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专题 5.1 二元一次方程组
目录
二元一次方程的定义.........................................................................................................................1
二元一次方程求参数.........................................................................................................................2
二元一次方程的解.............................................................................................................................3
整数解.................................................................................................................................................3
二元一次方程组的定义.....................................................................................................................3
二元一次方程组的解.........................................................................................................................4
解二元一次方程组.............................................................................................................................5
二元一次方程组与绝对值.................................................................................................................7
二元一次方程组与相反数.................................................................................................................7
同解方程组.........................................................................................................................................7
错解问题.............................................................................................................................................9
二元一次方程组与一次函数...........................................................................................................10
用待定系数法求一次函数...............................................................................................................12
二元一次方程的定义
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：
(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.
(2)含有未知数的项的次数都是1.
(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式.
【例1】下列式子中是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列各式是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中为二元一次方程的是
A．②④ B．②④⑤ C．①④ D．④⑤
【变式训练3】方程 ， ， ， ， 中
二元一次方程的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二元一次方程求参数
含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为 1。 即若axm+byn=c是二元一
次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1
【例2】若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值是
A．1 B． C．1或 D．0
【变式训练1】若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ， 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】已知方程 是二元一次方程，求 ， 的值．
【变式训练3】是否存在 值，使方程 是关于 ，
的二元一次方程？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．二元一次方程的解
【例3】下面各组数值中，二元一次方程 的解是
A． B． C． D．
【变式训练1】已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【变式训练2】如果关于 ， 的二元一次方程 的一组解是 ，那么 的值
为 ．
【变式训练3】已知 是方程 的解，则代数式 的值是 ．
整数解
【例4】方程 有 个正整数解．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【变式训练1】关于 ， 的二元一次方程 的非负整数解的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2】方程 的正整数解的对数是
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式训练3】二元一次方程 的正整数解的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二元一次方程组的定义
二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了
一个二元一次方程组。
【例5】以下方程组中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【变式训练1】下列方程组为二元一次方程组的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】下列方程组中属于二元一次方程组的是
① ，② ，③ ，④ ．
A．①② B．③④ C．①③ D．①④二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，
二元一次方程有无数个解
【例6】已知一个二元一次方程组的解是 ，则这个方程组可以是
A． B．
C． D．
【变式训练1】二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【变式训练2】解为 的方程组是
A． B．
C． D．
【变式训练3】下列二元一次方程组的解为 的是
A． B． C． D．解二元一次方程组
我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法
叫做代入消元法。
定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元
法 ，简称加减法。
【例7】解方程组：
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】解方程组：
（1） ；
（2） ．
【变式训练2】解方程组：
（1） ；（2） ．
【变式训练3】解方程组：
（1） ；
（2） ．
二元一次方程组与绝对值
【例8】已知： ，则 的值为
A．1 B． C．2 D．
【变式训练1】若 ，则 的值是
A．5 B．0 C．15 D．
【变式训练2】若 ，则 、 的值为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练3】如果 ，那么 ．二元一次方程组与相反数
【例9】若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为
A．1 B． C．11 D．
【变式训练1】已知关于 ， 的方程组 的解 和 互为相反数，则 的
值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2】已知 ，如果 与 互为相反数，那么
A． B． C． D．
【变式训练3】已知方程组 中， ， 互为相反数，则 的值是
A．4 B． C．0 D．8
同解方程组
【例10】已知方程组 和方程组 有相同的解，则 的值是
．
【变式训练1】如果方程组 与方程组 有相同的解，则 ．
【变式训练2】已知方程组 与 有相同的解，求 ， 的值．【变式训练3】已知关于 ， 的方程组 和 有相同解，求
值．
错解问题
【例11】两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 ，乙同学因把
写错了解得 ，则 的值为
A．3 B．0 C．1 D．7【变式训练1】在解方程组由于粗心，甲看错了方程组 中的 ，得到的解为
，乙看错了方程组中的 ，得解 ，则原方程组中的正确的解为
A． B． C． D．
【变式训练2】解方程组 时，甲同学因看错 符号，从而求得解为 ，乙因
看漏 ，从而求得解为 ，试求 ， ， 的值．【变式训练3】甲、乙两同学同时解方程组 ，甲看错了方程①中的 ，得
到的方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到的方程组的解为 ，求原
方程组的正确解．
二元一次方程组与一次函数
【例12】如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解
为A． B． C． D．
【变式训练1】如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得关于 ，
的二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，利用函数图象可知方程组 的解为 ．
【变式训练3】如图，函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，关于 ，
的二元一次方程组 中的解是A． B． C． D．
用待定系数法求一次函数
【例13】在直角坐标系中，一条直线经过 ， ， ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的值；
（3）求 的面积．【变式训练1】如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
一次函数图象经过点 ，与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ．
（1）求一次函数表达式；
（2）求 点的坐标；
（3）求 的面积；
（4）不解关于 、 的方程组 ，直接写出方程组的解．一．选择题（共8小题）
1．下列各式中，是关于 ， 的二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
3． 是下列哪个方程的一个解
A． B． C． D．
4．已知二元一次方程 ，则用 的代数式表示 为
A． B． C． D．
5．下列方程中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
6．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．27．解方程组 时，由② ①得
A． B． C． D．
8．二元一次方程组 的解为
A ． B ． C ． D ．
二．填空题（共4小题）
9．已知，方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 ．
10．若 是二元一次方程，则 的值 ．
11．已知 是方程 的解，那么 ．
12．把方程 写成用含 的代数式表示 的形式为 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，求 ， 的值．
14．已知关于 、 的方程 ，
试问：①当 为何值时此方程为一元一次方程？
②当 为何值时此方程为二元一次方程？
15．已知 ，当 时， ：当 时， ．
（1）求 、 的值
（2）当 取何值时， 的值大于 ．
