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专题5.19 应用二元一次方程组-里程碑上的数（专项练习）
一、单选题
类型一、据实际情况列二元一次方程组
1．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共
10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，
已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马
有 匹，小马有 匹，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．小亮用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且
乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮两种水果各买了多少千克？设小亮买了甲种水
果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．某班共有学生49人，一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一
半，若该班男生人数为x，女生人数为y，则所列方程组正确的是( )
A． B． C． D．
类型二、据几何图形列二元一次方程组
5．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，则斜边BD的长是
（ ）A． B． C． D．
6．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程
组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
7．长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若 ，则AD等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长形以及一个小正方形组
成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为
1，则大正方形ABCD的面积是（ ）
A．36 B．25 C．20 D．16
类型三、数字问题
9．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙
数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x,乙数为y,则得方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．一个两位数x，一个一位数y，其中两位数是一位数的3倍，若把两位数放在前，一位
数放在后，得到一个三位数甲；若把一位数放在前，两位数放在后，得到一个三位数乙，
且甲、乙两数之和为938，则x，y的值分别是（ ）
A．18，6 B．21，7 C．24，8 D．27，9
11．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．
若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为14，若调换个位数字与十位数字，所得的新
数比原数小36，则这个两位数是（ ）
A．86 B．95 C．59 D．68
类型四、几何问题
13．如图，宽为50cm的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个
小长方形的面积为（ ）
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
14．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案.已知该图
案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x >y)表示小长方形的长和宽，则下
列关系式中不正确的是( )A．x+y=7 B．x-y=2 C．x2 +y2=25 D．4xy+4=49
15．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色
皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，
黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A．16块，16块 B．8块，24块
C．20块，12块 D．12块，20块
16．如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的
小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴
影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
A．﹣a B．a C． a D．﹣ a
类型五、表格或图示信息题
17．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若
图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y﹣x＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣6 D．6
18．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）
A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm
19．某校七年级（1）班同学为“希望工程”捐款，共捐款206元，捐款情况如下表所示：
由于不小心被墨水污染，表格中捐款4元和5元的人数已经看不清楚，根据已有的信息推
断,捐款4元和5元的人数不可能为( )
A．6，24 B．8，22 C．11，20 D．16，16
20．如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果
搭建等边三角形和正六边形共用了 根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数
多 ，那么连续搭建的等边三角形的个数是（ ）
…… ……
A． B． C． D．以上答案都不对
类型六、其他问题
21．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，
若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
22．把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管(要求两种规格至少有一根)．在不造
成浪费的情况下，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3 D．4种
23．小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的花盆．如图，他把3个花盆叠在一起高度是9
cm，把8个花盆叠在一起高度是14 cm.若把100个花盆叠在一起时，它的高度约是( )A．116 cm B．110 cm C．114 cm D．106 cm
24．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①②所示的两个天平处于平衡
状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）个球．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
类型一、据实际情况列二元一次方程组
25．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中有一段文字的大意是：甲、乙两
人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
可列方程组是________．
26．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长
一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为__________尺，竿
子长为__________尺．
27．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是: 匹马恰好拉了 片瓦，
已知 匹小马能拉 片瓦， 匹大马能拉片 瓦，求小马、大马各有多少匹.若设小马有 匹，
大马有 匹，依题意，可列方程组为______________．
28．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，现在传世的共有三卷，卷中记载：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：
“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为______________．
类型二、据几何图形列二元一次方程组
29．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
30．如果 和 的两边分别平行， 比 的三倍少24°，则 的度数是______.
31．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式
摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为________cm2．
32．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点 处，∠ AD比
∠BAE大45°．设∠BAE和∠ AD的度数分别为x°和y°，那么所适合的一个方程组是
_____．
类型三、数字问题
33．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小 ，又知原来的三位
数的百位上的数的 倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小 ，则原来的数是
__________．
34．一个两位数，交换个位与十位的数字之后，新得到的两位数比原数小63，则原来的两
位数是________________．
35．有个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍，它们的和是12，那么这个两位数
是_____.
36．一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，如果把这两数位上的数字对调，所得两
位数比原数大45，则原两位数是_______．类型四、几何问题
37．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一
个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．
38．如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，且EF＝3，CD＝12，则大
长方形ABCD的面积为________．
39．在长方形ABCD中放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，试求图中
阴影部分的总面积_____平方厘米.
40．在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方
形的宽CE为____________cm．
类型五、表格或图示信息题
41．幻方（MagicSquare）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上
的数字和都相等的图表．在如图所示的三阶幻方中，x+y的值为_____．
3 4 x﹣2 y a
2y﹣x c b
42．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜
色各不相同. 三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:
房间A 房间B 房间C 涂料1 涂料2 涂料3
35m2 20m2 28m2 16元/m2 18元/m2 20元/m2
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是___________元.
43．根据图中所给的信息，购买 件 恤和 瓶矿泉水需要花费________元．
44．5月10日是母亲节，母亲节那天小明给母亲送了5朵康莱馨鲜花和5个礼盒，由图中
信息可知小明一共花了_______元．
类型六、其他问题
45．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是
它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的
深度是_______cm．46．“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知 2 套文具和 3
套 图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需
__________元．
47．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两
种，两种气球的价格不同．由于会场布置的需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第
一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为________元．
48．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起
时的高度是_______cm．
三、解答题
类型一、据实际情况列二元一次方程组
49．如果第一次租用2辆A型车和1辆B型车装运水果，一次运货10吨；第二次租用1辆
A型车和2辆B型车装水果，一次运货11吨（两次运货都是满载）
①求每辆A型车和B型车满载时各装水果多少吨？
②现有31吨水果需运出，计划同时租用A型车和B型车一次运完，且每辆车都恰好装满，
请设计出有哪几种租车方案？
③若A型车每辆租金200元，B型车每辆租金300元，问哪种租车方案最省钱，最省钱的
方案总共租金多少钱？
类型二、据几何图形列二元一次方程组
50．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边
界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．
（1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝ ，N＝ ，L＝ ．
（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数
①试求a，b的值．（提示：列方程组）
②求当N＝5，L＝14时，S的值．
类型三、数字问题
51．定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的
数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“协调数”．例如：3245，x=3＋4，
y=2+5，因为x=y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是_____，最大的“协调数”是_____；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍
数的所有“协调数”．
类型四、几何问题
52．阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个
大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2
的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y
的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3
所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形
状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．类型五、表格或图示信息题
53．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资
源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯
计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算， 表示立方米）
价目表（水费按月结算）
每户每月用水量（ ） 自来水销售价格（元 ） 污水处理价格（元 ）
不超出 的部分
超出 不超出 的部
分
超出 的部分
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费
用）．
已知小齐家2021年一月份用水 ，交水费 元，二月份用水 ，交水费 元．
（1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值；
（2）若小齐家七、八月份共用水 ，其中七月份的用水量低于八月份的用水量，共缴
水费 元，则小齐家七、八月份的用水量各是多少？
类型六、其他问题
54．学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机，经市场调查，已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400
元．
(1)求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元？
(2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和打印机共100台，要求购买的总费用不超过
168 000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍．请问最多能购买平板电
脑多少台？
参考答案1．A
【分析】设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆
车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.
解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆，
根据题意得 ：
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组
时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
2．B
【分析】设大马有 匹，小马有 匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马
拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．
解：设大马有 匹，小马有 匹，由题意得：
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找
出题目中的等量关系，列出方程组．
3．A
【分析】设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种
水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
解：设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得： ．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
4．D
【分析】根据等量关系：男生数-1＝女生数的一半，男生+女生＝49，据此即可列出方程组.解：由该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x-1= y，即y=2(x-1)；由
该班共有学生49人，得x+y=49，
列方程组为
，
故选D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是
解题的关键.
5．C
【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由 ， 建立
方程组，求解即可得出 ，然后借助勾股定理即可表示BD.
解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，
∵ ， ，
∴
解得： ，
故
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ .
故选:C.
【点拨】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a，b的代数式表示
CD和BC是解决此题的关键.
6．D【解析】
试题解析：∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
故选D．
7．D
【分析】根据题意，设DE=x，EF=y，然后由边长的数量关系列出方程组，解方程组求出
x、y，即可得到答案．
解：如图：
设DE=x，EF=y，根据题意，则
，
解得： ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握
题意，正确列出方程组进行解题．
8．D
【分析】设小长方形的长和宽分别为x、y，可表示出大长方形的长和宽分别为2x、2y，由
题意可得中间小正方形边长为1，观察图形可得x－y=1，正方形ABCD的边长为2x+2y或2y+x+y+2y，于是可得方程组 ，进一步即可求得结果.
解：设小长方形的长和宽分别为x、y，则大长方形的长和宽分别为2x、2y，因为中间小正
方形的面积为1，所以其边长为1，观察图形可得x－y=1，正方形ABCD的边长为2x+2y或
2y+x+y+2y，，于是得方程组 ，解得 .
于是正方形ABCD的边长为2x+2y=4，其面积是16.
故选D.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，认真观察图形，弄清图形的特征，从不同的
角度表示出正方形ABCD的边长，进而列出方程组是解题的关键.
9．D
【分析】设甲数为x,乙数为y,则由“把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201
倍”和“把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188”分别列出方程，
构成方程组.
解：设甲数为x,乙数为y,则由“把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍”
可得 ，由“把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188”
得 ，
所以构成方程组：
故选D
【点拨】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：根据数字的关系，列出方
程组.
10．B
【分析】根据两位数是一位数的3倍可得x=3y，然后根据甲、乙和为938可列方程
，解方程即可.解：由题意得： ，
解得： ，
故选B.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，准确的表示出甲、乙两数是解题关键.
11．C
【分析】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．
等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．
根据这两个等量关系，可列方程组．
解：设原数十位数字为x，个位数字为y．
根据题意列出方程组为 ．
故选：C．
【点拨】此题考查二元一次方程的应用，解题关键在于需注意两位数的表示方法为：十位
数字×10+个位数字．
12．B
【分析】先设出原两位数的十位与个位分别为 和 ，再用含 和 的式子表示出原两位数
和新两位数，最后根据题意找到等量关系列出方程组求解即可．
解：设这个两位数的十位数字为 ，个位数字为
则原两位数为 ，调换个位数字与十位数字后的新两位数为
∵这个两位数的个位数字与十位数字的和为14
∴
∵调换个位数字与十位数字后的新两位数比原两位数小36
∴
∴联立方程得解得：
∴这个两位数为95
故选：B．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意找出等量关系．
13．A
【分析】设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，根据图示，找出等量关系，列方
程组求解．
解：设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，
由题意得， ，
解得： ，
小长方形的面积为：40×10=400（cm2）．
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程组求解．
14．C
【解析】
【分析】观察图形发现，x+y表示大正方形的边长，x-y表示小正方形的边长，4xy+4表示
大正方形的面积，进而联系所求得的两个正方形的边长，结合已知图案的总面积，即可求
解.
解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2.
∵x+y表示大正方形的边长，
∴x+y=7，故A正确；
∵x-y表示小正方形的边长，
∴x-y=2，故B正确；
∵x2+y2=(x-y)2+2xy，∴x2+y2表示小正方形与两个小矩形的面积之和，
∴x2+y2=(49-4)÷4×2+4=26.5≠25，故C错误；
∵4xy+4表示大正方形的面积，
∴4xy+4=49，故D正确.
故选C.
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是结合图形,利用等式的变形来解决
问题.
15．D
【解析】
试题分析：根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条
边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y块，而黑皮共有边数为5x块，依此列方程组求解即
可．
解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x，y．
则 ，
解得 ，
即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块．
故选D．
16．A
【分析】设图③小长方形的长为m，宽为n，则由已知可以求得m、n关于a的表达式，从
而可以用a表示出图①阴影部分周长与图②阴影部分周长，然后即可算得二者之差．
解：设图③小长方形的长为m，宽为n，则由图①得m=2n，m+2n=2a，
∴ ，
∴图①阴影部分周长= ，
图②阴影部分周长= ，
∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是：5a-6a=-a，
故选A ．
【点拨】本题考查二元一次方程组的几何应用，设图③小长方形的长为m，宽为n，并用a
表示出m和n是解题关键．
17．C
【分析】根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（y-x）中即可求出结论．
解：依题意，得 ，
解得 ，
∴y﹣x＝﹣6．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
18．A
【分析】通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠
放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起
高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则 ，解得
则99x+y＝99×1+7＝106
即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm．
故选：A．
【点拨】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是
近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把
当作3个纸杯的高度，把 当作8个纸杯的高度．
19．B
【分析】通过理解题意可知本题只存在一个等量关系，即捐款总数为206，结合实际情况
解应用题．
解：设捐款4元的人数为x，捐款5元的人数是y，
依题意得：2×6+4x+5y+10×5=206，
解得 ，
∴y为4的倍数，∵x、y均为非负整数，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ，
故捐款4元和5元的人数不可能为8，22．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用，掌握二元一次方程的应用是解题的关键．
20．C
【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，
搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火
柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出结论．
解：设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭
建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为:C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，
正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．A
【分析】设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图列出方程组解答即可解决问题．
解：设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图（1）（2）可知，
，
解得x=2y，z=3y，
所以x+z=2y+3y=5y，即“■”的个数为5．
故选A．
【点拨】解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问
题解决．22．C
【分析】设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，根据钢管的总长度为7m，即可得出关于
x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论．
解：设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，
依题意得：2x+y=7，
∴y=7-2x，
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种截法．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的
关键．
23．D
【解析】
【分析】仔细观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在
一起高出单独一个纸杯的高度=9cm，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起高出单独一
个纸杯的高度=14cm．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则 ，
解得 ，
则99x+y=99×1+7=106，
即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm，
故选D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，
直接反映了物体的数量关系，通过观察图形找到等量关系是解题的关键.
24．C【分析】图①②所示的两个天平处于平衡状态，说明了两个相等关系．设球的质量是x，
小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．根据两个个天平得到方程组，解这个关于
y，z的方程组，将y和z用x表示出来，再图③中左边用x表示出来，则问题得解．
解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．
根据题意得： ，
解得： ；
图③中左边是：x+2y+z＝x+2× x+3x＝7x，
因而需在它的右盘中放置7个球．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等式的性质以及列二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关
键是借助方程关系进行等量代换，进而求出球的数量．
25．
【分析】此题等量关系为：甲+乙的一半=48；甲的 +乙=48，据此可列出方程组．
解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
由题意可得， ，
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
26．20 15
【分析】设索长为 尺，竿子长为 尺．根据题目中的等量关系列方程组求解即可.
解：设索长为 尺，竿子长为 尺．根据题意得：解得：
故答案为20,15.
【点评】
考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系.
27．
【分析】根据题意可知小马有 匹，大马有 匹，而一共有100匹马，据此可知 ，
然后进一步根据“ 匹小马能拉 片瓦， 匹大马能拉片 瓦以及一共拉了100片瓦”列出
另一个等式，最后即可得出答案.
解：∵小马有 匹，大马有 匹，而一共有100匹马，
∴ ，
又∵ 匹小马能拉 片瓦， 匹大马能拉片 瓦，且一共拉了100片瓦，
∴ ，
∴最后可列方程组为： ，
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意正确找出等量关系是解题关键.
28．
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组．解：设绳子长x尺，长木长y尺，
依题意，得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
29．
【分析】根据图示可得：大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长
方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
解：根据图示可得大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的
宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程得到：
，
故答案为：
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示
出长方形的长和宽．
30．12或129．
【分析】根据题意可知，∠α+∠β=180°，∠α=3∠β-24°，或∠α=∠β，∠α=3∠β-24°，将其组
成方程组即可求得．
解：根据题意得：
当∠α+∠β=180°，∠α=3∠β-24°，
解得：∠α=129°；
当∠α=∠β，∠α=3∠β-24°，
解得：∠α=12°；
故∠α的度数是129°或12°.故答案为129或12.
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
31．24
【分析】根据题意中的等量关系大长方形的长+2倍小长方形的长=12，大长方形的长-2倍
小长方形的长=4列出方程组进行求解.
解：设大长方形长为x,小长方形长为y.根据题意，得
解得
∴大长方形的宽为4，小长方形的宽为1.
4 4=24.
所以被覆盖部分的面积为24
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系，再列出方程．
32．
【分析】根据将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠ AD比∠BAE大45°以及
∠DAB为直角可列出方程组．
解：根据题意可得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正
方形的四个角都是直角．
33．439
【分析】设原来数的百位数为x，十位数与个位数组成的两位数为y．由题意得可得方程组
，解方程组求得x=4，y=39，由此即可得原来的三位数为439．
解：设原来数的百位数为x，十位数与个位数组成的两位数为y．
由题意得：把②代入①可得：
100x+9x+3-45=10+x
109x-42=90x+30+x
18x=72
x=4
把x=4代入②可得：y=39
即：原来的三位数为439．
故答案为：439．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组 是
解决问题的关键．
34．81或92
【分析】结合题意，设原来的两位数，十位数字为x，个位数字为y，根据新得到的两位数
比原数小63进行分析，即可得到答案．
解：设原来的两位数，十位数字为x，个位数字为y
根据题意得：
∴
∵一个两位数，交换个位与十位的数字之后，新得到的两位数比原数小63
∴
当 时， ，即原两位数为：70，新得到的为：7，不是两位数，故不符合题意；
当 时， ，即原两位数为：81，新得到的为：18；
当 时， ，即原两位数为：92，新得到的为：29；
故答案为：81或92．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用；解题的关键是熟练掌握用代数式表示两位数，
从而完成求解．
35．48【分析】设个位上数字是 ，十位上数字为 ，根据个位上数字是十位上数字的2倍可以
列出方程 ，根据这两个数字之和等于12可以列出方程 ，联立两个方程解方
程组即可求出这个两位数．
解：设个位上数字是 ，十位上数字为 ，
依题意得
解得
所以这个两位数为48.
故答案为48.
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量
关系，列出方程组解答即可．
36．16
解：设原两位数的个位数字是x，十位数字是y，
根据题意可得：
解得 ，
所以原两位数是16．
故答案为:16.
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组准确计算是本题的解
题关键．
37．60．
【分析】设小矩形的长为x，宽为y，则由图1可得5y=3x；由图2可知2y-x=2.
解：设小矩形的长为x，宽为y，则可列出方程组，
，解得 ，
则小矩形的面积为6×10=60.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用.
38．108【解析】
设每小长方形的宽为x，长为y，根据题意得：
，
解得： ，
则AD=2+2+5=9，
所以大长方形ABCD的面积为9×12=108，
故答案为108.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据所给出的图形，找出相等关系，
列出方程，求出小长方形的宽和长．
39．44
【分析】设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意和图示，列出关于x和y的二
元一次方程组，解出x和y的值，即可求出矩形的AD的长度，从而求出矩形ABCD的面
积，根据阴影部分的面积＝矩形ABCD的面积−六个小长方形的面积，即可求得答案．
解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得： ，
解得： ，
即小长方形的长为8厘米，宽为2厘米，
矩形ABCD的宽AD＝6＋2×2＝10（厘米），
矩形ABCD的面积为：14×10＝140（平方厘米），
阴影部分的面积为：140−6×8×2＝44（平方厘米），
故填：44.
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解
题的关键．
40．2
【分析】设小长方形的宽CE为 ，小长方形的长是 ，根据长方形ABCD的长和宽列出方程组 求解．
解：设小长方形的宽CE为 ，小长方形的长是 ，
根据图形，大长方形的宽可以表示为 ，或者 ，
则 ，
大长方形的长可以表示为 ，
则 ，
，解得 ．
故答案是：2．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解．
41．1
【分析】根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答．
解：根据题意，得 ，
解得 ．
所以x+y＝﹣1+2＝1．
故答案是：1．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于
x、y的算式．
42．1464
【分析】根据题意，若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可．
解：根据题意，若涂料总费用最少，则方案为：
房间A用涂料1，房间B用涂料3，房间C用涂料2，
∴最低的涂料总费用是：
元；
故答案为：1464.
【点拨】本题考查了方案选择问题，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确找出费用最低的方案.
43．
【分析】通过理解图形可知本题存在两个等量关系，即每件T恤价格×2+每瓶矿泉水的价
格×2=44，每件T恤价格+每瓶矿泉水的价格×3=26．根据这两个等量关系可列出方程组．
解：设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元，
则 ，
解得 ．
故购买3件T恤和5瓶矿泉水需要花费为20×3+2×5=70元．
故答案为：70．
【点拨】考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住
题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
44．440
【分析】假设1朵康莱馨鲜花为x元，一个礼盒为y元，根据图中信息列出二元一次方程
组并求解，即可得到答案；
解：设1朵康莱馨鲜花为x元，一个礼盒为y元，根据图中信息列出二元一次方程组：
，
①×2－②得： ，
即： ，
把 代回①解得： ，
因此不等式组的解为：
故1朵康莱馨鲜花为33元，一个礼盒为55元，
母亲节那天小明给母亲送了5朵康莱馨鲜花和5个礼盒，故一共花的钱为：
，
故答案为：440．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，能根据题目中的信息列正确的二元一次方程组求解是解题的关键．
45．20
解：试题分析：考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知 x= y，
据此可列： ，
解得： ，
因此木桶中水的深度为30× =20cm．
故填20．
考点：二元一次方程组的应用．
46．44
【解析】
解：设1套文具x元，1套图书y元，根据题意得： ，①+②，得：
5x+5y=220，∴x+y=44．故答案为44．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
47．16
【分析】设一个笑脸气球为x元，一个爱心气球为y元，根据图形找出等量关系：3个笑脸
+一个爱心=14元，3个爱心+1个笑脸=18元，据此列方程组求出x和y的值，继而可求得
第三束气球的价格．
解：设一个笑脸气球为x元，一个爱心气球为y元，
由题意得, ，
解得： ，则2x+2y=16.
故答案为：16.
【点拨】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于结合题意列二元一次方程组.
48．50
【分析】根据题意，由桌腿的高h和凳子面的高度x列出方程组，即可求解．
解：设凳子退的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，由题意得
根据题意得，
解得，
则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50cm．
故答案为50．
【点拨】本题难度中等，此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是找出题目中的等
量关系，列出方程组．
49．（1）1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨；（2）共三种方案；（3）最省
钱方案为A型车9辆，B型车1辆，租车费用2100元．
解：试题分析：（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”
“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程
组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金300
元/次，分别求出租车费用即可．
试题解析：（1）解：设A型车1辆运x吨，B型车1辆运y吨，由题意得
解之得
所以1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨．
（2）3a+4b=31吨a=
因a，b只能取整数，
， ， 共三种方案
（3）在（2）的条件下：
方案一、200+300×7=2300元
方案二、200×5+300×4=2200元
方案三、200×9+300=2100元
租9辆A型，1辆B型最省钱，共用租金2100元.
50．（1）7，3，10；（2）① ；②11
【分析】（1）将多边形DEFGHI拆分为直角三角形DEF，直角三角形DFI与正方形FGHI
可求面积，再数出格点数即可；
（2）①将条件中的S＝2，N＝0，L＝6，以及（1）中所得的数据代入S＝aN+bL﹣1，建立
方程组求解；②将N＝5，L＝14代入①中所得的关系式求解．
解：（1）观察图形，可得N＝3，L＝10，
故答案为：7，3，10；
（2）①根据题意得：
解得：
②∵S＝N+ L﹣1，
∴将N＝5，L＝14代入可得S＝5+14× ﹣1＝11．
【点拨】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．
51．（1）1001；9999；（2）1342、2684、3256、4598．【分析】（1）根据最小的四位数千位上最小的数字为1和最大的四位数千位上最大的数字
为9，即可求解；
（2）设这四位数为 ，即可得出 ， ， ，分类讨论运算即可．
解：（1）由题意得：最小的“协调数”是1001，最大的“协调数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“协调数”是1000a+100b+10c+d，
则d=2a，a+c=b+d，b+c=7k，
即a=1，2，3，4，d=2，4，6，8，
①当a=1，d=2时，b+c=7k，1+c=b+2，又∵k的值只为1，
∴c=4，b=3；
②当a=2，d=4时，b+c=7k，2+c=b+4，又∵k的值只为2，
∴c=8，b=6；
③当a=3，d=6时，b+c=7k，3+c=b+6，又∵k的值只为1，
∴c=5，b=2；
④当a=4，d=8时，b+c=7k，4+c=b+8，又∵k的值只为2；
∴c=9，b=5；
综上所述，这个数为1342、2684、3256、4598．
【点拨】本题主要考查了代数的分类讨论运算，通过已知条件建立式子分类讨论是解题的
关键．
52．（1）每个小长方形的面积为60；（2）小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高
度约是20cm（3）46
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程
组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；
（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度＋3个纸杯叠放在
一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度＋8个纸杯叠放在一起比单独
的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方
式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ，解得： ，
∴xy=10×6=60．
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则 ，解得 ，
则12x+y=12×1+8=20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得 ，
解得 ，
∴S =17×14﹣8×8×3=46．
阴影
【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等
量关系是解决问题的关键．
53．（1） ；（2）小齐家七月份的用水量为 ，八月份的用水量为
【分析】（1）根据“一月份用水 ，交水费 元，二月份用水 ，交水费 元”列
出关于a、b的方程组求解即可得出答案；
（2）设小齐家七月份的用水量为 ，则八月份的用水量为 ，根据题意先得出
x的范围，再分 ， 两种情况根据“水费＝自来水费用＋污水处理费用”
即可求出答案．
解： 由题意得，解得
设小齐家七月份的用水量为 ，
则八月份的用水量为 ．
因为 ，
所以 ，即七月份的用水量低于 ．
①当 时，缴费总量为：
，
解得， 不合题意，舍去．
②当 时，缴费总量为：
解得， ，此时 ，符合题意．
答：小齐家七月份的用水量为 ，八月份的用水量为 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
54．（1）购买1台打印机需要800元，购买1台平板电脑需要3000元．（2）33台．
【分析】（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元，即可列出关于
x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100﹣m）台，即可得出关于m的一元一
次不等式组，解不等式即可得出结论．
解：（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元，由题意得：
，
解得： ．
购买1台打印机需要800元，购买1台平板电脑需要3000元．
（2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100﹣m）台，由题意得：，
解得：m≤ ，
∵m为正整数，
∴m≤33．
最多能购买平板电脑33台．
考点：1.一元一次不等式组的应用；2.二元一次方程组的应用．
