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专题5.1 认识二元一次方程组（知识讲解）
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方
程．
特别说明：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组
解．
特别说明：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
x2,
y 5.
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3x10
x2y 5
特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一
次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别说明：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成
xa
y b
的形式．
2x y 5
2x y 6
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解，
x y 1
2x2y 2
而方程组 的解有无数个．
【典型例题】类型一、二元一次方程的定义
1．已知方程mxm－1＋yn－8＝5是关于x，y的二元一次方程．求m2－2mn＋n2的值．
【答案】49
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的
整式方程，可得m、n的值，再根据代数式求值，可得答案．
解：由方程 ＋ ＝5是关于x，y的二元一次方程，得：m－1＝1，n－8＝1，
解得m＝2，n＝9，当m＝2，n＝9时，m2－2mn＋n2＝(m－n)2＝(2－9)2＝49.
【点拨】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含
有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
举一反三：
【变式1】方程 是二元一次方程，求 ， ．
【答案】 ， ．
【解析】【分析】只含有两个未知数，且未知数项的系数都是1的方程叫二元一次方
程.所以， ， ，可再求得答案.
解: 根据二元一次方程的定义，
， ，
解得 ， ．
【点拨】本题考核知识点：二元一次方程的定义. 解题关键点：理解二元一次方程的
定义.
【变式2】已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
(2)当m为何值时．它是二元一次方程？
【答案】(1)当m＝－2时，它是一元一次方程；(2)当m＝2时，它是二元一次方程．
【分析】
(1)根据一元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2＝0或m2－4＝0且m＋1＝0；(2)
根据二元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0.
解：(1)依题意，得①m2－4＝0且m＋2＝0，解得m＝－2，②m2－4＝0且m＋1＝0，无解，即当m＝－2时，它是一元一次方程；
(2)依题意，得m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0，解得m＝2，
即当m＝2时，它是二元一次方程．
【点拨】此题主要考查二元一次方程的定义，熟知一元一次方程与二元一次方程的定
义是解题的关键.
类型二、二元一次方程组的识别
2．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
．
【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断．
解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组
符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；
（3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方
程组；
（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；
（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组
符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由
两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
举一反三：
【变式1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是_______．
① ；② ；③ ；④【答案】③④
【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项．
解：由二元一次方程组的概念可得：① ；② 是二元一次方程组，③
；④ 不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高
次项是2次，
故答案为③④．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解
题的关键．
【变式2】下列方程组中：① ；② ；③ ；④ ，
其中是二元一次方程组的有______________．（填序号即可）
【答案】①②④
【分析】根据二元一次方程组的定义：“方程组中一共含有两个未知数，含有未知数
的项的最高次数是1”，从而可得答案．
解：由二元一次方程组的定义得到：① ，② ，④ 是二元
一次方程组，而③ 是三元一次方程组．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义是解题的关键．
【变式3】已知方程组 是二元一次方程组，求m的值．
【答案】m=5
解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，解得：m=5．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方
程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方
程．
类型三、二元一次方程的解
3．若 是关于 、 的方程 的一个解，且 ，求 的
值．
【答案】－3
【分析】要求 的值，要先求出 和 的值，根据题意得到关于 和 的二元一次
方程组，再求出 和 的值．
解：把 带入方程 ，
得到 ，
∵ ，
∴得到关于 和 的二元一次方程组：
，解得： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解一元二次方程组，根据题意得到关于
和 的二元一次方程组是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知下列五对数值:
① ④
(1)哪几对数值是方程 x-y=6的解?
(2)哪几对数值是方程2x+31y=-11的解?(3)指出方程组 的解.
【答案】（1）①②③ （2）③④⑤ （3）③
【分析】
(1)把每组数据代入方程进行判断即可；(2)把每组数据代入方程进行判断即可；(3)在
①②中的公共解就是方程组的解．
解：(1)只有①②③满足方程 x－y＝6,所以①②③是方程 x－y＝6的解.
(2)只有③④⑤满足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.
(3)③是方程组 的解.
【点拨】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是
本题解题的关键.
类型四、二元一次方程组的解
4．已知关于 ， 的方程组 ．
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 ，求 的值；
（3）无论实数 取何值，方程 总有一个固定的解，请直接写出这个
解．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】
（1）将方程x+2y-6=0化为y=3- x，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将x+y=0与x+2y-6=0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：
x-2y+mx+5=0中，可得m的值；（3）根据方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，
可得这个解．
解：（1） ，
，
又因为 ， 为正整数，
，
即： 只能取2或4；
方程 的所有正整数解： ， ；
（2）由题意得： ，
解得 ，
把 代入 ，
解得 ；
（3） 方程 总有一个固定的解，
， ．
．
【点拨】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算
法则和求方程组的解是本题的关键．
举一反三：
【变式1】判断 ，是不是二元一次方程组的 ，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程．
解：把 代入 ，左边 右边，
，是二元一次方程组 ，的解．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义可知解答过程不正确，应把 分别代
入两个方程验证即可.
解：小华的解答过程不正确，正确的解答过程如下：
把 ，代入方程 ，
∵左边 ，右边 ，左边=右边，
∴ ，是方程 的解；
把 ，代入方程 ，
∵左边 ，右边 ， ，
∴不是方程 的解
∴ ，不是方程 的解.
综上所述， 不是二元一次方程组 的解.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方
程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
【变式2】判断 是否是二元一次方程组 的解.
【答案】不是【分析】将x和y的值带入到二元一次方程组中看是否正确即可得出本题答案.
解：将 分别代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以
不是方程组 的解.
【点拨】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题
解题的关键.
