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5.1 认识二元一次方程组
课堂知识梳理
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
共含有两个未知数的二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】
解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的
项的次数是1的整式方程．
2．下列方程组：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中，是二元一次方程组的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】
解：①有三个未知数，③第一个式子的次数为2，④第一个式子不是整式方程，都不是二元一次方程组．
方程组 ， 是二元一次方程组，有两个，
故选： A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键．
3．如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义可得到关于m、n的方程，可求得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【详解】
解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键．4．方程3x－2y=8的一个解是 ( )
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】D
【解析】
【分析】
把四个选项分别代入原方程的左边，得到的值等于方程右边的值，那么该x和y的值就是方程的一个解．
【详解】
解：把 代入方程，得左边=3×4-2×2=8，右边=8，
所以 是方程的一个解．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的解的定义，根据解的定义就可以判断已知的解是否是方程的解．
5．二元一次方程 的正整数解有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
将y看做已知数求出x，找出正整数解即可．
【详解】
解：x+2y=6，
解得：x=6-2y，
当y=1时，x=4；当y=2时，x=2；
则方程的正整数解个数是2个．
故选C．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x．6．已知 是方程 的一个解，则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】A
【解析】
【分析】
把 代入方程 可得2m-1=3，解方程求得m的值即可.
【详解】
把 代入方程 可得2m-1=3，
解得m=2.
故选A.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程解的定义得到方程2m-1=3是解决问题的关键.
7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大
马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么
可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“有100匹马”、“有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦”
建立方程组即可得．
【详解】
解：由题意，可列方程组为 ，故选：D．
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．
8．若方程组 解 x 与 y 互为相反数，则 a 的值为 （ ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据x与y互为相反数，得到x+y=0，与方程组第一个方程联立求出x与y的值，代入第二个方程求出a的
值即可．
【详解】
根据题意得：
①+②×3得：5x=5，
解得：x=1，
把x=1代入②得：y=−1，
把x=1，y=−1代入得：a+2a=9，
解得：a=3，
故选C
【点睛】
考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键.
9．若 是方程组 的解，则a、b的值是 （ ）
A．a=0, b=1 B．a=1, b=0 C．a=0, b=0 D．a=0, b=–1
【答案】B
【解析】
【分析】
把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
解得：a=1，b=0，
故选B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．下列方程（组 中，① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 是一元一
次方程的是__，是二元一次方程的是___，是二元一次方程组的是___．
【答案】 ① ② ⑤
【解析】
【分析】
根据一元一次方程是整式方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程，二元一次方程是整
式方程中含有两个未知数且未知数的次数是 次的方程，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未
知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】
解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中，
是一元一次方程的是①，
是二元一次方程的是②，
是二元一次方程组的是⑤．
答案：①；②；⑤．
【点睛】
本题考查了一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的定义，熟记相关概念是解题关键，注意二元
一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
11．已知 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由方程为二元一次方程可得 解之可得答案．
【详解】
解： 是关于 ， 的二元一次方程，
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的定义，掌握“含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1，这样的整式
方程是二元一次方程”是解本题的关键．
12．若方程组 是关于 ， 的二元一次方程组，则代数式 的值是________．
【答案】-2或-3
【解析】
【分析】
二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解．
【详解】
解：根据 是关于 ， 的二元一次方程组，
则 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以代数式 的值是 ．
或 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以代数式 的值是 ．
故填：-2或-3
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
13．有大小两种笔记本，3本大笔记本和2本小笔记本的售价是14元，2本大笔记本和3本小笔记本的售价为11元．设大笔记本为x元/本，小笔记本为y元/本，根据题意，列方程组正确的是____．
【答案】
【解析】
【分析】
结合题意，根据二元一次方程组的性质分析，即可得到答案．
【详解】
设大笔记本为x元/本，小笔记本为y元/本，根据题意得：
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
14．（1）找到几组适合方程 的x，y值；
（2）找到几组适合方程 的x，y值；
（3）找出一组x，y值，使它们同时适合方程 和 ；
（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组 的解吗？
【答案】（1） ； 答案不唯一；（2） ； 答案不唯一；（3） ；（4）
．
【解析】
【分析】
（1）根据二元一次方程解的含义求解即可；
（2）根据二元一次方程解的含义求解即可；（3）根据二元一次方程组解的含义求解即可；
（4）根据前面得到的结论求解即可．
【详解】
解：（1）令x=1 ，则y=-1 ；
令x=2，则y=-2．答案不唯一；
（2）令x=1，则y=1-2=-1 ；
令x=4，则y=4-2=2．答案不唯一 ；
（3）当x=1 ，y=﹣1时同时满足方程： 和 ；
（4）方程组 的解是 ．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的含义．
15．判断 是否为方程组 的解．
【答案】是
【解析】
【分析】
把 代入原方程组的两个方程，从而可得答案．
【详解】
解：把 代入①，
把 代入②，
所以 同时满足方程①与②，
所以 是二元一次方程组的解，【点睛】
本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键．
16．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg
苹果和1kg梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？
根据题意，小明列出方程组：
而小丽列出的是：
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的．他们列的方
程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？
【答案】他们列的方程组都正确，见解析
【解析】
【分析】
根据所列方程可知小明设每千克苹果和梨的价格分别为x元、y元，而小丽设每千克梨和苹果的价格分别
为x元、y元，由此进行判断即可得到答案．
【详解】
解：两个人所列的方程都是正确的，理由如下：
由题意得：小明设每千克苹果和梨的价格分别为x元、y元，而小丽设每千克梨和苹果的价格分别为x元、
y元，
因此他们所列方程组中，同一个x的意义不同，当然所列方程组也就不相同了．
【点睛】
本题主要考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键在于能够正确理解两人所列方程的含义．
17．已知 是关于 x 、 y 的二元一次方程组 的解，求 a 、b 的值．
【答案】a=2，b=-4
【解析】
【分析】
把 代入 ，然后解关于a、b的二元一次方程组即可.
【详解】把 代入 ，得
，
解之得
a=2，b=-4.
【点睛】
本题考查了对二元一次方程组的解与组成方程组的两个二元一次方程的解得关系，理解二元一次方程组的
解的定义是解此题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
18．甲、乙两人共同解关于x，y的二元一次方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程
组的解为 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 试求出a，b的值，并计算
.
【答案】
【解析】
【分析】
将 代入方程组的第二个方程，求出b的值；将 代入方程组的第一个方程，求出a的值；将所
求的a、b的值代入 ，计算即可．
【详解】
将 代入方程②，得 ，将 代入方程①，得 ，
所以 .
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．也考查了代数
式求值．
19．阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表
示为(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1．
材料二：求7x+3y=11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y ；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣
1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x=2；
第三步，将x=2代入y ，得y=﹣1．∴ 是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均为整数)有整数解 ，则它的所有整数解为
(t为整数)．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一组整数解；
（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有几组正整数解．
【答案】（1） ；（2）原方程有5组正整数解．
【解析】【分析】
（1）先化简原方程，由材料可求解； （2）先求出原方程的整数解，根据材料即可求解．
【详解】
（1）∵(15，20)=5，(4，8)=4，
∴原方程变形为：5x+4y=99，
∴x ，
∴99﹣4y是5的倍数，
∴当y=1时，x=19，
∴ 是原方程的解；
（2）∵5x+4y=99的有正整数解 ，
方程所有整数解为 (t为整数)．
其中
方程所有正整数解记为 (t为整数)．
当 时，正整数解为： ，
当 时，正整数解为： ，
当 时，正整数解为： ，
当 时，正整数解为： ，
∴原方程有5组正整数解．【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
20．（2022浙江杭州中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已
知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中数量关系列出方程即可解题；
【详解】
解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，
或 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析．
21．（2020山东日照中考真题）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与
车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终
剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x辆车，有y人，则可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．
【详解】由题意，可列方程组为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
