文档内容
2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 12 二元一次方程与一次函数
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·济南期末）如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则
方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵点A的纵坐标为3，
当2x+1=3时， ，
∴一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A坐标为（1，3），
又∵方程组 可变形为 ，
∴方程组 的解为： ．
故答案为：C．【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两一次函数图象的交点坐标即是二元一次方程
组的解。
2．（2分）（2021八上·胶州期末）已知一次函数y＝kx+b 和一次函数y＝kx+b 的自变量x与因变量
1 1 1 2 2
y，y 的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组 的解为（ ）
1 2
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 0 1 2 3 …
1
y … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 …
2
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：由表格可知，一次函数y=kx+b 和一次函数y=kx+b 的图象都经过点(2，3)，
1 1 1 2 2 2
∴一次函数y=kx与y=kx+b的图象的交点坐标为(2，3)，
1 1 2
∴关于x，y的二元一次方程组 的解为 ．
故答案为：C．
【思路引导】由表格可知，一次函数y=kx+b 和一次函数y=kx+b 的图象都经过点(2，3)，再根据一次函
1 1 1 2 2 2
数与二元一次方程组的关系即可得到答案。
3．（2分）（2021八上·肥西期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：关于x，y的方程组 可化为 ，
∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，
∴方程组的解为 ．
故答案为：A.
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程的关系可得：两一次函数图象的交点即是二元一次方程组的解。
4．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n
（m≠0）相交于点(2，﹣1)，则关于x，y的方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵一次函数y=kx+b和y=mx+n相交于点（2，-1），
∴关于x、y的方程组 的解是 ．
故答案为：B．
【思路引导】关于x、y的方程组 的解即是一次函数y=kx+b和y=mx+n的交点坐标，据此解答
即可.
5．（2分）（2021八上·枣庄月考）已知直线l：y=kx+b与直线l：y=-2x+4交于点C（m，2），则方程
1 2
组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵y=-2x+4过点C（m，2），∴ ，
解得 ，
∴点C（1，2），
∴方程组 的解 ．
故答案为：A．
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两函数图象的交点即是方程组的解。
6．（2分）（2020八上·昌图期末）如图，一次函数 与 图象的交点坐标是
，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：∵一次函数y＝x＋1与y＝2x−1图象的交点是（2，3），
∴方程组 的解为 ．故答案为：D．
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可以得到：两一次函数图象的交点即是二元一次方程
组的解。
7．（2分）（2020八上·和平期末）如图，已知 和 的图象交于点P，根据图象
可得关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【完整解答】解：由图象可知： 和 的图象交点P的坐标为（-4，-2）
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是
故答案为：A．【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可以得到：两函数图象的交点坐标即是二元一次方程
组的解。
8．（2分）（2021八上·城关期末）如图，直线 、 的交点坐标可以看作方程组（ ）的解
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：
设 的解析式为 ，
图象经过的点 ， ，
，解得： ，
的解析式为 ，
可变形为 ，
设 的解析式为 ，
图象经过的点 ， ，
，
解得： ，
的解析式为 ，
可变形为 ，
直线 、 的交点坐标可以看作方程组 的解.
故答案为： .
【思路引导】首先利用待定系数法求出两一次函数的解析式，进而根据一次函数与二元一次方程组的关系
可知：二元一次方程组 对应两个一次函数，从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标，据此即可得出答案．
9．（2分）（2021八上·扶风期末）如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a,b),则
是方程组()的解.
{ y−3x=6 {3x+6+ y=0
A． B．
2x+ y=−4 2x−4−y=0
{3x−y=−6 {3x−y=6
C． D．
2x−4−y=0 2x−y=4
【答案】C
【完整解答】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a,b)
∴3x-y=-6，2x-4-y=0
{3x−y=−6
∴ 是方程组 的解.
2x−4−y=0
故答案为：C.
【思路引导】将两函数解析式组成方程组，利用两一次函数的交点坐标就是这个方程组的解，由此可得答
案.
10．（2分）（2021八上·未央期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点 ，
则关于x、y的二元一次方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：把P(m,1)代入y＝-x+4得-m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为(3，1)，
所以关于x、y的二元一次方程组 的解是 .
故答案为：A.
【思路引导】用y＝-x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进
行判断.
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·巴中期末）如图，已知直线l：y＝3x+1和直线l：y＝mx+n交于点P（1，
1 1
b），则关于x，y的二元一次方程组 的解是 .【答案】
【完整解答】解：∵直线l：y＝3x+1和直线l：y＝mx+n交于点P（1，b）
1 1
∴P（1，b）也在直线y＝3x+1上
即有：b＝3×1+1=4
∴P（1，4）
∴二元一次方程组 的解为
故答案为： .
【思路引导】将P（1，b）代入y=3x+1中可得b=4，则P（1，4），然后根据两一次函数图象的交点坐标
即为对应的二元一次方程组的解进行解答.
12．（2分）（2021八上·丹东期末）已知：直线 与直线 的图象交点如图所示，则
方程组 的解为 ．
【答案】【完整解答】解：∵函数y= x-b与函数y=mx+6的交点坐标是（2，3），
∴方程组 的解为 ．
故答案为 ．
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程的关系：两个一次函数的图象的交点坐标即是二元一次方程组
的解求解即可。
13．（2分）（2021八上·南海期末）一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点在y轴上，则关于x，y的
二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【完整解答】解： 一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点在y轴上，
把 代入 得：
所以 的交点坐标为：
故答案为：【思路引导】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得出答案。
14．（2分）（2021八上·顺德期末）如图，函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1的图象交于点A，关于x、y的方程
组 的解是 ．
【答案】
【完整解答】解：函数y＝5﹣x，即 ；
函数y＝2x﹣1，即
∴关于x、y的方程组 的解，即为函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1图象的交点坐标的横坐标和纵坐标
值
根据题意，得函数y＝5﹣x与y＝2x﹣1图象的交点坐标
∴关于x、y的方程组 的解是：故答案为： ．
【思路引导】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案。
15．（2分）（2020八上·大东期末）已知一次函数 和 （ ）的图象相交
于点 ，则二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵一次函数y=2x+b和y=kx-3（k≠0）的图象交于点P（4，-6），
∴点P（4，-6）满足二元一次方程组 ，
∴方程组的解是 ．
故答案为 ．
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可以得到：两一次函数图象的交点的坐标即是二元一
次方程组的解。
16．（2分）（2019八上·大田期中）当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， ）为
“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是
．【答案】（4，3）
【完整解答】解：将点A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
则直线解析式为：y=-x+7，
设点B坐标为（x，y），
∵点B满足直线y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵点B是“完美点”，
∴ ①
∵m+n=mn，m，n是正实数，
∴ ②
将②代入①得：
解得x=4，
∴点B坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）
【思路引导】将点A代入y=-x+b中求b的值，然后设B（x，y）,根据完美点的定义列方程组求解即可．
17．（2分）（2020八上·沈河期末）如图，直线 与直线 相交于点
，则方程组 的解是 ．【答案】
【完整解答】解：∵ 经过
∴
∴
∵直线 与直线 相交于点
∴方程组 的解是： ．
故答案是：
【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两一次函数图象交点坐标即是二元一次方程组
的解。
{ y=kx+3
18．（2分）（2021八上·扶风期末）若方程组 无解，则y＝kx﹣2图象不经过第
y=(3k+1)x+2
象限.
【答案】一
【完整解答】解：由题意得：（3k+1）x+2=kx+3
∴（2k+1）x=1
∵方程组无解
∴2k+1=0
解之： ＜0
∴y=kx-2的图象必过第二，四象限；
∵b=-2＜0
∴y=kx-2的图象必过第三，四象限，
∴y=kx-2的图象不经过第一象限.
故答案为：一.
【思路引导】先消去y可得到关于x的一元一次方程，由题意可知此方程无解，可建立关于k的方程，解
方程求出k的取值范围；再根据直线y=kx+b（k≠0），当k＞0时，图像必过第一、三象限，k＜0时，图
像必过第二、四象限；b＞0时，图像必过第一、二象限，b＜0 时，图像必过第三、四象限，由此可得答
案.
19．（2分）（2021八上·宝应期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解是，则一次函数 和 的图象交点坐标为 .
【答案】
【完整解答】解：∵已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，
∴一次函数 和 的图象交点坐标为 .
故答案为： .
【思路引导】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两一次函数的交点坐标是两函
数解析式所组成的方程组的解可直接得到答案.
20．（2分）（2021八上·奉化期末）如图，已知直线 与直线 都经过
，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 为y轴交于点D，P为y轴上任意
一点，连接 、 ，有以下说法：
①方程组 的解为 ；
② 为直角三角形；
③ ；
④当 的值最小时，点P的坐标为 .其中正确的说法是 .
【答案】①②④
【完整解答】解：①由于两直线的交点坐标即为两直线解析式组成方程组时的解；
∴ 的解，即为两条直线的交点坐标，为： ，故①正确；
②将点C的坐标和点B的坐标分别代入直线 和 ；
可得： 、 、 ；
∴ 直线 和 ；
又两直线的k分别为： 和 ；
又 ；∴ ；
∴ △BCD为直角三角形，故②正确；③由②知， ， ， ；∴ ， ；
∴ △ABD的面积为： ，故③不正确；
④由题，对点 作关于y轴的对称点 ，又 ；
∴ 连接A，C 与y轴的交点即为最小值点；
1
设过点A，C 的直线为： ；
1
将点A，C 的坐标代入 ，可得： ， ；
1
∴过点A，C 的直线为： ；
1
又 与y轴的交点坐标为： ；∴ 点P的坐标为： ，故④正确；
故答案为：①②④.
【思路引导】①根据一次函数的图象与方程组的关系可知：两直线的交点即为两直线组解析式成方程组时，
该方程的解，从而即可判断①；
②通过已知条件，求解直线CD的解析式，通过判断两直线k的乘积是否为-1，即可判断②；
③由②知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出△ABD的面积，从而即可判断③；
④求点C关于y轴的对称点，然后连接A，C，与y轴的交点即为PA+PC的值最小的点，利用待定系数法求
1
出直线AC'的解析式，再求出其与y轴的交点即可判断④.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与坐标轴分别相交于点A、B
与 ： 相交于点C．
（1）（2分）求点C的坐标；
（2）（3分）若平行于y轴的直线 交于直线 于点E，交直线 于点D，交x轴于点M，且
，求a的值；【答案】（1）解：联立两直线解析式得： ，
解得： ，
则点C坐标为
（2）解：由题意：
解得 或6
【思路引导】（1）通过二元一次方程组，解出x、y的值，即为C点的坐标。（2）根据题意写出M、D、E
的坐标，根据DE=2DM，求出a的值。
22．（10分）（2021八上·毕节期末）如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图
象交于点 ，一次函数图象经过点 ，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C.
（1）（2分）求一次函数表达式；
（2）（2分）求D点的坐标；（3）（2分）求 的面积.
（4）（4分）不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解.
【答案】（1）解：∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P（m，3），
∴-3m=3，解得：m=-1，
∴P（-1，3），
把（1，1）和（-1，3）代入一次函数y=k x +b，得：
，
解得， ，
∴ 一次函数解析式是y=-x +2；
（2）解：由（1）知一次函数表达式是y=-x +2
令x =0，则y=2
即点D（0，2）；
（3）解：由（1）知一次函数解析式是y=-x +2
令y=0，∴- x +2=0，
解得： x =2，
∴点C（2，0），
∴OC=2，
∵P（-1，3），
∴△COP的面积= OC . = ×2×3=3；
（4）解：∵正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，∴方程组的解为 .
【思路引导】（1） 将点P（m，3） 代入y=-3x中求出m值，再将点P、B的坐标代入y=k x +b中，求出
k、b值即可；
（2）由（1）知一次函数表达式是y=-x +2 ，求出当x=0时y值即可；
（3）先求出直线y=-x +2与x轴交点C的坐标，即得OC的长，利用三角形的面积公式求解即可；
（4）方程组 的解是相对应函数图象的交点坐标，据此即可求解.
23．（6分）（2021八上·诸暨月考）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动
请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满
载的运输情况如表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数
第一次 3 4 31
第二次 2 6 34
（1）（3分）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）（3分）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少
于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车
辆最节省费用？
【答案】（1）解：设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得 ，解得： ，
∴甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）解：设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意得，
w=500z+300（10-z）=200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∵运送的物资不少于48.4吨，
∴ ，
∴ ，
又∵z是整数，
∴当z=9时，w的值最小为w=200×9+3000=4800，
答：该公司应安排甲种货车9辆，乙种货车1辆最节省费用．
【思路引导】（1）利用表中数据，可得到两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意可列出W与z之间的函数解析式，
再求出z的取值范围；然后利用一次函数的性质，可求出结果.
24．（5分）（2018八上·靖远期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出
发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y 千米，轿车离甲地的距离y 千米，y、y 关于x的函数图
1 2 1 2
象如图所示：
①根据图象直接写出y、y 关于x的函数关系式；
1 2
②当两车相遇时，求此时客车行驶的时间．
③相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．【答案】解：①设y＝kx，则将(10，600)代入得出：600＝10k，
1
解得：k＝60，
∴y＝60x (0≤x≤10)，
1
设y＝ax+b，则将(0，600)，(6，0)代入得出：
2
，
解得： ，
∴y＝﹣100x+600 (0≤x≤6)；
2
②当两车相遇时，y＝y，即60x＝﹣100x+600
1 2
解得：x＝ ；
∴当两车相遇时，此时客车行驶了 小时；
③相遇后相距200千米，则y﹣y＝200，即60x+100x﹣600＝200，
1 2
解得：x＝5
5﹣ = ，
∴相遇后，两车相距200千米时，客车又行驶的时间 小时．【思路引导】（1）根据图象，用待定系数法求函数解析式；（2）结合（1），当两车相遇时，y＝y，即
1 2
60x＝﹣100x+600；（3）结合图象，可得：相遇后相距200千米，则y﹣y＝200，即60x+100x﹣600＝
1 2
200.
25．（8分）（2018八上·苏州期末）如图，直线y= x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐
标为（-6，0），P（x，y）是直线y= x+6上一个动点．
（1）（2分）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）（3分）当P运动到什么位置，△OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；
（3）（3分）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存
在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∵点P在直线 上，
∴可设点P的坐标为 ，∵直线 与x轴交于点E，和y轴交于点F，
∴点E、F的坐标分别为（-8，0）和（0，6），
∴当点P在第一、二象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；
当点P在第三象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；
∴点P运动过程中，△OPA的面积S与x的函数关系式是S= 或S=
（2）解：把S= 代入S= 和S= 得：
和 ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或
（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，则OD=OE=8，OC=OF=6，①如图，
当点D在y轴的负半轴时，点C在x轴的负半轴，∵OD=8，OC=6，∴点D、C的坐标分别为（0，-8）和（-6，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，则： ，解得 ，
∴ ，
由 ，解得： ，
∴点P的坐标为 ；
②如下图所示：当点D在y轴正半轴时，点C在x轴的正半轴，同理可解得此时点P的坐标为
；
综上所述，存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是 或
【思路引导】
（1）求出P点坐标，当点P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当点P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可。
（2）把S的值代入解析式即可。
（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①，求出C、D的坐标，利用待定系数法求出CD所在的直线方程，
再解二元一次方程组求出两直线的交点坐标即可；图②同理。
26．（9分）（2020八上·商河期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴
于A，B两点，与直线 交于点C．
（1）（2分）求点A，B的坐标．
（2）（3分）若点C的坐标为 ，求线段 的长．
（3）（4分）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使 是直角三角形？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴令 ，则 ，解得 ，点A的坐标为 ；
令 ，则 ，所以点B的坐标为
（2）解：如图1，过点C作 于点H．∵点 在直线 上，
∴ ，解得 ．
∴点C的坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，得
（3）解：存在．
理由如下：
①当 是斜边时， ．
∵ ，
∴当点P与原点O重合时， ，
∴当点P的坐标为 时， 是直角三角形；②设 是直角边，点B为直角顶点，即 ，如图2．
∵线段 在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设点P的坐标为 ，则 ．
∵ ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴当点P的坐标为 时， 是直角三角形；
③设 是直角边，点A为直角顶点，即 ．
∵点A在x轴上，P是x轴上的动点，∴ ．
综上，当点P的坐标为 或 时， 是直角三角形．
【思路引导】（1）根据函数解析式 求解即可；（2）先求出 点C的坐标为 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
27．（8分）综合与探究
如图1，一次函数 的图象交 轴、 轴于点 ， ，正比例函数 的
图象与直线 交于点 ．
（1）（3分）求 的值并直接写出线段 的长；
（2）（5分）如图2，点 在线段 上，且与 ， 不重合，过点 作 轴于
点 ，交线段 于点 ．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择题( )题．
A．若点 的横坐标为4，解答下列问题：
①求线段 的长；
②点 是 轴上的一点，若 的面积为 面积的2倍，直接写出点 的坐标；
B．设点 的横坐标为 ，解答下列问题：
①求线段 的长，用含 的代数式表示；
②连接 ，当线段 把 的面积分成 的两部分时，直接写出 的值．【答案】（1）解：将 代入 得 ，
解得 ，
（2）解：若选A题：①过程如下：
将 代入 得 =4，
∴ ；
将 代入 得 =2，
∴ ，
∴ ．
②过程如下：
易得 的面积 ，
∴ ，
又∵ ，易得 ，
∵ 点是 轴上动点，E的坐标为（4，0）
∴ 点坐标 或 ；
若选B题：①过程如下：将 代入 ，易得 ；将 代入 ，易得 ．
．
②过程如下：
将 代入 ，易得 ；
将 代入 ，易得 ．
点在 点左侧， ．
，
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
当 时， ，
∴ ，解得 ．
【思路引导】（1）将点C代入一次函数求出m，再利用两点之间的距离公式求出OC的长度；（2）A题：
①将x=4分别代入一次函数及正比例函数中求出点D、F的坐标，再利用两点之间的距离公式求DF即可；
②先求出 的面积，再利用三角形的面积计算方法表示出 的面积，列出等式，求出点P的坐
标即可。B题：①方法同A题①的方法，将具体的数字用a替代即可；②利用三角形面积计算公式先求出
的面积，再利用题干给的条件里出方程求解即可。
28．（9分）（2019八上·成都月考）在矩形纸片 中，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折叠
为 ，连接 ．
（1）（2分）求证： 是等腰三角形．
（2）（3分）若 ， ，求 的长．
（3）（4分）在（2）的条件下，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则线段 上是否存
在一点M使得 最小？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解： 现将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
，四边形 是矩形，
，
，
，
，
即 是等腰三角形；
（2）解：过E作 交 于H点，
在 中， ， ，
∴ ，
由折叠可知： ， ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
设 ，则 ， ，
在 中，
，即 ，
解得 ，
∴ ，
，
∴
（3）解：如图示，连接 交 于 点，连接 ，则点 为所求，
由（2）知： ， ，
， ，
∴E点坐标为 ．F点坐标为 ．
A点坐标为（0，6），
C点坐标为（8，0），
由折叠的性质可知，G点关于 的对称点为C点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴设 解析式为 ，
得 ，解得 ，
∴ 表达式为 ①，
∵ ， ．
设 解析式为 ，
得 ，解得 ，
∴ 表达式为 ②，联立①②得： ，解得 ，
∴M点坐标为（4，3）．
【思路引导】（1）根据折叠的特点可得∠DEF=∠BEF；再根据矩形的特点可得AD∥BC，进而得出
∠DEF=∠BFE，即∠BEF=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形；
（2）过点E作EH⊥BC交BC于点H，在Rt△EHF中，根据勾股定理可得HF的值；由折叠的性质可得
BE=DE，DF=BF，结合（1）中的结论即可得到BE=BF=DE=DF，进而可得出四边形BEDF是菱形，设BF=x，则
BH=AE=x- ，BE=x，在Rt△AEB中，根据勾股定理可得出关于x的方程，求解出x的值，即可得出答案；
（3）连接AC交EF交M点，连接MG，则点M为所求，由（2）知：AE= ，BF= ，BC=AD=8，AB=6，即可
得出点E、F、A、C的坐标，由折叠的性质可知G点关于 的对称点为C点，即可得出MG=MC，根据点
E、F的坐标，即可得出EF的函数解析式，根据点A、C的坐标即可得出AC的解析式，将EF和AC的解析式
联立，即可得出点M的坐标.
