文档内容
专题5.28《分式与分式方程》中考真题专练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2021·四川雅安·中考真题）若 的值为零，则x的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．0
2．（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数 、 满足 ，则 等
于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021·河北·中考真题）由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正
确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
4．（2021·山东济宁·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·广西贺州·中考真题）如 ，我们叫集合 ，其中1，2， 叫做集合
的元素．集合中的元素具有确定性（如 必然存在），互异性（如 ， ），无
序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合 ，我们说 ．已知集合，集合 ，若 ，则 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．（2020·湖北随州·中考真题） 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·云南昆明·中考真题）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投
资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原
计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室
的建设费用是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
9．（2020·海南·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·广西·中考真题）甲、乙两地相距 ，提速前动车的速度为 ，提速
后动车的速度是提速前的 倍，提速后行车时间比提速前减少 ，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，
则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
12．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m
的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
13．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”为：，这里等式右边是实数运算．例如： ．则方程
的解是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·云南·中考真题）若整数 使关于 的不等式组 ，有且只有45个
整数解，且使关于 的方程 的解为非正数，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
二、填空题
15．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式 的值不存在，则 __________．
16．（2021·四川资阳·中考真题）若 ，则 _________．
17．（2021·内蒙古·中考真题）化简： _____．
18．（2021·山东潍坊·中考真题）若x＜2，且 ，则x＝_______．
19．（2021·四川雅安·中考真题）若关于x的分式方程 的解是正数，则k的
取值范围是______．
20．（2021·辽宁本溪·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某
校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B
种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．
设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．
21．（2021·湖北荆州·中考真题）若关于 的方程 的解是正数，则 的取
值范围为_____________．
22．（2021·四川达州·中考真题）若分式方程 的解为整数，则整数___________．
三、解答题
23．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1） ．
24．（2021·江苏南京·中考真题）计算 ．
25．（2021·广西来宾·中考真题）解分式方程： ．
26．（2021·广西柳州·中考真题）解分式方程：
27．（2021·四川达州·中考真题）化简求值： ，其中 与2，3
构成三角形的三边，且 为整数．
28．（2021·湖南郴州·中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买 ， 两种奖品，
用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知 奖品比 奖品每件多25元预算资
金为1700元，其中800元购买 奖品，其余资金购买 奖品，且购买 奖品的数量是 奖品的3倍．
（1）求 ， 奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
不超过预算资金且购买 奖品的资金不少于720元， ， 两种奖品共100件．求购买 ，
两种奖品的数量，有哪几种方案？
29．（2021·四川广安·中考真题）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进
甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求 的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】
根据题意知， ，
解得： ，
所以 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不
为0．这两个条件缺一不可．
2．A
【解析】
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∵两个不等于0的实数 、 满足 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
先计算 的值，再根c的正负判断 的正负，再判断 与 的大小即可．
【详解】
解： ，
当 时， ， 无意义，故A选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故B选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故C选项正确，符合题意；
当 时， ， ；当 时， ， ，故D选项错误，不符
合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，
根据结果进行准确判断．
4．A
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．
【详解】解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是
解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除
即可．
【详解】
解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
【点拨】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算
等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
6．C
【解析】
【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类
讨论即可．
【详解】
解：∵集合B的元素 ， ，可得，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ， ，不满足互异性，情况不存在，
当 时， ， （舍）， 时， ， ，满足题意，
此时， ．
故选：Ｃ
【点拨】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论
即可．
7．B
【解析】
【分析】
先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．
【详解】
=
=
= ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
8．C【解析】
【分析】
设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间
建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方
程求解即可．
【详解】
解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，
根据题意得： ，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
9．C
【解析】
【分析】
先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可．
【详解】
解：
3=x-2
x=5
经检验x=5是分式方程的解
所以该分式方程的解为x=5．
故选：C．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、
合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．
10．A
【解析】
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是： ；因为提速后行车时间比提
速前减少 ，所以，提速前的时间-提速后的时间= ．
【详解】
根据提速前的时间-提速后的时间= ，可得
即
故选：A
【点拨】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等
量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
11．D
【解析】
【分析】
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即
可．
【详解】
解：去分母得 ，
解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的
范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
12．D
【解析】
【分析】
解带参数m的分式方程，得到 ，即可求得整数m的值．
【详解】解： ，
两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ，
当 时， 是原分式方程的解；
当 时， 是原分式方程的解；
故选：D．
【点拨】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
13．B
【解析】
【分析】
根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】
解：
∴方程表达为：
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故选：B．
【点拨】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中
给出的新运算法则及分式方程的解法．
14．B
【解析】
【分析】
先解不等式组，根据不等式组的整数解确定 的范围，结合 为整数，再确定 的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到 的范围，注意结合分式方程有意义的条件，
从而可得答案．
【详解】
解：
由①得：
由②得： ＞ ，
因为不等式组有且只有45个整数解，
＜
＜
＜
＜
为整数，
为
，
而 且
又
综上： 的值为：
故选B．
【点拨】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正
数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
15．-1
【解析】【分析】
根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】
∵分式 的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此
题的关键．
16．3
【解析】
【分析】
先由 可得 ，再运用分式的减法计算 ，然后变形将 代入
即可解答．
【详解】
解：∵
∴
∴ ．
故填：3．
【点拨】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为
解答本题的关键．
17．1
【解析】
【分析】
直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】
解：=
=
=
=1．
故填1．
【点拨】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本
题的关键．
18．1
【解析】
【分析】
先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】
解： |x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为 2﹣x+x﹣1＝0，
即 1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19． 且
【解析】
【分析】
根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再因分式方程要有
意义则 ，进而计算出 的取值范围即可．【详解】
解：
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是 且 ．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求
解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
20．
【解析】
【分析】
设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合
用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分
式方程．
【详解】
解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得： ，
故答案为：
【点拨】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分
式方程．
21．m＞-7且m≠-3
【解析】
【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】
解：由 ，得： 且x≠2，
∵关于 的方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点拨】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
22．
【解析】
【分析】
直接移项后通分合并同类项，化简、用 来表示 ，再根据解为整数来确定 的值．
【详解】
解： ，
整理得：
若分式方程 的解为整数，
为整数，
当 时，解得： ，经检验： 成立；
当 时，解得： ，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上: ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用 来表示 ，再根
据解为整数来确定 的值，易错点，容易忽略对根的检验．
23．
【解析】【分析】
首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
【详解】
解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=
= ．
【点拨】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
24．
【解析】
【分析】
先对括号里的分式进行通分，将通分后的分式进行合并，将合并后的结果与最后一项分式
相除，将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简后即可得到计算结果．
【详解】
解：原式=
=
=
=
= ．
【点拨】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是找到最简公分母，能正确进
行分式之间的通分，同时应牢记相应计算法则，并能灵活运用等．
25．
【解析】【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【详解】
解：
去分母，得 ，
解此方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的根．
【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要
忘记检验．
26．
【解析】
【分析】
两边同乘以x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可
【详解】
解：去分母得：
解得
检验：将 代入原方程的分母，不为0
为原方程的解．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键．
27． ，-2
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合
题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．
【详解】
解：原式 ；
∵2，3，a为三角形的三边，
∴ ，∴ ，
∵ 为整数，
∴ ，3或4，
由原分式得 ， ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴原式= ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入
求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义．
28．（1）A， 奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；
购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【解析】
【分析】
（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买 奖品的数量是
奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．
【详解】
（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，
由题意得： ，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
15+25=40，
答：A， 奖品的单价分别是40元，15元；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，
由题意得： ，解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整数，
∴a=23，24，25，
答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，
B奖品75件．
【点拨】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键．
29．（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【解析】
【分析】
（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方
程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，
根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质
求出最大值．
【详解】
解：（1）由题意可知：
，
解得：x=16，
经检验：x=16是原方程的解；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，
由题意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，
∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点拨】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程
和函数表达式．
