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《完全平方公式》典型例题
例1 利用完全平方公式计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
例2 计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
例3 用完全平方公式计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
例4 运用乘法公式计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
例5 计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
例6 利用完全平方公式进行计算：（1） ；（2） ；（3）
例7 已知 ，求下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） ．
例8 若 ，求证： ．
1 / 6参考答案
例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行
计算．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公
式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现
的错误．
例2 分析：（2）题可看成 ，也可看成 ；（3）题可看成
，也可以看成 ，变形后都符合完全平方公式．
解：（1）
（2）原式
或原式
（3）原式
2 / 6或原式
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．
例3 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式 为公式中a， 为公式中
b，利用差的平方计算；第（2）小题应把 化为 再利用和的平方计算
第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把 作为公式中的a， 作为
公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．
解：（1） =
（2） =
（3）
=
说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误： ，
．
例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平
方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 ，和互为相
反数的项b，所以先利用平方差公式计算 与 的积，再利用
完全平方公式计算 ；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为
，再利用乘法公式计算．
解：（1）原式=
（2）原式=
3 / 6=
（3）原式=
= ．
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，
以达到简化运算的目的．
例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项
第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续
应用公式．
解：（1） ；
（2）
；
（3）
．
说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个
整体来研究．
例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两
个数的和或差．
解：（1） ；
（2） ．
（3） ＝
说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必
须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．
4 / 6例7 分析：（1）由完全平方公式 ，可知
，可求得 ；
（2） ；
（3） ．
解：（1）
（2）
（3）
说明：该题是 是灵活运用，变形为 ，
再进行代换．
例8 分析：由已知条件展开，若能得出 就可得
到 进而 同时此题还用到公式
．
证明：由 得
则
∵
∴
即 得 ．
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