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5.1 认识二元一次方程组
题型一 判断二元一次方程（组）
1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，二
元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列式子中 ， ， ， 中，是二元一次方程的有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 代数法判断二元一次方程（组）的解
6．若 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．以 为解的方程组是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各组值中，是二元一次方程组 的解的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 根据二元一次方程（组）的定义求参数
9．方程 是二元一次方程，则m、n的值（ ）
A． B． C． D．10．已知 是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（ ）
A． B． C． D．
11．若 是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
12．若方程 是关于x，y的二元一次方程，则 ．
13．如果 是一个关于x，y的二元一次方程，那么 的值是 ．
题型四 根据二元一次方程（组）的解求参数
14．已知 是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知 是关于x，y的二元一次方程 的解，则m的值为 ．
16．如果 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么m的值为 ．
17．若 是关于 的二元一次方程 的一组解，则 的值为 ．
18．若 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则 的值为 ．
19．若 是方程 的解，则m的值为 ．
20．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 ， ．21．若 是 关于 、 的二元一次方程组的解，求 的值．
22．已知 是关于 的二元一次方程组 的解，求 的值．
题型五 列二元一次方程（组）
23．已知二元一次方程组 的解是 ，则 表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
24．若关于 的二元一次方程组 的解为 ，则含 的一次多项式A可以是 ．
25．代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 个头 只手的哪吒
若干，有 个头 只手的夜叉若干，两方交战，共有 个头， 只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有
个，夜叉有 个，则所列方程组是 ．
26．已知 ，其中 都是常数，且 ，请你探究：是否存在一个二元一次方
程，其解分别为 与 ，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由．
27．（1）写出解为 的一个二元一次方程组；
（2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数．题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数的值
1．若 是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ．
2．若 是关于 的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．
解得 ．故选A．
题型二 在不完整问题中求未知量的值
3．方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则数
， ．
4．方程组 的解是 ，其中 的值被墨渍盖住了，则 的值为 ．
题型三 同解问题5．已知 和 都是二元一次方程 的解，则 是否也是方程 的解？
请说明理由．
6．已知关于 的二元一次方程 的部分解如表 ，关于 的二元一次方程 的
部分解如表 ，则关于 的二元一次方程组 的解是 ．
表
表2
题型四 错解问题
7．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组 时，甲看错了方程①中的 ，得到方程组
的解为 乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 试计算 的值．
题型五 方程组的解与代数式求值
8．已知二元一次方程 的一个解是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．9．已知 是关于 ， 的方程组 的解，则 的值．
10．已知 是关于x、y的方程组 的解，求 的立方根．
11．已知关于 、 的方程组 的解是
(1)求 、 的值；
(2)求 的平方根．
题型六 根据情境列二元一次方程（组）
12．在《九章算术》卷八方程篇中，记录了这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，
燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有 只雀，
只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，
只雀、 只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记 斤为 两，设 只雀 两， 只燕 两，则下列
正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分
钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为 千米/小时和 千
米/小时，则下列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．
14．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原
数大63，设原两位数的个位数字为 ，十位数字为 ，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方
程组 ．
15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、
图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，
根据寻找出的关系，可列方程组为 ．
16．甲、乙二人分别从相距 的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次
的情形，设甲的速度是 ，乙的速度是 ，根据题意所列的方程组是 ．
题型七 根据几何关系列二元一次方程（组）
17．如图，将正方形 的一角折叠，折痕为 ，点 恰好落在点 处， 比 大 ．设
和 的度数分别为 和 ，可列方程组为 ．
18．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为 ，面积 ；图3中阴影部分周长为 ，面积为 ．已知
，则 = ．
题型一 方程组与新定义问题
1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中a，b，c，均为常数且 ， ，
规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)【探索发现】二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一
组解，且 均为正整数，求m，n的值．
2．若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式（ 、 是常数， ），则其中一对常数 、
称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 ．例如二元一次方程 变形为 ，则二元一次方程 的“相伴系数对”为 ．
(1)二元一次方程 的“相伴系数对”为____________．
(2)已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，求出这
个二元一次方程；
(3)关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求 的
值．
