
（2）解法二：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为0．
若选①③ ②，则 为线段 的中点，假设 的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，
此时由对称性可知 、 关于 轴对称，从而 ，已知不符．
综上，直线 的斜率存在且不为0，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ．
则条件① 在直线 上，等价于 ，
两渐近线的方程合并为 ，
联立方程组，消去 并化简得： ，
设 ， ， ， ，线段中点为 ， ，
则 ． ，
设 ， ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，，
，
，
由题意知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ， ，
，
直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程为 ，即 中，
得 ，
解得 的横坐标为 ，
同理， ， ，
，
条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上等价于 ，
条件② 等价于 ，条件③ 等价于 ．
选①② ③：
由①②解得 ， ③成立；
选①③ ②：
由①③解得： ， ， ， ②成立；
选②③ ①：
由②③解得： ， ， ， ①成立．
9、（2023•甲卷（文））已知直线 与抛物线 交于 ， 两点， ．
（1）求 ；
（2）设 为 的焦点， ， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值．
【解析】设 ， ， ， ，联立 ，
消去 得： ，
， ，△ ，
， ，
，
， ， ，
，
（2）由（1）知 ，所以 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ， ， ， ，由 ，可得 ，所以 ， ，
△ ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
将 ， ，代入得 ，
，所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
又 或 ，所以当 时， 的面积
1、直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】 A
【解析】 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1).又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2、 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】 C
【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，直线y＝1，过点(0，1)且与抛物线相
切的直线(非直线x＝0).
3、 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________________．
【答案】 ＋＝1
【解析】 由题意，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
4、 经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则
OA·OB的值为________．
【答案】 －
【解析】 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y＝x－1，代入椭圆方程消去y并整理，
得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以OA·OB＝－.同理，当直线l经
过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－，故 OA·OB的值为－.
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
【解析】 联立消去y并整理，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，依题意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)．
(1) 当Δ>0，即k<－或k>时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直
线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2) 当Δ＝0，即k＝±时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l
与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 当Δ<0，即－0，解得m<，
所以x＋x＝－＝，解得m＝－，
1 2
所以直线l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.
(2) 设P(t，0)，直线l的方程为x＝y＋t，
联立消去x并整理，得y2－2y－3t＝0，
则Δ＝4＋12t>0，解得t>－，
所以y＋y＝2，yy＝－3t.
1 2 1 1
因为AP＝3PB，所以y＝－3y，
1 2
所以y＝－1，y＝3，所以yy＝－3，
2 1 1 2
则AB＝·＝×＝.
方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
考向三 求圆锥曲线的中点弦
例3、(1) 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平
分，则此弦所在直线的方程为________；
【答案】 x＋2y－3＝0
【解析】 方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x，y)，B(x，y).联
1 1 2 2
立消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x＋x＝.又因为x＋x＝2，所以＝2，解
1 2 1 2
得k＝－，故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，A(x ，y)，B(x ，y)，则＋＝1①，＋＝
1 1 2 2
1②，由①－②，得＋＝0.因为x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，所以＋y －y ＝0，所以k＝＝－，所以此弦所在的直
1 2 1 2 1 2
线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2) 已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的
方程为________．
【答案】 x2＝3y
【解析】 设点M(x ，y)，N(x ，y)，由消去y并整理，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，所以所
1 1 2 2
求抛物线的方程是 x2＝3y.
变式1、以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________.【答案】 4x－y－7＝0
【解析】 设A(2，1)是弦PP 的中点，
1 2
且P(x，y)，P(x，y)，
1 1 1 2 2 2
则x＋x＝4，y＋y＝2，
1 2 1 2
∵P，P 在双曲线上，∴
1 2
∴2(x＋x)(x－x)－(y＋y)(y－y)＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴2×4(x－x)＝2(y－y)，
1 2 1 2
∴k＝＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
联立得14x2－56x＋51＝0，
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0
方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把
上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点
差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数
考向四 圆锥曲线中的综合性问题
例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在 x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的
离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在 x轴的下方).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若AT＝2TB，求直线l的斜率k.
【解析】 (1) 因为椭圆 ＋＝1经过点(b，2e)，
所以＋＝1.
因为e2＝＝，所以＋＝1.
因为a2＝b2＋c2，所以＋＝1，
整理，得 b4－12b2＋32＝0，
解得b2＝4或b2＝8(舍去)，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 方法一：分别过点A，B作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A′，B′，再过点B作BM⊥AA′，垂足为
M.设TB＝m，由AT＝2TB知，TA＝2m.
由(1)知T为椭圆C的焦点，
所以BB′＝，AA′＝，
所以AM＝＝m.
在Rt△ABM中，BM＝＝m，
所以tan ∠BAM＝＝，
故直线l的斜率k为.
方法二：设直线l的方程为y＝k(x－2)，点A(x，y)，B(x，y).
1 1 2 2
由AT＝2TB知，y＝－2y，①
1 2
依题意，得k≠0，不妨设m＝，
由消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，
则y＋y＝－，②
1 2
yy＝，③
1 2
联立①②③，解得m2＝，
即k＝或k＝－(舍去).
故直线l的斜率k为.
变式1、 如图，已知椭圆C：＋＝1.过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x
轴的下方).若 AT＝2TB，求直线l的斜率k.
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x，y)，B(x，y).
1 1 2 2
由AT＝2TB，知y＝－2y.①
1 2
依题意，得k≠0，不妨设m＝，
由消去x并整理，
得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，
所以y＋y＝－，②
1 2
yy＝，③
1 2
联立①②③，解得m2＝14，
即k＝－(舍去)或k＝，故直线l的斜率k为.
1、 （2022年江苏省高三模拟试卷）已知抛物线 在点 处的切线与双曲线
的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】：因为 ，
所以 时， ，则 ，
所以 在点 处的切线的斜率为 ，
即双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，
所以曲线C的离心率为 ，
故选：C
2、 （2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）（多选题）已知抛物线 ： 的焦点为 ，
为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的准线方程为
B. 直线 与 相切
C. 若 ，则 的最小值为D. 若 ，则 的周长的最小值为11
【答案】BCD
【解析】抛物线 ： ，即 ，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，故A错误；
由 ，即 ，解得 ，所以直线 与 相切，故B正确；
设点 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
如图过点 作 准线，交于点 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）（多选题）已知双曲线 ，过其右焦点F的直线l与
双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（ ）
A. 的最小值为
B. 以F为焦点的抛物线的标准方程为
C. 满足 的直线有3条
D. 若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率
答案：BD
【解析】选项A. 当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则
又 ，故选项A不正确.
选项B. ,则以F为焦点的抛物线的标准方程为 ，故选项B正确.
选项C. 当A，B两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则 ，此时无满足条件
的直线.
当A，B两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则 ，此时无满足条件的直线.
故选项C不正确.
选项D. 过右焦点F分别作两渐近线的平行线 ，如图，
将 绕焦点 沿逆时针方向旋转到与 重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点.
此时直线l的斜率 或 ,故选项D正确
故选：BD4、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，
B．F是椭圆的右焦点，＝3，·＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k ，k ．若k(k ＋k)＝
1 2 1 2
1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：定点问题
【解析】
(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
因为＝3，·＝3，
所以…………………………………………………………………2分
解得从而b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的方程．…………………………………………………………4分
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由得(．
则，xx＝．…………………………………………………………6分
1 2
所以k＋k＝＋＝
1 2
＝
＝＝．
由k(k＋k)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………………………………………10分
1 2
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5，0)．……………………………………………12分
