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专题 5.3 应用二元一次方程组—鸡兔同笼（知识解读）
【学习目标】
1、通过对“鸡兔同笼”问题一题多解，会找出等量关系列出方程，感受方程是刻画现实世
界数量关系的有效模型，初步体会用二元一次方程组也能解决实际问题；
2、通过对“牛羊直金”问题的分析，体会用二元一次方程组解决实际问题的有效性，并能
类比一元一次方程解应用题的步骤，归纳出用二元一次方程组解应用题的一般步骤；
3、感受解题方法的多样化，培养数学应用意识和小组合作交流能力，发展数学模型思想，
感受中国数学家的伟大和中国古代文化的博大精深。
【知识点梳理】
类型一：鸡兔同笼问题
类型二：牛羊值金问题
类型三：几何问题
类型四：球赛积分问题
类型五：盈不足问题
【典例分析】
【类型一：鸡兔同笼问题】
【典例1】大约在1500年前成书的《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有鸡兔同
笼，上有二十五头，下有七十六足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡
兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡
和兔？设笼中有x只鸡y只兔，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．C． D．
【变式1-1】一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只
脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方
程组为 （列出方程组即可，不求解）．
【类型二：牛羊值金问题】
【典例2】“（中国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；
马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”若设马的价格为x两/匹、牛的价
格为y两/匹，则可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有
牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有
牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多
少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”
设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【类型三：几何问题】
【典例3】图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方
形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，下列方程组正确的是（
）
A． B．
C． D．
【变式3-1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每
个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
【变式3-2】如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方
形ABCD，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相
等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形和纸板
180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以
下列出的方程组中正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【类型四：球赛积分问题】
【典例4】在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，
某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为
（ ）A． B．
C． D．
【变式4-1】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某
队在10场比赛中得到16分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（
）
A． B．
C． D．
【变式4-2】小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，
若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现
爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意
列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【类型五：盈不足问题】
【典例5】某校运动员按规定组数进行分组训练，若每组6人，余4人；若每组8人，则缺
3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共
车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？
设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈三；人出七，不足五．问
人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出 9钱，多余3钱，每人
出7钱，还差5钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，
则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【典例6】《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：
屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩
余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x
尺，绳子长y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一
托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿
和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比
竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）A． B．
C． D．
【变式6-2】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，
绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．专题 5.3 应用二元一次方程组—鸡兔同笼（知识解读）
【学习目标】
1、通过对“鸡兔同笼”问题一题多解，会找出等量关系列出方程，感受方程是刻画现实世
界数量关系的有效模型，初步体会用二元一次方程组也能解决实际问题；
2、通过对“牛羊直金”问题的分析，体会用二元一次方程组解决实际问题的有效性，并能
类比一元一次方程解应用题的步骤，归纳出用二元一次方程组解应用题的一般步骤；
3、感受解题方法的多样化，培养数学应用意识和小组合作交流能力，发展数学模型思想，
感受中国数学家的伟大和中国古代文化的博大精深。
【知识点梳理】
类型一：鸡兔同笼问题
类型二：牛羊值金问题
类型三：几何问题
类型四：球赛积分问题
类型五：盈不足问题
【典例分析】
【类型一：鸡兔同笼问题】
【典例1】大约在1500年前成书的《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有鸡兔同
笼，上有二十五头，下有七十六足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡
兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡
和兔？设笼中有x只鸡y只兔，则所列方程组正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得： ，
故选：A．
【变式1-1】一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只
脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
依题意得 ．
故选：A．
【变式1-2】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方
程组为 （列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：
．故答案为 ．
【类型二：牛羊值金问题】
【典例2】“（中国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；
马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”若设马的价格为x两/匹、牛的价
格为y两/匹，则可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y＝48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y＝38．
∴可列方程组为 ．
故选：A．
【变式2-1】中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有
牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有
牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多
少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解答】解：依题意得： ．
故选：B．
【变式2-2】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十
八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”
设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y＝48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y＝38．
∴可列方程组为 ．
故选：C．
【类型三：几何问题】
【典例3】图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方
形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，下列方程组正确的是（
）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：依题意得： ，
故选：A．
【变式3-1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每
个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据图示可得： ．
故选：B．
【变式3-2】如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方
形ABCD，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：
．
故选：A．
【变式3-3】某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相
等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形和纸板
180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以
下列出的方程组中正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：因为能做成x个A型盒子，y个B型盒子，根据正方形和纸板180张，长
方形纸板340张，刚好全部用完，所以可以列出方程组： ．
故选：B．
【类型四：球赛积分问题】
【典例4】在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，
某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵该队共比赛12场，
∴x+y＝12；
∵该队共得到16分，
∴2x+y＝16．
∴所列方程组为 ．
故选：A．
【变式4-1】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某
队在10场比赛中得到16分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，得 ．
故选：A．
【变式4-2】小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，
若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现
爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意
列出的方程组正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意可得： ，
故选：D．
【类型五：盈不足问题】
【典例5】某校运动员按规定组数进行分组训练，若每组6人，余4人；若每组8人，则缺
3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得：
．
故选：A．
【变式5-1】我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共
车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还
剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？
设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：依题意得： ．
故选：A．
【变式5-2】《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈三；人出七，不足五．问
人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出 9钱，多余3钱，每人
出7钱，还差5钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，
则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【典例6】《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：
屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩
余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x
尺，绳子长y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺，
∴y﹣x＝5.4；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴x﹣ ＝1．
∴所列方程组为 ．
故选：C．
【变式6-1】我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一
托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿
和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比
竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根
据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短 5尺，可得出方程为x﹣5＝ ，那么方程组是
．
故选：A．
【变式6-2】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，
绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得， ，
故选：B．
