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专题 5.1 认识二元一次方程
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组
的解。
教学目标 2. 能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作
用。
3. 感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。
1.重点
（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足
所有方程。
（2）能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。
教学重难点
2.难点
（1）区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特
性。
（2）从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方
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学科网（北京）股份有限公司程。
知识点01 二元一次方程的概念
二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程.
【即学即练1】下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 二元一次方程组的概念
1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组.
注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而
成，方程个数也不一定是两个.
2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是
否含有多个方程组成.
【即学即练2】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 二元一次方程的解
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
【即学即练3】下列哪组数是方程 的解（ ）
A． B． C． D．
知识点04 二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解.
2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有
方程不成立，则不是方程的解.
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解.
【即学即练4】已知下面三对数值： ； ； ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)哪几对能使方程 左、右两边的值相等？
(2)哪几对能使方程 左、右两边的值相等？
(3)二元一次方程组 的解是什么？
题型01 判断是否是二元一次方程
【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，二元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 根据二元一次方程的定义求字母的值
【典例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于 的方程 是二元一次方程，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 是关于x，y的二元一次方程，
则m的值为 ．
【变式2】若方程 是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程 是二元一次方程，则
．
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学科网（北京）股份有限公司题型03 判断是否是二元一次方程的解
【典例3】下列各组x、y的值中不是二元一次方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各对数是二元一次方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】方程 的解不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列二元一次方程组的解是 的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 二元一次方程的解代入求值
【典例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若 是关于 的方程 的一个解，则 的值为
．
【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知 是二元一次方程 的一个解，则
．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个解，求 的值．
题型05 二元一次方程的整数解
【典例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程 的一个整数解 ．
【变式1】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程 的正整数解共有（ ）组．
A．4 B．3 C．2 D．1
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学科网（北京）股份有限公司【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记
载了求不定方程（组）解的问题．例如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程
的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程 ．
(1)直接写出它所有的正整数解；
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 ．
题型06 判断是否是二元一次方程组
【典例6】下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
① ② ③ ④ ．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型07 判断是否是二元一次方程组的解
【典例7】下列方程中，解为 的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】解为 的方程组可以是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【变式2】下列各组数中，是二元一次方程组 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知 ， ， 是二元一次方程 的三个解， ， ， 是
二元一次方程 的三个解，则二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
题型08 根据二元一次方程组的解求字母的值
【典例8】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知 是关于 的二元一次方程组 的
一组解，则 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【变式1】已知 与 都是方程 的解，则 ， ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的值为 ．
【变式3】小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●
和■，则●是 ．
题型09 根据实际问题列二元一次方程
【典例9】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，
该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 的系数与相应的常数
项，即 可表示方程 ．按照上述规则，则 表示的方程是
．
【变式1】某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量
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学科网（北京）股份有限公司比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ．
【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图 方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、
各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ．
3
x
y 4
y-1 y-x+4 3
x-y+4 x x+y-4
y x-1 4
【变式3】（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文
为：今有人合伙买玉石，每人出 钱，会多出4钱．设人数为 人，玉石价格为 钱，则可列关于 ， 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值
为（ ）
A． B．3 C．9 D．11
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）有下列方程组：① ② ③ ④
其中二元一次方程组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、
北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的
平均速度分别为 千米/小时和 千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知方程 是二元一次方程，则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是二元一次方程组
B．方程 的解只有
C．方程 的解必是方程组 的解
D．由方程组 可得出 与 之间关系是
二、填空题
8．（24-25七年级下·全国·期中）如果 是二元一次方程，则 ＝ ．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在① ② ③ 中， 是二元一次方程
的解， 是二元一次方程 的解， 是二元一次方程组 的解．
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学科网（北京）股份有限公司（填序号）
10．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：
个和尚分 个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和
尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组：
．
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若第一象限的点 满足 ，
且 均为整数，则满足条件的点有 个．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组 是关于 的二元一次方程组，则
的值为 ．
13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组 的解是 ，其中 的值被墨渍盖住了，则
的值为 ．
三、解答题
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程组：
(1)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有1个
笼无鸡可放．有多少只鸡？有多少个笼？
(2)某企业去年国内、国外销售总收入为1000万元，因金融风暴，今年的总收入比去年的总收入降低了
10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%．去年国内和国外销售收入分别为多少元？
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知 和 都是二元一次方程 的解，则
是否也是方程 的解？请说明理由．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断 是不是二元一次方程组 的解．
小恒的解答过程：将 代入方程 中，等式成立，所以 是该方程组的解．小恒的解答过
程是否正确？若不正确，请说明理由．
18．（2025八年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二元一次方程，
则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．
解得 ．故选A．
19．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程 （k为常数）．
(1)当 ， 时，求k的值；
(2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解．
20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 都是实数，设点 ，且满足 ，我们称
点 为“梦之点”．
(1)判断点 是否为“梦之点”；
(2)若点 是“梦之点”，请判断点 在第几象限，并说明理由．
21．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中
a，b，c，均为常数且 ， ，规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)【探索发现】二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一
组解，且 均为正整数，求m，n的值．
22．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式（ 、 是常
数， ），则其中一对常数 、 称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 ．例如二元一次方
程 变形为 ，则二元一次方程 的“相伴系数对”为 ．
(1)二元一次方程 的“相伴系数对”为____________．
(2)已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，求出这
个二元一次方程；
(3)关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求 的
值．
23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习） “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学
家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格
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学科网（北京）股份有限公司上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿
斜线方向相加， 得3266．
(1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出： _____
(2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系；
(3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值．
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