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专题5.31 《二元一次方程组》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；
2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；
3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；
4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；
5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念；
6.理解并掌握一次函数与二元一次方程（组）的关系，进一步体会数形结合思想。
【要点梳理】
要点一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1，像这样
的方程叫做二元一次方程.
特别说明：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
特别说明：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，
{x＝a¿¿¿¿
即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程
组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组
.
特别说明：
（1）它的一般形式为 （其中 ， ， ， 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方
程组．
（3）符号“ ”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别说明：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数
值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一
组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
{2x+y=5¿¿¿¿
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无
{x+y=−1¿¿¿¿
解，而方程组 的解有无数个.
要点二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
消元
二元一次方程组 一元一次方程
转化
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表
示y（或x），即变成
y=ax+b
（或
x=ay+b
）的形式；
y=ax+b x=ay+b
②将 （或 ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去
y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入
y=ax+b
（或
x=ay+b
）中，求y（或x）的值；
{
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
特别说明：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简
单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体
用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程
这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使
运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0的数，等式仍然成立”的性质，
将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性
质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；{
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
特别说明：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加
减消元法较简单.
要点三、实际问题与二元一次方程组
特别说明：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
要点四、三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；
含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，
像这样的方程组叫做三元一次方程组.
等都是三元一次方程组.
特别说明：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知
数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一
个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
特别说明：
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入
原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的
解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知
数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
特别说明：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结
果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
要点五、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，
解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从
“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
特别说明：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，
两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组
y 2x4
的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数 与
y 2x4
3 13 3 13
y x 图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组 y x 的解.
2 2 2 2
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点
则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程
组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数 y 3x5与 y 3x1的图
象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合
反之也成立.
【典型例题】
类型一、二元一次方程组的相关概念
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次
数都应是一次的整式方程．根据未知数的次数对A进行判断；根据二元一次方程组对B进
行判断；根据整式方程对C进行判断；根据未知数的个数对D进行判断．
解：A、有一个二元二次方程，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、有分式方程，所以C选项不符合题意；
D、有三个未知数，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定
义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
举一反三：
【变式】若方程x|m|-2+（m+3）y2m-n=6是关于x、y的二元一次方程，则m+n=_____
【答案】8
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的
整式方程可得|m|-2=1，2m-n=1，解出m、n的值可得答案．
解：由题意，知|m|-2=1，2m-n=1且m+3≠0．
解得m=3，n=5．
所以m+n=3+5=8．
故答案是：8．
【点拨】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含
有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2.已知x＝2，y＝1是方程ax﹣y＝7的一个解，那么a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】把x＝2，y＝1代入方程ax﹣y＝7，得出方程2a﹣1＝7，再求出方程的解即
可得到答案．解：∵x＝2，y＝1是方程ax﹣y＝7的一个解
∴2a﹣1＝7
解得：a＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二
元一次方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．
举一反三：
【变式】已知关于x，y的方程组 满足 ，则k =_____．
【答案】4
【分析】将方程组重新组合 ，求出关于x、y的方程组，再代入求出k即
可．
解：关于x，y的方程组 满足 ，
∴ ，
∴①+②得：x=1，
把x=1代入①得y=2，
，
∴ =4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组的解满足二元一次方程，重新组合能求出x、y
的值是解此题的关键．
类型二、二元一次方程组的解法
3.解方程组（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用代入法解方程组即可；
（2）利用加减法解方程组即可．
解：（1） ，
将①代入②，得7y=14，
解得y=2，
将y=2代入①，得x=6，
∴方程组的解为 ；
（2） ，
由①×2-②，得-11y=33，
解得y=-3，
将y=-3代入①，得2x+9=10，
解得 ，
∴方程组的解为 ．
【点拨】此题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，能根据每个二元
一次方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】.解下列方程组：（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）将“ ”看作整体利用代入法解方程组；
（2）利用代入法解方程组．
解：（1）将“ ”看作整体： ，
由①得 ， ③
将③代入②得 ，即 ， ④
将④代入③，化简得 ，即 ，
将 代入④得 ，
所以原方程组的解为 ．
（2）
由①得 ， ③
将③代入②，整理得 ，解得 ，
将 代入③得 ，
所以原方程组的解为 ．
【点拨】此题考查解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和
加减法，并根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式2】.已知a，b为有理数，且满足 ，试求a，b
的值．
【答案】 ，
【分析】先将等式分为有理部分与无理部分，根据它们的和为零，利用有理部分与无
理部分系数为零建构方程组，解方程组即可
解：解∵
∴
∵a，b为有理数，
∴ ， 也为有理数
∵ 无理数，
∴
解方程组得
【点拨】本题考查有理数与无理数和为零的性质，二元一次方程组，熟悉有理数的和
差积商都是有理数，有理数与无理数和差为无理数，有理数与无理数的积可能为有理数
0，其它均为无理数，有理数与无理数的商可能为0，其它均为无理数．
值．
4. 甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的 ，解得
，乙看错了②中的 ，解得 ，试求 的值．
【答案】0
【分析】将 代入第二个方程可得b的值，将 代入第一个方程得a的值，
即可求出所求式子的值．解：将 代入 得：
，解得
将 代入方程组中的 得：
，即
．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立
的未知数
类型三、实际问题与二元一次方程组
5.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、
羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银
子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译
文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），
请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】（1）每头牛3两银子，每头羊2两银子；（2）共有三种购买方法：方案一：
购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊
【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值
19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设购买a头牛，b只羊，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次
方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得解得
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．（含设）
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
∵a、b均为正整数
∴该方程的解为 或 或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、数学常识以及二元一次方程的应用，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确
列出二元一次方程．
举一反三：
【变式1】对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题
的解．加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人
每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、
第二道工序所完成的件数相等？
【答案】安排4名工人完成第一道工序，3名工人完成第二道工序
【分析】设安排 名工人完成第一道工序， 名工人完成第二道工序，根据题意列方
程组解答．
解：设安排 名工人完成第一道工序， 名工人完成第二道工序．
根据题意，得 ． 解得 ．
【点拨】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式2】一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全
离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车
每秒钟各行多少米？【答案】快车每秒行 米，慢车每秒行 米．
【分析】设快车每秒行 米，慢车每秒行 米，根据若两车同向而行，快车从追上慢
车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，
列出方程组，解方程组即可求得．
解：设快车每秒行 米，慢车每秒行 米，根据题意得，
解得
答：快车每秒行 米，慢车每秒行 米．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式3】如图，已知长方形ABCD中，如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD
＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C
出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点
D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动
时间为t秒，当△DEG和△BFG全等时，求t的值和此时G点对应的速度．【答案】t的值为 或2时，点G的速度为 或2．
【分析】分两种情形讨论，由全等三角形的性质列出等式，分别求解即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
有两种情形：①DE=BF，BG=DG=5，
∴2t=8-t，
∴ ，
∴点G的速度= ；
②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，
则有 ，
解得 ，
∴点G的速度= ，
综上所述：t的值为 或2时，点G的速度为 或2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
思想思考问题，属于中考常考题型．
类型四、三元一次方程组
6. 解下列方程组：
（1） ； （2） ．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】根据三元一次方程组的基本思路，通过“代入”或“加减生”进行消元，把
“三元”化“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一
元一次方程，计算即可．
解：⑴
①+②得：5x-2z=14④
①+③得：4x+2z=15⑤
④+⑤得：9x=29
解得：x=
将x= 代入④，得：
5× -2z=14
解得：z=
将x= ，z= 代入③得：
+y+ =12
解得：y=
∴原方程组的解是⑵
①+③×4得：17x+4y=85④
②+③×（-3）得：-7x+y=-35⑤
④-⑤×4得：45x=225
解得：x=5
将x=5代入⑤得：-7×5+y=-35
解得：y=0
将x=5，y=0代入③得：
3×5+2×0-z=18
解得：z=-3
∴原方程组的解是
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的掌握三元一次方程
组的解法思路，认真计算即可．
举一反三：
【变式1】解下列三元一次方程组：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加
减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题；
（2）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法
转化为一元一次方程，从而可以解答本题．解：（1） ，
由②×2−③，得5x＋27z＝34④
①×3＋④，得17x＝85，
∴x＝5，
将x＝5代入④得到z＝13，
将x＝5，z＝13代入③可得y＝−2，
∴原方程组的解为 ；
（2） ，
由①＋②×2，得8x＋13z＝31④，
②×3−③，得4x＋8z＝20⑤，
由④⑤得到
将x＝−1，z＝3代入①可得，y＝ ，
∴原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为
一元一次方程进行解答．
【变式2】在等式 中，当 时， ；当 时， ；当
与 时， 的值相等．求 ， ， 的值．【答案】
【分析】将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得．
解：依题意，得 ．
① －②，得2b=－22，解得b=－11 ④
将④代入③得 ，解得a=6 ⑤
将④⑤代入①，得－5＋c=－2，解得c=3
∴ ．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．
类型五、一次函数与二元一次方程组
6. 如图，直线l：y=-2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l 过点C（-5，
1 1 2
0），与直线l 交于点D（a，8），与y轴交于点E．
1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△BDE的面积．
【答案】（1） ；（2）2
【分析】（1）由直线l 求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；
1 2（2）求得B、E的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
解：∵直线l 过点D（a，8），
1
∴8=-2a+6，
∴a=-1，
∴D（-1，8），
∵直线l 过点C（-5，0），D（-1，8），
2
∴ ，解得 ，
∴直线l 的解析式为y=2x+10；
2
（2）在y=-2x+6中，令x=0，则y=6，
∴B（0，6），
在y=2x+10中，令x=0，则y=10，
∴E（0，10），
∴BE=10-6=4，
∴△BDE的面积为 ×4×1=2．
【点拨】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待
定系数法求一次函数的解析式，三角形面积等，求得交点坐标是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图所示，直线l：y＝﹣ x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直
1
线l 向上平移6个单位得到直线l 与y轴交于点C，已知直线l：y＝ x＋c经过点C且与
1 2 3
直线l 交于点D，连接AC．
1
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）求直线l 的解析式；
3
（3）求△ACD的面积．【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，2）；（2）y＝ x＋2；（3）
【分析】（1）根据 的解析式，令y＝0，x＝0，即可求得 , 的坐标，根据将直线l 向上平移6个
1
单位长度，得直线l，令x＝0，即可求得 的坐标；
2
（2）根据 的坐标代入直线l：y＝ x＋c即可直线l 的解析式；
3 3
（3）联立 和 l 的解析式即可求得点 的坐标，进而根据S ＝S ﹣S 即可求得△ACD的
3 △ACD △ABC △BCD
面积．
解：（1）在y＝﹣ x﹣4中，令y＝0，则0＝﹣ x﹣4，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
将直线l 向上平移6个单位长度，得直线l：y＝﹣ x＋2，
1 2
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；
（2）∵点C在直线l：y＝ x＋c上，
3
∴c＝2，
∴直线l 的解析式为y＝ x＋2；
3（3）解 得 ，
∴D（﹣ ，﹣2），
∵BC＝OB＋OC＝6，
∴S ＝S ﹣S ＝ ﹣ ＝ ．
△ACD △ABC △BCD
【点拨】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，一次函数平移问题，直线围成的三角形面积问题，
利用二元一次方程组求两直线交点问题，掌握一次函数的性质与相关计算是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋4交y轴于点A，直线l：y＝
1 2
﹣x与l 交于点B．
1
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l，l 交于点M、N，且点M
1 2
在点N的上方．
①当MN＝2时，求△BMN的面积；
②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比
为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标．
【答案】（1）（﹣2，2）；（2）①1；②（0， ）或（0， ）
【分析】（1）联立方程组求解；
（2）①设平行于y轴的动直线为x＝m，然后用含m的式子表示出M和N点坐标，然
后根据两点间距离公式列方程求得m的值，最后根据三角形面积公式求解；
②设Q点坐标为（0，a），然后根据△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直
角边长之比为3∶4，分情况列方程求解．
解：（1）∵直线l：y＝﹣x与l 交于点B，
2 1∴联立方程组可得 ，
解得： ，
∴B点坐标为（﹣2，2）；
（2）①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，
过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，
∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m），
∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2，
解得：m＝﹣1，
又∵B点坐标为（﹣2，2），
∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴S ＝ MN•BD＝ ＝1；
△BMN
②如图，
i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时，
设MN＝3a，QN＝4a，
∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a），
∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a，解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时，
设MN＝4a，QN＝3a，
∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a），
∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a，
解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
综上，Q点坐标为（0， ）或（0， ）．
【点拨】本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特征，利用数
形结合和分类讨论思想解题是关键．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l：y＝
1 2
﹣x+1与直线l 交于点B，与y轴交于点C．
1
（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l，l 与y轴所
1 2
围成的图形的面积；
（2）当点B的横坐标X ，满足﹣3≤X ≤﹣1时，求实数k的取值范围．
B B
【答案】（1）①（-1，2），k=3；②2；（2） ；
【分析】（1）①将y=2代入直线l：y=-x+1，求出x，得到点B的坐标；把B点坐标
2
代入直线l：y=kx+5，即可求出k的值；
1
②根据直线l 的解析式，求出A（0，5），根据直线l 的解析式，求出C（0，1）．利用三
1 2角形面积公式即可求出S ；
△ABC
（2）将两条直线的解析式联立得到方程组 ，解方程组求出点B的坐标，根据点
B的横坐标x 满足-3≤x ≤-1，分别计算x =-3与x =-1时k的值，即可得到实数k的取值范围．
B B B B
解：（1）①∵直线l：y=-x+1过点B，点B的纵坐标为2，
2
∴-x+1=2，解得x=-1，
∴点B的坐标为（-1，2）．
∵直线l：y=kx+5过点B，
1
∴2=-k+5，解得k=3；
②∵k=3，
∴直线l 的解析式为：y=3x+5，
1
∴A（0，5）．
∵直线l 的解析式为：y=-x+1，
2
∴C（0，1）．
∴AC=5-1=4，
∴直线l，l 与y轴所围成的图形的面积S = ×4×1=2；
1 2 △ABC
（2）解方程组 ，解得： ，
∴点B的坐标为 ，∵点B的横坐标x 满足-3≤x ≤-1，
B B
∴当x =-3时， ，解得 ，
B
当x =-1时， ，解得k=3，
B
∴实数k的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线
相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐
标特征，三角形的面积．
