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专题5.27 求解二元一次方程组100题（专项练习）（培优
篇）
1．解二元一次方程组
（1）
（2）
2．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足以x，y为横，纵坐标的点P(x，
y)在第四象限，求k的取值范围．
3．请用指定的方法解下列方程组
（1） （代入消元法）
（2） （加减消元法）
4．解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
5．（1）求方程中 的值：
（2）解方程组：
6．观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数 、 为“共生有理数对”，记为 ，如：数对 ，
，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对 ， 是“共生有理数对”，并说明理由．
（2）若 是“共生有理数对”，且 ，求 的值．
（3）若 是“共生有理数对”，则 是“共生有理数对”吗？请说明理由．
7．解方程或方程组：
（1） ．
（2） ．
（3）
（4）
8．（1）计算 ；
（2）解方程组
9．已知关于 、 的方程组 ，其中 ，若 ，求 的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中 为常数，且
），则称 是点 的“ 族衍生点”．例如：点 的“ 族衍生点” 的坐标为 ，即 ．
（1）点 的“ 族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点 的“ 族衍生点” 的坐标是 ，则点 的坐标为 ；
（3）若点 （其中 ），点 的“ 族衍生点”为点 ，且 ，求 的值．
11．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），
由这种运算得到的数我们称之为广益数，记为L（x，y），其中（x，y）叫做广益数对．若
实数x，y都取正整数，此时的（x，y）叫做广益正格数对．
（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（ ， ）＝ ，L（﹣2，m）＝ ；（用含m的
式子表示）
（2）已知L（x，y）＝ax+by（其中a，b互为相反数）L（2，3）＝n﹣3，L（1，﹣2）＝
2n+1，求n的值．
（3）已知L（x，y）＝3x+cy，其中L（ ， ）＝2．若L（x，kx）＝18（其中k为整
数），问是否存在满足这样条件的广益正格数对？若存在，请求出这样的广益正格数对；
若不存在，请说明理由．
12．在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7-②×3消去未知数 ，也
可以用①×2+②×5 消去未知数 ．
（1）求 和 的值：
（2）求原方程组的解
13．① ；
② ．
14．若 是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．
15．解方程组：（1） ；
（2） ．
16．已知方程组 甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙
由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为 若按正确的a，b计算，求原方程组的
解．
17．解下列方程组和不等式组：
（1）解方程组 ；
（2）解不等式组 ．
18．阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ ， ），则称点B
为点A的“k级湘一点”，如点A（2，5）的“2 级湘一点”为B（ ， ），
即B（9， ）．
（1）已知点P（ ，1）的“5级湘一点”为P ，则点P 的坐标为 ；
1 1
（2）已知点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3），求Q点的坐标；
1
（3）如果点C（ ， ）的“2 级湘一点”C 在第二象限，
1
①求c的取值范围；
②在①中，当c取最大整数时，连接OC ，坐标平面内是否存在点M（2， ），使得
1
，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．19．解下列方程（组）
（1）
（2）
20．我们把一个 位整数（或 位小数， 为不小于2的自然数）按数位顺序移动各数位上
的数，得到一个新的 位整数叫做原数的“换位数”．比如： 的“换位数”是 ；
有两个“换位数”分别是 ； 有三个“换位数”分别是
．
（1）请写出 的三个“换位数”．
（2） 的“换位数”都是它本身，若 表示以 为单循环节的无限循环小数，其
“换位数”也是它本身，则 ，请说明： ；
（3）已知百位上的数为 的一个三位数，其每个数位上的数互异且它们之和小于 ，如果
这个三位数与它的两个“换位数”之和能被 整除，求这个三位数．
21．解方程组：
（1）（2）
（3）
22．解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
23．对于任意有理数 ， ， ， ，我们规定： ，根据这一规定，解答下
列问题：若 ， 同时满足 ， ，求 ， 的值．
24．解方程组：
（1） ；
（2） ．
25．阅读理解：对于任意一个三位正整数 ，如果 的各个数位上的数字互不相同，且都
不为零，那么称这个正整数 为“相异数”．将一个“相异数”的三个数位上的数字交换
顺序，可以得到5个不同的新的“相异数”，把这6个“相异数”的和与 的商记为
．例如 是“相异数”，交换三个数位上的数字后可以得到 、 、 、 、
这 个新的“相异数”，这6个“相异数”的和为
，所以 ．（1）计算： 和 的值；
（2）设 和 都是“相异数”，其中 和 分别是 的十位和个位上的数字， 和 分别是
的百位和个位上的数字，当 时，求 和 ．
26．甲、乙两人解同一个关于 ， 的方程组 ，甲看错了方程①中的 ，得
到方程组的解为 乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
（1）求 与 的值；
（2）求 的值．
27．解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
28．解方程：
解方程组:
29．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
30．解方程组： ．31．小鑫、小童两人同时解方程组 时，小鑫看错了方程②中的a，解得
，小童看错了①中的b，解得 ，求原方程组的正确解．
32．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．试求出方程组正确的解．
33．解下列方程组：
（1） （2）
34．（1）先化简，再求值： ，其中 ， ．
（2）解方程组： ．
35．解二元一次方组：
（1） ；
（2） ．
36．解方程组
（1）（2）
37．解方程或方程组
（1）
（2）
38．解下列方程组．
（1）
（2）
39．解方程组： ．
40．如图1所示的是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虛线用剪刀平均分成四块小长
方形．然后用四块小长方形拼成如图2所示的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为______．
① ；② ；③ ．
（2）由图2可以直接写出 ， ， 之间的一个等量关系是______．
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：
① ， ，求 的值；②将一根铁丝剪成两段，用这两段铁丝围成两个正方形，拼成如图3所示的形状（在同一
水平线上，两正方形无重叠，铁丝的厚度忽略不计），若铁丝总长为 ．两个正方形的
面积之差为 ，则阴影部分的面积为____ ．
41．甲、乙两位同学一起解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到的
解为 ，乙看错了方程②中的b，得到的解为 ，试根据上述条件，求解下列问
题：
（1）求a、b的值；
（2）计算 ．
42．已知 是二元一次方程2x+y＝a的一个解．解答下列问题：
（1）a＝ ；
（2）完成下表，使上下每对x，y的值是方程2x+y＝a的解：
x ﹣1 m 3 4
y 5 3 0 n ﹣5
①则m＝ ，n＝ ；
②若将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，
未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解就可以对应平面直角坐
标系中的一个点，请将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角
坐标系中描出这五个点；
（3）观察如图这五个点的位置，你发现了什么？43．已知 ，当 时， ；当 时， ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 取何值时， 的值为 ？
44．（1）解方程组： ；
（2）解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来．
45．解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
46．解方程组：
（1） ；（2） ．
47．对 ， 定义一种新的运算 ，规定： （其中 ）．
（1）若已知 ， ，则 _________．
（2）已知 ， ．求 ， 的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数 的不等式组 恰好有2个整数
解，求 的取值范围．
48．对任意一个三位数 ，如果 满足各数位上的数字互不相同且都不为0，则称 为
“称心数”．将一个“称心数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位
数，把这三个新三位数的和与111的商记为 ．例如 ，对调百位与十位上的数
字得到214，对调百位与个位上的数字得到421，对调十位与个位上的数字得到142，这三
个新三位数的和为 ， ，所以 ．
（1）直接写出最小和最大的“称心数 ”；
（2）若 、 都是“称心数”，其中 ， （ ， ， ，
都是正整数），当 时，求 的值．
49．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公
式，还记得它是如何被发现的吗？（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是 ，
如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 ，由此得
到： ．
（类比探究（1））：
如图2，正方形 是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用
不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a，b表示）
（应用探索结果解决问题）：
已知：两数x，y满足 ， ，求 的值．
（类比探究（2））：
如图3，正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一
个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用a，b，c表
示，结果尽可能化简）
（应用探索结果解决问题）：正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的
直角三角形和中间一个小正方形组成的，当 时， ；当 ，
时， ，求x，y的值．
50．阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数x、y我们定义一种新运算 ，（其中a、b均为非零常数），等式
右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为 ，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这
时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若 ，则 _______， _______；
（2）已知 ， ，若正格线性数 （其中k为整数），
问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．
51．材料一：对于一个四位数 ，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数
字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵ ，∴5247是“间位等和数”；
，∵ ，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数 千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数
字对调后可以得到一个新的四位 数 ，记 ．例如 ，对调千位上的
数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以
．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若 和 都是“间位等和数”，其中 ， （
， ， ， 且 ， ， ， 均为整数），规定： ，
若 ，求 的最小值．
52．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程 有无数个解，但在实际问
题中往往只需求出其正整数解．例：由 ，得： （ 、 为正整数）．要使 为正整数，则 为正整数，可知： 为3的倍数，从而 ，代
入 ．所以 的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程 的正整数解___________．
（2）若 为自然数，则求出满足条件的正整数 的值．
（3）关于 ， 的二元一次方程组 的解是正整数，求整数 的值．
53．对于不为0的一位数 和一个两位数 ，将数 放置于两位数之前，或者将数 放置
于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小
三位数的差与15的商记为 ．例如：当 ， 时，可以得到168，618．较大
三位数减去较小三位数的差为 ，而 ，所以 ．
（1）计算： ．
（2）若 是一位数， 是两位数， 的十位数字为 （ ， 为自然数），个位数字
为8，当 时，求出所有可能的 ， 的值．
54．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，
都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为 ，
所以2534 是“7类诚勤数”．
（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；
（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．
55．若实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a＝ ，那么我们称a为第n
个“1阶倒差数”，例如 ＝1- ，∴ 是第1个“1阶倒差数”， ＝ - ，∴ 是第2个“1阶倒差数”．同理，若b＝ - ，那么，我们称b为第n个“2阶倒差数”．
（1）判断 是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；
（2）若c，d均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且 ＝22，求c，d的值．
56．在平面直角坐标系中，点 ，且 ， 满足 ．
（1）求 两点坐标．
（2）如图①，若 ，且三角形 的面积为6，求 的值．
（3）如图②，若点 为 轴正半轴上一点，过点 作 ， 为线段 上一点，过
点 作 交 点 ，其中 ，试写出 与
之间的数量关系，并证明你的结论．57．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为
“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为 ．例如693， ，∴693是
“银翔数”，
规定： （ 均为非零常数， 为三位自然数）
已知 ；
（1）求 的值及 ；
（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”， ，
，且 为整数，且 加上各个数位上数
字之和被16除余7，若 ，求 的最小值．
58．对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动a个单位长度
（a是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动2a个单位长度（a是正数）后所在
位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的a关联数”，记作G（A，a）＝{x，
y}，其中x y．
例如：原点O表示0，原点O的1关联数是G（0，1）＝{－1，+2}
（1）若点A表示－3，a＝3，直接写出点A的3关联数．
（2）①若点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，求y的值．
②若G（A，a）＝{－2，7}，求a的值和点A表示的数．
（3）已知G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出
发，且点A的速度是点B速度的3倍．当|y－m|＝6时，直接写出点A表示的数．
59．（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：60．已知 的平方根是 ， 的立方根是 .求 的值.
61．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 变形： ，
即 ，
把方程 代入 得： ，
所以 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组 ，
（2）已知x，y满足方程组 ，求 的值．
62．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m=8+n，就称点P（m﹣1， ）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点A（a，﹣4）是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组 解为坐标的点B（x，y）
是“爱心点”，求p，q的值．
63．当 都是实数，且满足 ，就称点 为“爱心点”．
（1）判断点 、 哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点 、 是“爱心点”，请判断 、 两点的中点 在第几象限？并说
明理由；
（3）已知 、 为有理数，且关于 、 的方程组 解为坐标的点
是“爱心点”，求 、 的值．
64．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组 ，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为
；
（2）如何解方程组 呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设
m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组 与 有相同的解，求a、b的值．
65．对 ， 定义一种新运算 ，规定 （其中 ， 是非零常数且
），这里等式右边是通常的四则运算．
如： ， ．
（1）填空： _____（用含 ， 的代数式表示）；
（2）若 且 ．
①求 与 的值；
②若 ，求 的值．
66．已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，求a、b的值．67．新定义，若关于 ， 的二元一次方程组① 的解是 ，关于 ，
的二元一次方程组② 的解是 ，且满足 ， ，
则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于 ， 的二元一次方程组 的
解是方程组 的模糊解，则 的取值范围是________．
68．阅读下列材料：我们知道方程 有无数个解，但在实际生活中我们往往只需
求出其正整数解．
例：由 ，得： （ 、 为正整数）．要使 为正整
数，则 为正整数，由2，3互质，可知： 为3的倍数，将 ，代入得 ．
所以 的一组正整数解为 ．
问题：
（1）请你直接写出方程 的一组正整数解_______；
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数 的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖
品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．
69．方程组 的解x、y的值互为相反数，求a的值和方程组的解．70．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，其
中 满足 ．
（1）若数 没有平方根，判断点 在第几象限并说明理由；
（2）若点 到 轴的距离是点 到 轴的距离的2倍，求点 的坐标；
（3）若点 的坐标为 ，三角形 的面积是三角形 面积的3倍，求点 的坐
标．
71．已知实数 满足等式 ， ．
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若实数 ，求 的平方根；
（3）直接写出多项式 的值．
72．已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的值．
73．已知 ， 都是关于 ， 的二元一次方程 的解，且
，求 的值．
74．已知 的解是 ，求 的值．
75．已知方程组 与 有相同的解，求m、n的值．
76．已知方程组 由于甲看错了方程 中的n的值，得方程组解为；乙看错了方程 中的所得方程组为 那么m，n的值是二元一次方程
的解吗？
77．甲、乙两人同解方程组 ，甲因看错c的值解得方程组解为 ，乙
求得正确的解为 ，求a，b，c的值．
78．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，而得解为 .乙
看错了方程组中的 ，而得解为 .
(1)求出原方程组的正确解.
(2)甲把 看成数是多少？乙把 看成的数是多少？
79．阅读型综合题
对于实数 ， 我们定义一种新运算 (其中 ， 均为非零常数)，等式右边
是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为 ，其中 ， 叫
做线性数的一个数对.若实数 ， 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时
的 ， 叫做正格线性数的正格数对.
(1)若 ，则 _________， _________；
(2)已知 ， .
①求字母 的取值；
②若 (其中 为整数)，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由.
80．解方程组
81．定义运算“*”，规定 ，其中a，b为常数，且 ， ，求
的值.
82．阅读探索
解方程组
解：设a1x，b2y，原方程组可变为
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组 的解为 ，直接写出关于m、n的方程组
的解为_______．
83．已知关于 、 的二元一次方程组 （ 为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含 的代数式表示）；
（2）若方程组的解 、 满足 ，求 的取值范围；（3）若 ，设 ，且m为正整数，求m的值．
84．已知 ，且x-y＜0，求k的取值范围
85．已知关于x的方程 有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
86．综合探究题 等腰三角形ABC中，AB＝x，BC＝y，周长为12.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)求该方程的所有整数解．
87．已知 是二元一次方程 的一个解．
(1)a=__________；
(2)完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点(x，y)，如果过其中任意两点
作直线，你有什么发现？
x 0 1 3
y 6 2 0
88．甲、乙两位同学在解方程组 时，甲把字母a看错了得到方程组的解为
；乙把字母b看错了得到方程组的解为 ．
（1）求a，b的正确值；（2）求原方程组的解．
89．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程 有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其
正整数解．
例：由 ，得： ，（x、y为正整数）
∴ ，则有 ．又 为正整数，则 为正整数．由2与3互
质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入 ∴2x+3y=12的正整数解为
问题：
（1）请你写出方程 的一组正整数解： .
（2）若 为自然数，则满足条件的x值为 .
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢
笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
90．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组 ，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表
，求得的一次方程组的解 ，用数表可表示为 ．用数表可以简
化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组 的过程．
91．(1)计算(1)
（2）解方程组
(3)解不等式组， 并把解集在数轴上表示出来
92．解方程组： .
93．已知：甲、乙两人同解方程组 时,甲看错了方程(1)中的a,解得
,乙看错了(2)中的b,解得 ，试求a+b的平方根。
94．若关于 的二元一次方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）若上述方程组的解是等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形周长为9，求a
的值．
95．已知关于x，y的二元一次方程kx+b=y的解有 和 求3k-b的值.
96．（2018年安徽初中毕业考试模拟冲刺卷(三)）解方程组:
97．解方程组：98．对于两个不相等的实数 、 ，我们规定符号 表示 、 中的较大值，
表示 、 中的较小值.如： ， ，
按照这个规定，解方程组： .
99．善于思考的小军在解方程组 时,采用了一种“整体代换”的解法:
将方程②变形: 即
把方程①代入③,得
把 代入①,得 ∴原方程组的解为
请你解决以下问题:
模仿小军的“整体代换法”解方程组
(2)已知 满足方程组 求 与 的值.
100．已知 且 ，求 的取值范围．参考答案
1．（1） ；（2）
【分析】
（1）先通过去括号化简方程，再根据加减消元法计算即可；
（2）先去分母，再根据消元法计算即可；
【详解】
（1） ，
化简①得： ，
，
得： ，
∴ ，
把 代入②中得： ，
∴解集为 ．
（2） ，
整理得： ，
，
，得： ，
解得： ，
把 代入①中得： ，
∴解集为 ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
2．
【分析】
先解关于x，y的二元一次方程组，再根据第四象限点的特征可得关于k的不等式组，解不
等式组可求解k的取值范围．
【详解】
解：解关于x，y的二元一次方程 ，
由②可得x=k+2y，
把x=k+2y代入①可得： ，
解得：y=5-2k，
把y=5-2k代入②可得：x=10-3k，
所以方程组的解是 ，
∵点P（x，y）在第四象限，
∴ ，
解这个不等式组得 ．
【点拨】本题主要考查解含参数的二元一次方程组和根据点的坐标列不等式求字母取值范
围，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组.
3．（1） ；（2）【分析】
（1）先把②式变形得： ，然后代入①中求解即可；
（2）利用加减消元法解方程即可．
【详解】
解：（1）②式变形得： ③
把③式代入①得： 解得：
把 代入①式得：
∴原方程组的解为 ；
（2）① ×5得： ③ ，
② ×2得： ④ ，
③—④得： ，解得 ，
把 代入①式得： ，解得
∴原方程组的解为 ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方
程组的方法．
4．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可求解；
（2）先去分母整理，再利用加减消元法解二元一次方程组即可求解.
【详解】
解：（1）
①×3+②得：7x＝21，解得：x＝3，
把x＝3代入①式得：y＝﹣1，
则方程组的解为 ；
（2） ，该方程可化为 ，
①+②得：﹣2x＝6，
解得：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①式得：y＝﹣ ，
则方程组的解为 ．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，解决本题的关键是要熟练掌握加减消元法
解二元一次方程组的解集.
5．（1） ；（2）
【分析】
（1）直接利用立方根的定义求出方程的解；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
（1）解： ，
；
（2）
解：① ② ，得
∴ ．
把 代入②，得 ，
∴ ．∴ ．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组和立方根的定义，消元思想是解二元一次方程的
关键．
6．（1） 不是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”，理由见解析；
（2）-64；（3）不是，理由见解析
【分析】
（1）根据“共生有理数对”的概念计算可得答案；
（2）由新定义及 得出 ，据此知 ，继而代入计算即可；
（3）先根据已知条件得出 ，再此基础上结合 ，
可作出判断．
【详解】
（1） 不是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”，理由如下：
，
不是“共生有理数对”，
，
是“共生有理数对”；
（2）根据题意知， ，
，
则 ；（3） 不是“共生有理数对”，
，
，
是“共生有理数对”，
，
则 ，
而 不一定等于 ，
不是“共生有理数对”．
【点拨】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）利用平方根解答；
（2）等式两边同时开立方，再解一元一次方程即可；
（3）利用代入法解方程组；
（4）利用加减法解方程组．
【详解】
（1）
；
（2） ．；
（3）解： ，
将②代入①得：y+3+y=5，
解得y=1，
将y=1代入②，得x=1+3=4，
∴ ；
（4）解：原式为 ，
① ② 可得； ，
可得 ，
将 代入①可得： ，
∴ ．
【点拨】此题考查计算能力，利用平方根解方程，利用立方根解方程，解一元一次方程，
解二元一次方程组，正确掌握各计算特点是解题的关键．
8．（1）1；（2）
【分析】
（1）原式利用平方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】
（1） ，
，
；（2） ，
将代入，得 ，
解得： ，
将 ，代入，得 ，
这个方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
9．
【分析】
① ②得： ，解得 ，解方程求得 ， ， ，
解得 ，即 ，即可求出 的取值范围．
【详解】
解： ，
① ②得： ，即
解方程求得 ，
，
解得
即 ，解得 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，解题的关键是掌握方程组
的解，即为能使方程组中两方程成立的未知数的值及需要结合 的取值范围．
10．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【详解】
解：（1）点 的“ 族衍生点”的坐标为 ，即 ，
故答案为： ；
（2）设点 坐标为 ，
由题意可得：
，
点 坐标为 ，
故答案为： ．
（3） 点 ，
点 的“ 族衍生点”为点 ，
，
，
，
．【点拨】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二
元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．
11．（1）3，﹣2+3m；（2）n＝ ；（3）k＝3时，存在正格数对x＝2，y＝6满足条件．
【分析】
（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案;
（2）根据新定义先得到L（2，3）＝2a+3b＝n﹣3；L（1，﹣2）＝a﹣2b＝2n+1，然后根
据a，b互为相反数，得到a＝﹣b，从而可以列方程求解即可；
（3）先根据定义求出c的值，然后根据广益正格数对的定义进行求解即可.
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：L（ ， ）＝ +3× ＝3；L（﹣2，m）＝﹣2+3m，
故答案为：3，﹣2+3m；
（2）根据题中的新定义得：L（2，3）＝2a+3b＝n﹣3；L（1，﹣2）＝a﹣2b＝2n+1；
∵a，b互为相反数，
∴a＝﹣b，
∴
解得：n＝ ；
（3）存在，（2，6），理由如下：
根据题中的新定义化简L（ ， ）＝2，得：3× + c＝2，
解得：c＝2，
化简L（x，kx）＝18，得：3x+2kx＝18，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
∴3+2k是奇数，
∴3+2k＝1，3，9，
解得：k＝−1，0，3，
当k＝−1时，x＝18，kx＝−18，舍去；
当k＝0时，x＝6，kx＝0，舍去；
当k＝3时，x＝2，kx＝6，综上，k＝3时，存在正格数对x＝2，y＝6满足条件．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够
准确地读懂题意.
12．（1）m=2，n=5；（2）
【分析】
（1）根据题意得出 ，求解即可；
（2）将（1）中的解代回原方程求解即可．
【详解】
（1）由题意可得方程组：
整理此方程组得：
，
① 得， ③，
② 得， ④，
③-④得， ，
解之得， ，
把 代入②中，得 ，
所以 ；
（2）将 代入原方程组即为，
① 得： ③，
② 得， ④，
③＋④得，解得： ，
把 代入②中，得 ，
所以原方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意求出 的值是解题的关键．
13．①x＝﹣13；②
【分析】
（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】
解：（1）去分母，可得：3（x﹣3）﹣2（2x﹣1）＝6，
去括号，可得：3x﹣9﹣4x+2＝6，
移项，可得：3x﹣4x＝6+9﹣2，
合并同类项，可得：﹣x＝13，
系数化为1，可得：x＝﹣13．
（2） ，
①+②×2，可得11x＝33，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝﹣2，
∴原方程组的解是 ．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用；
以及解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．-5
【分析】
将 代入到二元一次方程 和 中去，可得 ，解出即可.
【详解】解：已知 是二元一次方程 和 的公共解，
可将 代入 ，得
，
解得 ，
.
【点拨】本题主要考查二元一次方程组解的定义及其解法，关键是熟练掌握二元一次方程
组的解的定义即：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值叫做二元一次方程组的
解．
15．（1） ；（2） ．
【详解】
（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】
解：（1）
由②，可得：x＝y﹣3③，
③代入①，可得：2（y﹣3）+y＝6，
解得y＝4，
把y＝4代入③ ，解得x＝1，
∴原方程组的解是 ．（2）
①×4+②×3，可得25m＝﹣50，
解得m＝﹣2，
把m＝﹣2代入①，解得n＝3，
∴原方程组的解是 ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方
程组的方法.
16．
【分析】
由于甲看错了方程①中的 ，故可将 代入②，求出 的值；由于乙看错了方程组②
中的 ，故可将 代入①，求出 的值，然后得到方程组，解方程组即可．
【详解】
解：将 代入②得， ， ；
将 代入①得， ， ．
故原方程组为 ，
解得 ．
【点拨】本题考查了方程组解的理解，解题的关键是方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．
17．（1） ；（2）1＜x≤4．
【分析】
（1）根据加减消元法计算即可；
（2）分别解一元一次不等式计算即可；
【详解】
解：（1） ，
①﹣②×2，得：﹣7y＝7，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入②，得：x﹣2＝4，
解得x＝6，
所以方程组的解为 ；
（2）解不等式2x﹣（x﹣1）≤5，得：x≤4，
3x+1
解不等式x+1＜ ，得：x＞1，
2
则不等式组的解集为1＜x≤4．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解和一元一次不等式组的求解，准确计算
是解题的关键．
18．（1）（ ， ）；（2）（ ， ）；（3）① ；② 或
【分析】
（1）根据“k级湘一点”的定义，即可解答；
（2）设 ，根据点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3），可列出方程组，解出即可；
1
（3）①根据“k级湘一点”的定义，求出点C ，再根据C 在第二象限，即可求解；
1 1②根据题意，求出 ，可得出直线OC 的解析式，从而得到当 时，M、O、
1
C 三点共线，继而 ，然后分两种情况讨论，即可求解．
1
【详解】
解：（1）∵点P（ ，1）的“5级湘一点”为P ，
1
∴ ，即 ；
（2）设 ，
∵点Q的“4 级湘一点”为Q（5，3），
1
∴ ，
解得： ，
∴Q点的坐标为（ ， ）；
（3）①∵C 是点C（ ， ）的“2 级湘一点”，
1
∴ ，即 ，
∵C 在第二象限，
1
∴ ，
解得： ；
②存在，理由如下：
∵ ，且c取最大整数，
∴c=-2，
∴ ，设直线OC 的解析式为 ，
1
将 代入，得： ，
解得： ，
∴设直线OC 的解析式为 ，
1
∵M（2， ），
当M、O、C 三点共线时，有 ，
1
解得： ，
即 ，
∴当 时，M、O、C 三点共线，
1
∴ ，
如图，当 ，即点M在 上方时， ，∵ ，M（2， ），
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 ，即点M在 下方时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
【点拨】本题主要考查了实数下的新定义，解二元一次方程组，平面直角坐标系内求三角
形的面积，理解新定义，并利用数形结合思想是解题的关键．
19．（1）x＝－17；（2）
【分析】
（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】
解：（1）去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．（2） ，
① ②，可得 ，
解得 ，
把 代入①，解得 ，
原方程组的解是 ．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用；
以及解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．（1） ；（2）见解析；（3） 或
【分析】
（1）根据“换位数”的定义写出即可；
（2）设 ，由 列出一元一次方程求解即得证；
（3）根据题意设这个三位数的十位和个位上的数分别为 ，表示出这个三位数以及它的
换位数根据和能被 整除列方程求解．
【详解】
解：（1）三个“换位数”分别是： ；
（2）设 ，
由 得 ，
解得 ，
所以 ；
（3）设这个三位数的十位和个位上的数分别为 ，则 都是正整数， ，
即三位数是 ，它的两个“换位数”是 、 ，
＋ ＋
，
因为和能被 整除，所以 是 的倍数，而 都是正整数， ，∴必有 ，即 ，又由题意可知道 都不能为0，
由 都是正整数， 互异，即 或 ，
所以这个三位数为 或 ．
【点拨】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用以及新定义，解题的关键是：
（1）根据“换位数”，找出给定数的各“换位数”；（2）找准等量关系，正确列出方程．
21．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）用代入消元法求解即可；
（2）用加减消元法求解即可；
（3）先化简，然后用加减消元法求解．
【详解】
（1）
解：由②得 ，③
把③代入①，得 ，
把 代入③，得 ．
∴原方程组的解是 ．
（2）
解：①×3+②，可得 ，
解得 ，
把 代入①，解得
∴原方程组的解是 ；（3）解：原方程组化为
①×2，得 ，③
②+③，得 ，④
．
将 代入①，得 ，
．
∴原方程组的解是
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消
元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
22．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先对原方程进行化简，再利用加减消元法求解即可；
【详解】
解：（1） ，
①×2+②得，7a＝21，
解得a＝3，
将a＝3代入①，得
b＝﹣2，
故原方程组的解是 ；
（2）
化简①得，3x+2y＝7③，②×2﹣③得，﹣x＝1，
解得，x＝﹣1，
将x＝3代入②得，y＝5，
故原方程组的解是 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组的步骤是解题的关键．
23． ．
【分析】
先根据 ，将 ， ，转化成
方程组，求得 x、y 的值即可．
【详解】
解：由题意列方程组：
解得：
【点拨】本题是一道新运算的题目，考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．
24．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由代入消元法解方程组，即可得到答案；
（2）由加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
把①代入②，得 ，解得： ，
把 代入①，得 ；
∴方程组的解为 ；
（2） ，
整理得：
由① ②，得 ，
∴ ，
把 代入①，得 ，
∴方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法、代入消元法解方
程组．
25．（1） ； ；（2）当 时， ；当 时，
；当 时， ．
【分析】
（1）理解“相异数”的概念，根据 的运算法则，求解即可；
（2）设 ， ，其中 ， 都是正整数，根据题意列二元一次方程，
根据 ， 的范围，即可求解．
【详解】
解：（1）（2）设 ，
∴ ，
由 得
， ， ， 都是正整数，且 和 都是“相异数”
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点拨】此题考查了新概念新运算的理解以及二元一次方程的特殊解问题，理解题意明白
新运算的定义以及二元一次方程的求解方法是解题的关键．
26．（1） ； ；（2）0．
【分析】
（1）将 代入方程组的第②个方程，将 代入方程组的第①个方程，联立即可
求出a与b的值；
（2）将a与b的值代入求出所求式子的值．
【详解】
解：（1）根据题意，将 代入②，
得： ；
即 ；
将 代入①，
得： ，
即 ；
（2） ．【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
27．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）用代入消元法解，把第一个方程直接代入第二个方程中，消去未知数x，然后求出
y，即可求得方程组的解；
（2）用加y消元法解，消去未知数y，求得x的值，再求出y的值，即可求得方程组的解．
【详解】
（1）
把①代入②得：
即：
解得： ．
把 代入①得
即： ．
．
（2）
①×2+②×3得：
即：
解得： ．
把 代入①得
得： ．
．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，整式的运算能力．解二元一次方程组的基本思想是消元，消元的方法有两种：代入消元法和加减消元法，要根据方程组未知数系数的特点，
选取适当的消元方法．
28．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1得方程解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1得方程解；
（3）先化简方程组再利用代入消元法求出解．
【详解】
解:（1） ，
（2）
．
（3）原方程组可化简为
把①代入②得:
即 ，
把 代入①得: ．所以方程组的解为
【点拨】此题主要考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握计算
方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
29．m=7，n=10．
【分析】
二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一
个因式是x+a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解．
【详解】
解：设另一个因式是x+a，则有
（x+5）•（x+a）
=x2+（5+a）x+5a
=x2+mx+n，
∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组 ，
解得 ，
∴m、n的值分别是7、10．
【点拨】本题考查了多项式乘法及待定系数法求值及解二元一次方程组，熟练掌握因式分
解及二元一次方程组的解法是解题的关键．
30．
【分析】
方法1：先将方程组化简，再利用加减法求解即可；方法2：将方程 化
简，根据 设 ，代人方程 中求出k的值即可得到答案．【详解】
解：方法1：将原方程组化简为 ，
利用加减消元法，解得 ．
方法2：将方程 化简为 ，
将 化为 ．
设 ，代人方程 中，得 ．解得 ．
∴ ．
所以，原方程组的解是 ．
【点拨】在解方程组的过程中，要认真观察方程组的特点，根据实际情况选择解方程的方
法．本题中，方法二就较为巧妙，利用“见比设k”的方法把方程组转化为一元一次方程进
行求解．在以后解题过程中，可以有意识地去使用设参数的方法，达到化多元为一元简化
计算的目的．
31．
【分析】
将小鑫解得的 代入 ，将小童解得的 代入 中，建立方程
组求解出 的值，再代入原方程组中进行求解．
【详解】
解：根据题意，可得 ，解得 ，
将a，b代入原方程组，得 ，
由②可得 ③，
将③代入①，可得 ，
解得 ，
把 代入③，解得 ．
故原方程组的正确解是 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本方
法．
32．
【分析】
由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，
将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值．
【详解】
解：将 ， 代入②，得 ， ．
将 ， 代入①，得 ， ．
∴原方程组为
① ，得 ．③
②＋③，得 ， ．
将 代入①，得 ．∴原方程组的解是 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求解的关键是熟练掌握求解方法从而准
确计算得到答案．
33．（1） ；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法，即可求解；
（2）利用加减消元法，即可求解．
【详解】
（1）
解：将①代入②，得， ，
，
．
将 代入①，得， ．
所以原方程组的解是 ．
（2）
解：① ，得 ， ③
② ，得 ． ④
③－④，得 ．
将 代入①， 得 ．
所以原方程组的解是 ．【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
34．（1）2y-xy；0；（2） ．
【分析】
（1）直接去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案即可；
（2）将方程整理为一般式后，再利用代入消元法求解即可．
【详解】
（1）原式= =2y-xy
当 ， 时，原式=0．
（2）
①×12得：8(x－y)－3(x+y)=－1，即5x-11y=-1③，
②化简得x=3-5y④，
将④代入③得5(3-5y)-11 y=-1，
得y= ，
则x=3-5× = ，
方程组的解为 ．
【点拨】（1）本题考查了整式的化简求值知识，熟练掌握是解决问题的关键；（2）本题
考查了二元一次方程组的求解，利用了代入消元法，熟练掌握是解决问题的关键．
35．（1） ；（2）
【分析】
（1）直接利用加减消元法，即可求出方程组的解；（2）先把方程组进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
由①+②，得： ，
解得： ；
把 代入②，解得： ；
∴方程组的解为： ．
（2） ，
整理方程组得： ，
由①+②，得： ，
解得： ；
把 代入①，解得： ；
∴方程组的解为： ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法、代入消元法解方
程组．
36．（1） ；（2）
【分析】
（1）先把 变为 ，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案；
（2）先把方程组进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：（1） ，
把方程①整理得： ③，
把③代入②中，得 ，
解得： ，
把 代入③，解得： ；
∴方程组的解为 ；
（2） ，
原方程组整理得 ，
由 ，得 ，
解得： ，
把 代入①，解得： ，
∴方程组的解为 ；
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法、代入消元法
解方程组．
37．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）整理后①+②得出 ，求出 ，再把 代入①求出 即可．
【详解】
解：（1）去分母，两边同乘6可得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，可得 ．
（2）方程组整理得 ，
由①+②得：
∴ ，
把 代入①得： ，
所以方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，熟悉相关解法是解题的关键．
38．（1） ；（2）
【分析】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
（1）解：
由①+②，得
解得，
把 代入①，得解得，
所以原方程组的解是
（2）解：
由① ② ，得
解得
把 代入①，得
解得
所以原方程组的解是 ．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
39．
【分析】
观察方程组，利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解： ，
②﹣①得，y＝2，
将y＝2代入①得，x＝﹣1，
∴方程组的解为 ．【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
40．（1）②；（2） ；（3）①36；②
【分析】
（1）观察图形即可得答案；
（2）大正方形由一个小正方形与4个相同的长方形组成，因而有：大正方形的面积=小正
方形的面积+4×一个小长方形的面积，从而可得等量关系；
（3）①根据（2）的结论即可完成；
②设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，根据面积之差可得一个方程，再根
据周长和为28cm可得另一个方程，解方程组即可，从而可得阴影部分的面积．
【详解】
（1）由图2可知，图中的阴影正方形边长表示正确的序号为②．
故答案为：②
（2）由图2可知：大正方形的面积为： ，小正方形的面积为： ，一个小长
方形的面积为：
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4×一个小长方形的面积
∴
故答案为：
（3）①由（2）可得：
∴
∵ ，
∴
②设大正方形的边长为 ，小正方形的边长为
则
∴∵两个正方形的面积之差为
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式的应用，二元一次方程组
的应用，观察图形的特征找出关系式是解题的关键．
41．（1）a=-1，b=10；（2）0.6
【分析】
（1）根据甲、乙同学都只看错了一个字母，因此解出的方程的解满足另一个没有看错的字
母所在的方程，因此只需要把方程的解代入求出没有看错的字母即可；
（2）根据（1）中的结果，进行代入求解即可.
【详解】
解： 由于甲看错了方程①中的a，得到的解为
∴
解得
∵乙看错了方程②中的b，得到的解为
∴
解得（2）
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，和利用算术平方根，立方根的性质
计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
42．（1）3；（2）①0，﹣3；②见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）将 的值代入方程即可求解；
（2）①根据（1）求得a，代入相应的 ，即可求解；②根据题意，将 转化为点的
横纵坐标，在直角坐标系中标记即可；
（3）观察图像，可以得到对应的点所组成的图形是一条直线．
【详解】
解：（1）将 代入方程2x+y＝a，得
2×2﹣1＝a，
解得a＝3，
故答案为：3；
（2）①∵a＝3，
∴2x+y＝3，
当y＝3时，2x+3＝3，
解得x＝0；
当x＝3时，2×3+y＝3，
解得y＝﹣3，
故答案为：0，﹣3；
②描点如图所示，（3）二元一次方程2x+y＝3的所有解对应的点所组成的图形是一条直线．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程的应用以及平面直角坐标标记坐标点，熟练掌握相
关基础知识是解题的关键．
43．（1） ， ；（2） ．
【分析】
（1）根据待定系数法计算即可；
（2）根据已知条件列出等式计算即可；
【详解】
（1）由题意可得， ，
可得： ；
（2）由（1）得 ，
∵ 的值为 ，
∴ ，
∴ ；【点拨】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关键．
44．（1） ；（2） ，图见解析
【分析】
（1）先整理方程组，再应用加减法可得；
（2）根据不等式性质求不等式组的解集，再在数轴上表示解集．
【详解】
解：（1）将方程组整理得：
③×2-④得： ；解得：
把 代入③得： ；解得：
∴原方程组的解是
（2）解不等式①得： ；
解不等式②得 ；
在数轴上表示不等式①、②的解集：
∴不等式组的解集是：
【点拨】考核知识点：解方程组和不等式组．掌握二元一次方程组解法和方程组解法是关
键．
45．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先整理方程组，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案；（2）先整理方程组，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案；
【详解】
解：（1） ，
由①得：x＝2y+5③，
把③代入②得：4y+10+7y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝﹣2+5＝3，
则方程组的解为 ；
（2）
方程组整理得： ，
①+②×3得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：1﹣3y＝﹣2，
解得：y＝1，
则方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法、加减消元法
解方程组．
46．（1） ；（2）
【分析】
（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】解：（1） ，
由①可得：y＝5﹣2x③，
③代入②，可得：3x﹣4（5﹣2x）＝2，
解得x＝2，
把x＝2代入③，解得y＝1，
∴原方程组的解是 ．
（2）
①×2﹣②×3，可得﹣5x＝﹣15，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝1，
∴原方程组的解是 ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键在于能够熟练掌握加减消元
法和代入消元法.
47．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据新定义就是即可；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解
即可．
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2， 故答案为-2；
（2）根据题中的新定义得： ， 解得： ；（3）由（2）化简得：A（x，y）= ，
∴在关于正数p的不等式组 中，
∴A（3p，2p-1）=7p-2＞4， A（-1-3p，-2p）=-2p+2（-1-3p）=-8p-2 m，
∴p＞ ，p≤
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为1，2．
∴2≤ ＜3，
∴-26＜m≤-18．
【点拨】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行
解方程和不等式组．
48．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据题意直接写出最小和最大的“称心数 ”即可；
（2）根据题意，分别求得 的值，再根据 ，列出二元一次方程，
根据“称心数”的定义，求得 的值，最后求其比值即可
【详解】
（1）根据题意：各数位上的数字互不相同且都不为0，
则最小的“称心数 ”为： ，最大的“称心数 ”为：
（2）即
根据题意 ， 且 ， ， ， 都是正整数
或 或者
当 时，
当 时，
当 时，
【点拨】本题考查了整式的加减，二元一次方程的特殊解，理解题意求出 是解
题的关键．
49．[类比探究（1）]： ，±5；[类比探究（2）]： ；[应用
探索结果解决问题]： ．
【分析】
[类比探究（1）]根据正方形 的面积 ，正方形 的面积 ，
即可得出 ；据此可得 的值．
[类比探究（2）]根据正方形 的面积 ，正方形 的面积 ，即
可得出 ；
[应用探索结果解决问题]根据 可得关于 ， 的方程组，求得 ， 的值．
【详解】
解：（1）如图2，正方形 的面积 ，正方形 的面积 ，
；
，且 ， ，
，
即 ，
的值为 ；
（2）如图3，正方形 的面积 ，
正方形 的面积 ，
，
即 ，
当 ， 时， ；当 ， 时， ，
，
解得 ．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关
键是运用面积法得出完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．解题时注意数形结合思想的运
用．
50．（1）11，3；（2）有，x=2，y=6
【分析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据题中的新定义化简已知等式，由x，y都为正整数，k为整数，确定出所求即可．
【详解】
解：（1）根据题中的新定义得：L（2，3）=2+3×3=2+9=11，；
（2）根据题中的新定义化简 =2，得： ，
解得：b=2，
化简L（x，kx）=18，得：3x+2kx=18，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
∴3+2k是奇数，
∴3+2k=1，3，9，
解得：k=-1，0，3，
当k=-1时，x=18，kx=-18，舍去；
当k=0时，x=6，kx=0，舍去；
当k=3时，x=2，kx=6，
综上，k=3时，存在正格数对x=2，y=6满足条件．
【点拨】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
51．（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
【分析】
（1）直接根据满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为
“间位等和数”判断即可；
（2）将 和 化为各数位数字关系式，根据题意分别写出 和 ，然后根据
得出 ，然后根据a，x的取值范围，分类讨论确定a，x的值，从
而可得k的最小值．
【详解】
解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2） ，其千位数为5，百位数为 ，十位数为4，个位数为b，
，即 ，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为 ，个位数为2，
，即
，
，
，
解得： ，
则由 或 或 ，
对应的y和b的值分别为： ； ； ，
， ， ， 且 ， ， ， 均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为 ； ； ，
故k的最小值为：0．
【点拨】本题主要考查新定义下的实数运算，整式的加减，解题的关键是利用类比的思想
进行解题．
52．（1） ；（2）4，5，6，9；（3）
【分析】（1）根据二元一次方程的解的定义求出即可；
（2）根据题意得出 或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【详解】
解：（1）由方程 得， （ 、 为正整数）．
要使 为正整数，则 为正整数，
可知： 为2的倍数，从而 ，代入 ．
所以 的正整数解为 ，
故答案为： ；
（2）若 为自然数，则 的值为6，3，2，1，
则满足条件的正整数 的值有9，5，6，4；
（3） ，
： ，
解得： ，
∵ ， 是正整数， 是整数，
∴ ． ．
但 时， 不是正整数，故 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求
出特殊解释解此题的关键．
53．(1) =6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.
【分析】
(1) =(217-127)÷15=6；(2)分1≤a＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.
【详解】
(1) 当 ， 时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为
，而 ，
∴ ．
(2)当 ， 时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a，
当1≤a＜5时，（500+10a）-（100a+50）=450-90a，而 ，
∴ = ，
∴ = ；
当a=5时，（500+10a）-（100a+50）=0，而 ，
∴ =0，
∴ =0；
当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a）=90a-450，而 ，
∴ = ，
∴ =a-5；
当 ， 时，可以得900+10x+8，100x+98．
∵ ，
∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x，而 ，
∴ = ，，
∴ = ；
当1≤a＜5时，5-a+27-3x=8,
∴a+3x=24,∴当a=1时，x= （舍去），当a=2时，x= （舍去），
当a=3时，x=7，当a=4时，x= （舍去），
∴a=3，b=78；
当a=5时，则27-3x=8,
∴x= （舍去），
当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,
∴3x-a=14,
∴当a=6时，x= （舍去），当a=7时，x=7，
当a=8时，x= （舍去），当a=9时，x= （舍去），
∴a=7，b=78；
综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.
【点拨】本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活
运用分类思想和枚举法是解题的关键.
54．（1）7441不是“诚勤数”； 5463是“诚勤数”；（2）满足条件的A为：2314或
5005或3250．
【分析】
（1）直接利用定义进行验证，即可得到答案；
（2）由题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5 a），百位数为
（5 b），然后根据13的倍数关系，以及“5类诚勤数”的定义，利用分类讨论的进行分
析，即可得到答案．
【详解】
解：（1）在7441中，7+4=11，4+1=5，
∵11 5，
∴7441不是“诚勤数”；
在5436中，
∵5+4=6+3=9，
∴5463是“诚勤数”；
（2）根据题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5 a），百位数为（5 b），且 ， ，
∴这个四位数为：
，
∵ ， ，
∴
，
∵这个四位数是13的倍数，
∴ 必须是13的倍数；
∵ ， ，
∴ 在 时，取到最大值60，
∴ 可以为：2、15、28、41、54，
∵ ，则 是3的倍数，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
①当 时， ，
∵ ，且a为非负整数，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
若 ，则 ，
此时 ；
若 ，则 ，
此时 ；
②当 时， ，
∵ ，且a为非负整数，
∴ 是3的倍数，且 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ；
综合上述，满足条件的A为：2314或5005或3250．
【点拨】本题考查了二元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出二元一次方程，结合新定义，利用分类讨论的思想进行解题．
55．（1） 不是“1阶倒差数”， 第5个“2阶倒差数” ；（2）c= ，d= ．
【分析】
（1）把 写成两个分子是1的两个真分数的差，即可；根据“2阶倒数差”的意义，当
n=5时，计算 即可；
（2）设未知数，根据“若d，c均是由两连续奇数组成的“2阶倒差数”，且
．”列方程解答即可．
【详解】
解： 不是“1阶倒差数”；
∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积，
∴ 不是“1阶倒差数”．
第5个“2阶倒差数”为： ＝ ；
（2）设m是由两个连续奇数2x 1，2x+1组成的“2阶倒差数”，
则m= = = .
∵c，d是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，
∴可设c＝ ，d＝ ，
∵ － ＝22，
∴ ，
即z2－y2＝11，
∴(z＋y)(z－y)＝11>0，
∴z＞y.
∵11＝1×11，∴ ，解得 ，
∴c= ，d= ．
【点拨】考查有理数的运算、二元一次方程组的解法、分式方程的解法以及新定义的“n
阶倒数差”的意义，理解“n阶倒数差”的意义是解决问题的前提．
56．（1） ；（2）2或 ；（3） ，证明见解析．
【分析】
（1）运用二次根式及分母有意义的条件求解．
（2）根据 点的不同位置讨论①当点 在 轴上方时，②当点 在 轴时，③当点 在
轴下方时，运用 的面积为6，求出 的值．
（3）由直角关系得出 ，由三角形外角得出 ，
，再由 ，得出 ，即可得出 ，过
点 作 的平行线，可得 ．从而得出结论．
【详解】
解：（1）由 得 ，
解得 ，
，
， ；
（2）①当点 在 轴上方时，如图1， 与 轴交于点 ，设 所在的直线为 ，
把 ， 代入，
得 ，解得 ，
，
， ，
，
的面积 的面积 的面积，
，
解得 ；
②当点 在 轴上时，如图2，
的面积 故不成立；
③当点 在 轴下方时，如图3， 与 轴交于点 ，
设 所在的直线为 ，把 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
求得 所在的直线解析式为： ，
；
，
的面积 的面积 的面积，
，
解得， ， 不合题意，
综上所述 的值为： 或 ；
（3） ．理由如下：
如下图4，
，
，
，
，
， ，
又 ，
，，
．
过点 作 的平行线，可得
，
，
，即 ，
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积及三角形内角和定理，熟悉相
关性质是解题的关键．
57．（1） ， ； ；（2）8
【分析】
（1）应用 与 的定义表示出 ，
，得到关于p和q的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据m与各个数位上数字之和能被16除余7，且 ，得到 为正整
数，即可得到c的值，再根据 得到x和b的二元一次方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ①，
∵ ， ，
∴ ②，
联立①，②，解得 ， ；
∵ ， ，
∴ ；（2）由题知，m与各个数位上数字之和能被16除余7，且 ，
∴
，结果为整数，
∵ ，
∴ 或32，
当 时，c不是整数，故舍去，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
， ，
， ，
∴ 的最小值为8．
【点拨】本题考查解二元一次方程组、新定义，理解题意是解题的关键．
58．（1）{－6，+3}；（2）①y=7，②a=3，点A表示的数1；（3）-3或-21
【分析】
（1）直接根据关联数的定义解题即可；
（2）①首先根据关联数的定义求出a的值，然后即可求解；②通过关联数的定义建立方程组求解即可；
（3）通过关联数的定义建立关于A，B的方程组，然后通过A，B的速度的关系找到A，
B之间的关系，最后通过解方程即可得出答案．
【详解】
（1）∵点A表示－3，a＝3，
，
∴点A的3关联数G（-3，3）＝{－6，+3}；
（2）①点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，
解得 ，
；
②∵G（A，a）＝{－2，7}，
解得 ；
（3）∵G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，
， ．
∵点A的速度是点B速度的3倍，
，
．
，
，
即 ，
解得 或 ．
【点拨】本题主要考查定义新运算，掌握关联数的定义是解题的关键．59．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；
（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.
【详解】
解：（1）
由①得x=3+y③
将③代入②得：y=
将y= 代入③得：x=
所以原方程组的解为：
（2）原方程组可化为：
①×2得：6x+4y=24③
②×3得：6x-9y=-15④
③-④得：13y=39，解得：y=3
将y=3代入①中得：x=2
所以原方程组的解为：
【点拨】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思
维.
60．24
【分析】
先利用平方根和立方根的定义得出关于 和 为未知数的方程组，求解后代入即可求值.也
可以不解方程组用整体思想求值.【详解】
解：∵ 的平方根是 ， 的立方根是
∴ ，
整理并联立成方程组：
解这个方程组得：
把 代入
61．（1）原方程组的解为 ；（2）
【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：
将方程 变形得:
把方程 代入 得: ，
所以
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ；
，
把方程 变形，得到 ，然后把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方
程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出
一个未知数，再代入求出另一个未知数．
62．（1）A是爱心点，B不是，理由见解析；（2）-2；（3）
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组 ，先求得n，再求得m，进一步得到
a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m=8+n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为
有理数，求出p，q的值．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
∵2×6=8+4，
∴点A是爱心点；
∵ ，
∴ ，
∵2×5≠8+14，∴点B不是爱心点；
（2）∵ ，
∴n=﹣10，
又∵2m=8+n，
∴2m=8+（﹣10），
解得m=﹣1，
∴﹣1﹣1=a，即a=﹣2；
（3）解方程组 得 ，
又∵点B是“爱心点”满足： ，
∴ ，
∵2m=8+n，
∴ ，
整理得： ，
∵p，q是有理数，p=0，﹣6q=4，
∴ p=0， q= ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组的应用、点的坐标，同时考查了阅读理解能力
及迁移运用能力．
63．（1） 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3） ， =
【分析】（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1， ）中，求出m和n的值，然后代入2m＝
8+n检验等号是否成立即可；
（2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1， ）中，分别用a、b表示出
m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公
式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限；
（3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据
p，q为有理数，即可求出p、q的值．
【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5， ＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4， ＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：
∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a， ＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，
所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（ ），即（1，﹣1），在第四象限．（3）解关于x，y的方程组 ，得： ．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1＝ p﹣q， ＝2q，
解得：m＝ p﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：2 p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得2 p﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使2 p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣ ．
所以P＝0，q＝﹣ ．
【点拨】本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点
坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方
程组的解法是关键．
64．（1） ；（2） ；（3）a＝3，b＝2．
【分析】
（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值
进一步可求出原方程组的解；
（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求
出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．
【详解】
解：（1）两个方程相加得 ，
∴ ，
把 代入 得 ，∴方程组的解为： ；
故答案是： ；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为 ，
由（1）可得： ，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴ ，
故答案是： ；
(3)由方程组 与 有相同的解可得方程组 ，
解得 ，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，
解题的关键是理解好整体思想．65．（1） ；（2）① ；②
【分析】
（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T（-2，0）=-2且T（5，-1）=6，得关于a、b的方程组，解方
程组即可；
②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m-10，m）=T（m，
3m-10）得关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1） ；
故答案为： ；
（2）①∵ 且 ，
∴
解得：
②∵a=1，b= ，且x+y≠0，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．【点拨】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解
新运算的规定并能运用是解决本题的关键
66．
【分析】
因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组
成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．
【详解】
和
解：联立①②得：
解得：
将 代入③④得：
解得：
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．
67．
【分析】
根据已知条件，先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m
的取值范围便可．【详解】
解：解方程组 得 ： ，
解方程组 得 ： ，
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，
因此有： 且 ，
化简得： ，即
解得： ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的
阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是
解题的关键．
68．（1） （答案不唯一）；；（2）B；（3）； 、 购买有4种方案：①买蓝球
10个，不买排球；②买蓝球7个，排球4个；③买蓝球4个，排球8个；④买蓝球1个，
12个排球.
【分析】
（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时（可为其他值），可求出y的一个整数解；
（2）由题意可知x-3是12的因数，即可确定x的可能值；
（3）设购买篮球x个，排球y个，根据总价=单价×数量的等量关系，列出关于x，y的二
元一次方程，然后讨论x、y的值即可解答．
【详解】
解：（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，
当x=3时，可得y=3；故答案为： （答案不唯一）；
（2）由题意可知x-3是12的因数，
则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12;
则x的的取值有6种可能性
故答案为B；
（3）设购买蓝球 个，排球 个，依题意
，即x=10- 、 均为非负整数.
∴ ， ， ，
∴ 、 购买有4种方案
①买蓝球10个，不买排球；
②买蓝球7个，排球4个；
③买蓝球4个，排球8个；
④买蓝球1个，12个排球.
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、列出二元一次方程并掌握讨论
解的方法是解答本题的关键．
69．a=8，
【分析】
由x、y互为相反数得x=-y，即用y表示x，达到消元的效果，代入方程组方程②即求出y
的值，再代入①求a的值．
【详解】
解：∵x、y的值互为相反数
∴x=-y，代入方程组得：
解②得：5y=-10
∴y=-2∴x=2
把y=-2代入①得：-8×（-2）=2a
解得：a=8
∴方程组的解为
【点拨】本题考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法的应用．
70．(1) 点A在第二象限；(2) ( ， )或( ， )； (3) ( ， )或( ， )
【分析】
(1)根据平方根的意义得到 ，然后根据各象限点的坐标特征可判断点A在第二象限；
(2)先利用方程组，用 表示 、 得 ， ，则B点坐标为( ， )，再利用
点A到 轴的距离是点B到 轴距离的2倍得到 ，则 或
，分别解方程求出 的值，于是可求出B点坐标；
(3)利用A( ， )和B( ， )得到AB与 轴平行，由于点D的坐标为(2， )，
△OAB的面积是△DAB面积的3倍，则判断点A、点B在 轴的下方，即 ，根据三
角形面积公式即可求得 的值，于是可求出B点坐标．
【详解】
(1)∵ 没有平方根，
∴ ，
∴ ，
∴点A在第二象限；
(2)解方程组 ，用 表示 、 得 ， ，
∴B点坐标为( ， )，
∵点A到 轴的距离是点B到 轴距离的2倍，
∴ ，当 ，解得 ，此时B点坐标为( ， )；
当 ，解得 ，此时B点坐标为( ， )；
综上所述，B点坐标为( ， )或( ， )；
(3)∵点A的坐标为( ， )，点B坐标为( ， )，
∴AB与 轴平行，
∵点D的坐标为(2， )，且 ，
∴点A、点B在 轴的下方，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 ，解得 ，此时B点坐标为( ， )；
当 ，解得 ，此时B点坐标为( ， )；
综上所述，B点坐标为( ， )或( ， )．
【点拨】本题考查了平方根的定义，方程组的解法，坐标与图形性质：利用点的坐标计算
线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
71．（1） （2） （3）
【分析】
（1）将 代入两个方程，得到含 、 的两个方程，让两个方程相加即可得解；
（2）根据二次根式有意义的条件可得 ，与另外两个等式组成关于 、 、 的方程
组，解方程组求得 、 、 的值后，代入 即可求得 的
值，最后再求其平方根即可；
（3）将等式 乘以 再与等式 相加即可得解．【详解】
解：∵实数 、 、 满足等式 ， ，
∴
∴ 得，
∴ ；
（2）∵
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ 的平方根为 ；
（3）∵
∴ 得， ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组、二次根式有意义的条件、求
一个数的平方根、利用代入消元法和加减消元法求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解
决问题的关键．72．
【分析】
根据题意将原方程组中两个方程相加，进而利用加减法得出 ，变形代入即可求
解.
【详解】
解：将原方程组中两个方程相加，得： ，
又
，
由 得： ，
.
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平方差公式
是解题的关键.
73．
【分析】
将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m-n=2b-1，结合已知条
件列出关于b的方程求解即可．
【详解】
解：∵ ， 都是关于 ， 的二元一次方程 的解，
∴将 ， 代入 得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．化简得 ，解得： ．
【点拨】本题主要考查的是二元一次方程的解和解一元二次方程，列出关于b的一元二次
方程是解题的关键．
74．1
【分析】
将 代入 ，原方程变为关于 的一元一次方程组，然后求出 即可
得解．
【详解】
解：将 代入 得：
解得
∴
【点拨】本题考查了方程组的解得定义及方程组的解法，将方程组的解代入方程组求待定
系数是解决本题的关键．
75．m、n的值为 、﹣ ．
【分析】
将方程组中 与 重新组成方程组求解，将该方程组的解代入到
与 中，再解方程组即可得到m与n的值.
【详解】
根据题意，得
，解得 ，
把x、y的值代入方程组，
，
解得 ，
答：m、n的值为 、﹣ ．
【点拨】此题考查解二元一次方程组，根据方程组的解求方程组中其他未知数的值，将4
个方程重新组合方程组是解题的关键.
76． ， 方程 的解．
【分析】
将x=-2，y=-1代入①计算求出m的值，将x=1，y=2代入②中计算求出n的值，即可做出
判断．
【详解】
解：将 ， 代入 得： ，即 ，
将 ， 代入 得： ，即 ，
将 ， 代入 的左边得： ，右边 ，即左边 右边，
， 是方程 的解．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，弄清题意是解本题的
关键．
77． ．
【分析】
根据 是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据 是方程组的解，把解代入 ，可得方程组 ，解方程组，可得答案．
【详解】
解：把 代入方程 ，把 代入方程组，得
，
得
得 ，
把 代入 得 ，
，
解 得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入
消元法，得出答案．
78．（1） ；（2）甲把 看成的数是 ，乙把 看成的数是 .
【分析】
（1）根据题意，把 代入 ，求出b的值，把 代入 ，求
出a的值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把 代入 ，求出a的值，把 代入 ，求
出b的值，即可.
【详解】(1)∵在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得：b=10，
∵乙看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得：a=-1，
∴原方程组是：
①×2+②，得：2x=28，解得：x=14，
把x=14代入①，得：-14+5y=15，
解得： ，
∴原方程组的正确解是： ；
（2） ∵在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，而得解为
，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，∵乙看错了方程组中的 ，而得解为 ，
∴把 代入 ，得： ，
解得： ，
答：甲把 看成的数是 ，乙把 看成的数是 .
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和
解二元一次方程组的步骤，是解题的关键.
79．（1）-1,3（2）①2；②有，分别是
【分析】
（1）根据题干定义，将x=2，y=-1和 代入到 求值即可；
（2）①将 带入到 ，即可求出b值；②由①可得出
，将 代入式中，表示出kx，根据题干 ， 都取正整数，分
析求解即可.
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ，
故答案为-1，3；
（2）①∵
∴ ，解得 ；
②由①可知 ，∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵x、y均为正整数，k为整数
∴x为偶数，
∴满足这样条件的正格数为
【点拨】本题考查的是新定义的理解能力，设计二元一次方程的解和一元一次不等式的知
识，能够充分理解题干定义是解题的关键.
80． .
【分析】
先对方程组的每一个方程进行化简，再利用加减消元法解方程组.
【详解】
解：原方程组可化为
（1）+（2），得
把 代入（1），得
所以原方程组的解是 .
【点拨】本题考查解二元一次方程组，多项式乘以多项式.本题方程组看起来比较繁琐，一
定要对每一个等式进行化简，再解方程组.
81．10【分析】
根据题意，找出新定义的化简规律，对等式进行化简即可.
【详解】
解：根据题中的新定义化简已知等式，得 ，解得 ，则
.
故 的值为10.
【点拨】此题重点考查学生对二元一次方程组的解法的应用，掌握二元一次方程的解法是
解题的关键.
82．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设 =x， =y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出
a、b的值；（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即
可.
【详解】
（1）设 =x， =y，
原方程组可变形为 ，
解得： ，即 ，
解得： .
（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，
原方程组可变形为： ，∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
解得： .
故答案为：
【点拨】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.
83．（1） ；（2）k ＜﹣ ；（3）m的值为1或2．
【分析】
（1）把k当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得 的值代入 ，即可求出 的取值范围；
（3）将（1）中得 的值代入 得m=7k﹣5．由于m＞0，得出7k﹣5＞0，及
得出解集 进而得出m的值为1或2
【详解】
（1）
②+①，得4x＝2k﹣1，
即 ；
②﹣①，得2y＝﹣4k+3
即所以原方程组的解为
（2）方程组的解x、y满足x+y＞5，
所以 ，
整理得﹣6k ＞15，
所以 ；
（3）m＝2x﹣3y＝
＝7k﹣5
由于m为正整数，所以m＞0
即7k﹣5＞0，k＞
所以 ＜k≤1
当k＝ 时，m＝7k﹣5＝1；
当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．
答：m的值为1或2．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解
题的关键.
84．k>0.5
【解析】
【分析】
通过观察，两式相减便会出现关于x-y的等式，然后与x-y＜0对比，即可快速确定k的取
值范围.
【详解】
.解：两式相减得x-y=-2k+1，
因为x-y<0，所以-2k+1<0，所以k>0.5.
【点拨】本题主要考查求解二元一次方程组中参数的取值范围．但观察出两式相减即会出
现关于x-y的等式，是解答本题的关键.85．k=26，10，8，-8．
【分析】
将原式转化，得到 ，根据x与k均为整数，即可推出k的值．
【详解】
，
，
，k都是整数，
，x都是整数，
， ，1或17，
，10，8， ．
【点拨】本题考查了二元一次不定方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解
限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．
86．(1)见解析；(2)见解析.
【分析】
（1）分AB＝AC、BC＝AC和AB＝BC三种情况列方程即可求解；（2）分别求出上述三
种情况列出的二元一次方程的整数解即可.
【详解】
(1)分三种情况考虑：
①若AB＝AC＝x，则2x＋y＝12；
②若BC＝AC＝y，则x＋2y＝12；
③若AB＝BC＝x＝y，则x＝y.
(2)①由2x＋y＝12可得y＝12-2x，再由三角形的三边关系即可求得方程2x＋y＝12的整数
解为 ， ；
②由x＋2y＝12可得x＝12-2y，再由三角形的三边关系即可求得方程x＋2y＝12的整数解
为 ， ；③由x=y，根据三角形的三边关系可得 ， .
【点拨】本题考查了二元一次方程的整数解，解决本题时要注意分情况求解，不要漏解，
注意运用三角形的三边关系确定方程的整数解.
87．（1）4；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据代入法，把已知的二元一次方程的解代入方程即可求解a的值；
（2）利用（1）中的a值，得到二元一次方程组，代入求解完成表格，然后描点即可.
【详解】
（1）将 代入2x+y=a，解得a=4.
（2）完成表格如下：
x -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2
描点、连线如下：由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．
【点拨】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．
一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字
母的值．
88．（1）a=2，b=﹣3；（2） ．
【分析】
（1）甲把字母a看错了，而方程②中没有a，故可以将甲的答案代入②中求出b；乙把字
母b看错了，而方程①中没有b，故可将乙的答案代入①中求出a；（2）将所求得的a、b
的值代入原方程组后，解方程组求解．
【详解】
（1）根据题意得： ，
解得：a＝2，b＝﹣3，
（2）方程组为 ，
解得 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方
程左右两边相等的未知数的值．
89．（1）方程的正整数解是 或 ．（只要写出其中的一组即可）；（2）满足
条件x的值有4个：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元
的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；
或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．
【解析】
（1）
---------------------------．（2） C
（3）解：设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，
由题意得： 3x+5y=35
此方程的正整数解为
有两种购买方案:
方案一：购买单价为3元的笔记本5个，购买单价为5元的钢笔4支．
方案二：购买单价为3元的笔记本10个，购买单价为5元的钢笔1支
（1）只要使等式成立即可
（2）x-2必须是6的约数
（3）设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，根据题意列二元一次方
程，去正整数解求值
90．(1) 6，10；(2) 。
【解析】
【分析】
（1）下行-上行后将下行除以3将 的系数化为1即可得方程组的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将 、 的系数化为1可得.
【详解】
解：（1）下行﹣上行， ，
故答案为：6，10；
（2）
所以方程组的解为 ．
【点拨】本题主要考查矩阵法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组
是解题的关键.91．（1）-6.5；（2） ；（3）1≤x<4.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据立方根的意义，平方根的意义求解即可；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（3）分别求解两个不等式，然后根据不等式的解集的确定方法求解即可，并表示在数轴上.
详解：（1）
=-2+0- -4
=-6.5
（2）
由①得y=2x-5 ③
把③代入②可得7x-3（2x-5）=20
解得x=5，
把x=5代入③可得y=5
所以
（3）
解不等式①得x≥1
解不等式②得x＜4
所以不等式组的解集为1≤x＜4.
用数轴表示为：
.点拨：此题主要考查了实数的计算、解二元一次方程组、解不等式组，关键是明确各种计
算的特点，选择合适的解法求解即可.
解二元一次方程组的方法：加减消元法、代入消元法.
判断解集的方法：都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
92．
【解析】
解：
，得
，得 即
把 代入②，得 即
∴原方程组的解为
93．1和-1
【解析】
分析：根据甲看错了方程（1）中的a，解得 ，将 代入4x=by-2，以及把
，代入ax+5y=15，即可得出a，b的值，求出即可.
详解：把 代入（2）得-8=b-2；
所以b=-6
把 代入（1）得5a-20=15
所以a=7a+b的平方根等于1和-1
点拨：此题主要考查了二元一次方程组的解以及幂的乘方运算，根据已知分别得出a，b的
值是解决问题的关键．
94．（1）a>1；（2）a 的值为2.
【详解】
分析：（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到
关于a的不等式求解即可；
（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y
可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三
角形．
详解：（1） 得： ，
∵ ，且的二元一次方程组 的解都为正数.
∴ ，
∴ ，即a>1.
（2）因为二元一次方程组的解是等腰三角形的一条腰和底边长，周长为9，
分类讨论：①当x=a-1为腰时，有：
2（a-1）+a+2=9，
解得a=3，
此时三角形三边为（2，2，5）（不符合题意，舍去）
②当y=a+2为腰时，有：
2（a+2）+a-1=9，
解得a=2，
此时三角形三边为（1，4，4）（符合题意）
综上所述：a 的值为2.
点拨：本题考查了等腰三角形的性质, 二元一次方程组的解, 三角形三边关系.
95．-1【解析】
分析：将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组 再运用加
减消元法求出k、b的值，最后代入求值即可．
详解：由题意得方程组
由②-①得4k=2，解得k= .
把k= 代入①，得b= ，则3k-b= - =-1.
点拨：本题考查的是二元一次方程组的加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的
数．
96．
【解析】
方程组整理得:
①+②得:8x=24,解得:x=3,
把x=3代入②得:y=−5,则方程组的解为
97． ，
【分析】
分析：根据题意，把方程②因式分解为ab=0的形式，然后构造二元一次方程组，再根据加
减消元法或代入消元法求解方程即可.
【详解】
详解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0
x﹣2y=0或x+y=0
原方程组可化为 ，
解得原方程组的解为 ，
∴原方程组的解是为 ，
点拨：此题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，利用加减消元法或代入消元法解方程
组，应用因式分解法对方程变形是解题关键，有一定的难度，是中考扩展型的题目.
98． 或
【解析】
分析： ，需要分类讨论，当x≥－x时，x＝ ；当x＜－x时，－x＝ ；
因为3x＋9＜3x＋11，所以 所表示的方程为3x＋9＝4y，则可得到两
个二元一次方程组.
详解：当x≥－x时，x＝ ，原方程组变形为：
，解得 .
当x＜－x时，－x＝ ，原方程组变形为：
，解得 .
点拨：本题考查了新定义及二次一次方程组的解法，对于新定义，要理解它所规
定的运算规则，再根据这个规则，列式或列方程(组)，解二元一次方程组的基本
思路是消元，通过消元化二元一次方程组为一元一次方程，解一元一次方程求出
其中的一个未知数，再代入原方程组中的一个方程中，求另一个未知数，消元的
方法有两种：代入消元法和加减消元法，用加减消元法时，尽量消系数的最小公
倍数比较小的字母.
99．（1）方程组的解为 ；（2）19.
【分析】
（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值；
（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．
【详解】
解：（1）由②得：3（3x-2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，
解得：y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为 ；
（2）由①得：3（x2+4y2）-2xy=47③，
由②得：2（x2+4y2）+xy=36④，
③+④×2得：7（x2+4y2）=119，
解得：x2+4y2=17．
③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，
④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，
⑥-⑤得：7 xy=14
xy=2.
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
100．
【解析】
试题分析：两个方程作差，可得 用k表示.
试题解析：
解：∵
① ② ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
